数值分析(颜庆津)第5章学习小结

1、第5章 插值与逼近 -学习小结一、 本章学习体会插值法是一种很常见的方法，在一些工具书中，经常使用插值法来读取一些表的数据，但是经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。而如何寻找这样的一个插值函数，以及怎样尽可能的寻找截段误差小的函数就是本章解决的问题。本章内容繁多，但插值函数其实就是由N个线性无关的多项式组组成。在理解时，可以按向量来理解。在梳理本章内容时，也可以按照这样的思路来理解：从插值方法，到插值条件，到插值多项式，到截断误差，再到如何控制截断误差，再思考有没有更好的方法？以样条函数为例，样条函数已经在Auto

2、CAD、UG、origin等软件中广泛应用，也有一些学者，编写程序改进现有的样条函数，以减小误差。本章的内容很多，插值与逼近的方法更是不胜枚举。最重要的是，我们要理解每种方法的思路，以期将其用的得心应手。二、 本章知识梳理本章主要介绍插值与逼近，是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替某个复杂或者解析表达式未知的函数，以便简化对后者的各种计算或者揭示后者某些性质。函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型。5.1代数插值代数插值就是插值函数为多项式的插值问题。本章介绍代数插值有二个方法：Lagrange（拉格朗日）插值多项式、Newton（牛顿）插值多项式。1、插值的相关

3、定义（1）、在次数不高于n的多项式集合中寻找多项式使其满足条件，此问题为一元函数的代数插值问题。成为插值节点；为被插值函数；称为插值基函数；为插值条件；为n次插值多项式。（2）满足的n次插值多项式事存在且唯一的。（3）设实数互异，称比值为关于节点的一阶差商。称比值为关于节点的二阶差商。一般的，设的k-1阶差商已定义，则比值为关于节点的k阶差商(k=2,3,n)特殊的，称为关于的零阶差商。2、插值多项式的表达式（1）Lagrange（拉格朗日）插值多项式 Lagrange（拉格朗日）插值多项式的基函数 Lagrange（拉格朗日）插值多项式（2）Newton（牛顿）插值多项式为Newton（牛顿

4、）插值多项式。任一交换节点的次序所得到的的各个n次Newton（牛顿）插值多项式都是同一个n次多项式。（3）由于满足条件的n次插值多项式是唯一的，所以Lagrange（拉格朗日）插值多项式和Newton（牛顿）插值多项式是同一个n次多项式。（4）插值余项插值余项即误差设是互异的实数，对于给定的实数x,实值函数，则插值公式的余项为可得差商与导数的关系：3、插值多项式的选择（1）尽量使截断误差绝对值小一些。影响因素主要是插值多项式的次数n和插值节点的选择。（2）采用分段低次插值。5.2Hermite插值1、Hermite插值的定义2、Hermite插值多项式的构造3、Hermite插值多项式的余项

5、5.3样条插值1、K次样条函数对于区间a,b上的一个分划如果函数满足条件（1）在每个子区间上是次数不高于K的多项式。（2）在区间（a,b）上具有K-1阶连续导数，称是定义在a,b上对应于分划的K次多项式样函数。称为样条节点，其中称为内节点，称为边界节点。相应于分划的k次样条函数的全体为2、样条函数空间的基对于区间a,b上的一个分划的一组基：3、K次样条函数的表示4、三次样条插值问题对于区间a,b上的一个分划函数在每个节点处的值为如果三次样条函数，满足条件则称为函数的三次样条插值函数。三次样条插值函数：三种边界条件：（1）（2）（3）周期性条件误差估计设在区间a,b上有四阶连续导数，是关于第一或

6、第二种边界条件的三次样条插值问题，记则有估计其中都是与f 和h无关的常数。三次样条插值函数的构造方法：（1）待定系数法利用边界条件和上面的公式来做（2）三弯矩法三弯矩方程：其中：5.5正交多项式5.5.1正交多项式概念与性质1.内积的性质；，为常数；若在上，则。2.正交多项式的性质1）数乘性2）唯一性3）根的性质4）递推性5.5.2 几种常用的正交多项式1、多项式多项式重要性质：1)、多项式系是区间上的正交多项式系。2）、的最高次项系数为3）、为奇数时，为奇数，为偶数时为偶函数。4）、满足递推关系：当时，有多项式多项式重要性质：是的次多项式，并且当时，的最高次项系数为2）多项式系是区间上带权的

