高中数学人教版选修11习题：第三章3.33.3.2函数的极值与导数 Word版含答案

1、起第三章导数及其应用3.33.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用3.3.23.3.2函数的极值与导数函数的极值与导数a a 级级基础巩固基础巩固一、选择题一、选择题1 1可导可导“函数函数y yf f( (x x) )在一点的导数值为在一点的导数值为 0 0”是是“函数函数y yf f( (x x) )在这点取得极值在这点取得极值”的的( () )a a充分不必要条件充分不必要条件b b必要不充分条件必要不充分条件c c充要条件充要条件d d既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析解析：对于对于f f( (x x) )x x3 3，f f( (x x) )3 3x x2 2，f

2、 f(0)(0)0 0，不能推出不能推出f f( (x x) )在在x x0 0 处取极值处取极值，反反之之成立成立答案：答案：b b2 2已知可导函数已知可导函数f f( (x x) )，x xr r，且仅在且仅在x x1 1 处处，f f( (x x) )存在极小值存在极小值，则则( () )a a当当x x( (，1 1) )时时，f f( (x x) )0 0；当；当x x(1(1，) )时时，f f( (x x) )0 0b b当当x x( (，1 1) )时时，f f( (x x) )0 0；当；当x x(1(1，) )时时，f f( (x x) )0 0c c当当x x( (，1

3、 1) )时时，f f( (x x) )0 0；当；当x x(1(1，) )时，时，f f( (x x) )0 0d d当当x x( (，1 1) )时时，f f( (x x) )0 0；当；当x x(1(1，) )时时，f f( (x x) )0 0解析：因为解析：因为f f( (x x) )在在x x1 1 处存在极小值处存在极小值，所以所以x x1 1 时时，f f( (x x) )0 0，x x1 1 时时，f f( (x x) )0.0.答案：答案：c c3 3函数函数y yx x3 33 3x x2 29 9x x( (2 2x x2)2)有有( () )a a极大值极大值 5 5

4、，极小值极小值2727b b极大值极大值 5 5，极小值极小值1111c c极大值极大值 5 5，无极小值无极小值d d极小值极小值2727，无极大值无极大值解析：由解析：由y y3 3x x2 26 6x x9 90 0，得得x x1 1 或或x x3 3，当当x x1 1 或或x x3 3 时时，y y0 0；当；当1 1x x3 3 时时，y y0.0.故当故当x x1 1 时时，函数有极大值函数有极大值 5 5；x x取不到取不到 3 3，故无极小值故无极小值答案：答案：c c4 4已知已知f f( (x x) )x x3 3axax2 2( (a a6)6)x x1 1 有极大值和极

5、小值有极大值和极小值，则则a a的取值范围为的取值范围为( () )a a1 1a a2 2b b3 3a a6 6c ca a1 1 或或a a2 2d da a3 3 或或a a6 6解析：解析：f f( (x x) )3 3x x2 22 2axax( (a a6)6)，因为因为f f( (x x) )既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值，那么那么(2(2a a) )2 24 43 3( (a a6)6)0 0，解得解得a a6 6 或或a a3.3.答案：答案：d d5 5设设a ar r，若函数若函数y ye ex xaxax，x xr r 有大于零的极值点有大于零的极值点，则则

6、( () )a aa a1 1b ba a1 1c ca a1 1e ed da a1 1e e解析：解析：y ye ex xa a0 0，e ex xa a，因为因为x x0 0，所以所以 e ex x1 1，即即a a1 1，所以所以a a1.1.答案：答案：a a二、填空题二、填空题6 6函数函数f f( (x x) )x x3 36 6x xa a的极大值为的极大值为_，极小值为极小值为_解析：解析：f f( (x x) )x x2 26 6令令f f( (x x) )0 0，得得x x 2 2或或x x 2 2，所以所以f f( (x x) )极大值极大值f f( ( 2 2) )a

7、 a4 4 2 2，f f( (x x) )极小值极小值f f( ( 2 2) )a a4 4 2 2. .答案：答案：a a4 4 2 2，a a4 4 2 2. .7 7已已知函数知函数y yx x3 3axax2 2bxbx2727 在在x x1 1 处取极大值处取极大值，在在x x3 3 处取极小值处取极小值，则则a a_，b b_解析解析：y y3 3x x2 22 2axaxb b，根据题意知根据题意知，1 1 和和 3 3 是方程是方程 3 3x x2 22 2axaxb b0 0 的两根的两根，由根与由根与系数的关系可求得系数的关系可求得a a3 3，b b9 9. .经检验经

8、检验，符合题意符合题意答案：答案：3 39 98 8已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2cxcx，其导函数其导函数y yf f( (x x) )的图象经过点的图象经过点(1(1，0 0) )，(2(2，0 0) )，如图所示如图所示则下列说法中不正确的是则下列说法中不正确的是_当当x x3 32 2时时，函数取得极小值；函数取得极小值；f f( (x x) )有两个极值点；有两个极值点；当当x x2 2 时时，函数取得极小值；函数取得极小值；当当x x1 1 时时，函数取得极大值函数取得极大值解析解析：由图象可知当由图象可知当x x( (，1 1) )时时，f

9、f( (x x)0)0；当当x x(1(1，2 2) )时时，f f( (x x)0)0)0，所以所以f f( (x x) )有两个极值点有两个极值点 1 1 和和 2 2，且当且当x x2 2 时时，函数取得函数取得极小值极小值，当，当x x1 1 时时，函数取得极大值故只有函数取得极大值故只有不正确不正确答案：答案：三、解答题三、解答题9 9已知已知f f( (x x) )1 13 3x x3 31 12 2x x2 22 2x x，求求f f( (x x) )的极大值与极小值的极大值与极小值解：解：由已知得由已知得f f( (x x) )的定义域为的定义域为 r.r.f f( (x x)

10、 )x x2 2x x2 2( (x x1)(1)(x x2)2)令令f f( (x x) )0 0，得得x x1 1 或或x x2.2.当当x x变化时变化时，f f( (x x) )与与f f( (x x) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x( (，1)1)1 1( (1 1，2 2) )2 2(2(2，) )f f( (x x) )0 00 0f f( (x x) )极大值极大值极小值极小值因此因此，当当x x1 1 时时，f f( (x x) )取得极大值取得极大值，且极大值为且极大值为f f( (1)1)1 13 3( (1)1)3 31 12 2( (1)1)2 22 2

11、( (1)1)7 76 6；当当x x2 2 时时，f f( (x x) )取得极小值取得极小值，且极小值为且极小值为f f(2)(2)1 13 32 23 31 12