7、正交多项式。3）满足递推关系4）当时，在开区间内有个互异实零点，它们是5）当为奇数时，为奇数，为偶数时为偶函数。多项式多项式重要性质：是的次多项式，并且它的最高次项系数为。多项式系是在区间上带权的正交多项式系。事实上有5.6 函数的最佳平方逼近5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法1、最佳平方逼近的概念2、最佳平方逼近的充分必要条件设，是子空间中对于的最佳平方逼近元素的充分必要条件是，或对任一个，总有3、最佳平方逼近元素是唯一的设。则在子空间中对于的最佳平方逼近元素是唯一的。4、最佳平方逼近元素的求法求系数5、最佳平方逼近误差均方误差：5.6.2、正交函数系在最佳平方逼近的应用设为上带权正交函数

8、系，则，1、 多项式的应用对于给定的函数，要求在上的次最佳平方逼近多项式，前已指出，这个问题相当于在内积为的情形下，在子空间中寻求对的最佳平方逼近元素。今对该另取一组基底，即其中是次 多项式。此时，法方程的解可直接得到，即所求的次最佳平方逼近多项式为， 如果所给的区间不是，而是一般的有限区间，那么，可以通过变量置换将它转化为区间的的情形来处理。2）设，则由式（）和系数公式所确定的多项式。当时均方收敛于，即若，则当时多项式在区间上一致收敛于，即当时由系数公式所确定的式就成为一个无穷级数： ，2、多项式的应用1）内积并取的一个子空间其中是次多项式。中任一元素为， 设。由于是在区间上带权的正交函数组

9、，并且所以，由式，可知，当时，式所表示的就是空间中对于的最佳平方逼近元素，也就是在区间上带权的次最佳平方逼近多项式。2） 设在区间上存在且有界，那么由式和系数公式所确定的多项式，当时，在上一致收敛于函数。3、三角函数系的应用当被逼近函数是以为周期的函数时，宜用三角多项式做逼近函数。定义内积在空间中寻求对于的最佳平方逼近元素由于有故三角函数系是区间上的正交函数系。由式可知，在上的最佳平方逼近元素中的系数为由公式表示的称为级数的部分和。当且以为周期时，系数由公式所确定的（时）在任意的处收敛于。4、 曲线拟合与曲面拟合（1）曲线拟合的概念一直数据点：，寻找一个函数，使其在某种准则下与所有数据点最为接

10、近，即曲面拟合的好。四种误差：最大误差：平方误差：均方根误差：误差平方和：用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平方和最小的方法称为最小二乘准则。曲线（数据）拟合的最小二乘法：给定一组数据，在某一函数类中找函数使：称为上述数据的最小二乘拟合曲线。拟合曲线的求法误差平方和最小二乘法的分类：线性最小二乘法拟合函数是待定参量的线性函数。一般设：非线性最小二乘法拟合函数使待定参量的非线性函数。可转换为线性函数。基函数的选取（以多项式作为拟合函数类）选择幂函数，作为基函数构造在点集上的正交多项式系其构造的公式为：其中：取 多项式作为基函数若分布在内，的选取：的全部零点：最佳元素：

11、若只能分布在内，令取（d）取三角函数为基函数在点集上正交，三、 本章思考题以下列表显示出我国若干年份的研究生招生人数，请你运用最小二乘方法，建立适当的模型，测算未来两年我国的研究生招生人数。（目的：训练知识应用的综合能力。）年份19981999200020012002200320042005人数(万人)6.88.712.815.620.2626732.637.0解：（1）首先利用描点先根据给出数据估计函数类型在MATLAB中的命令窗口输入下列命令：>> y0=1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005;x0=6.8 8.7 12.8 15.6 20.26 26.7 32.6 37.0;x=5:5:40;y=spline(x0,y0,x);plot(x,y),grid on输出结果： （2）估计其可能为指数型函数：（记人数为y,年份为x）此时不是某组已知函数的线性组合，对上式两边取对数：记：U=lny,c0=lna,c1=b,则有：得到下面的数据变换表：数据变换表x19981999200020012002200320042005u1.91692.1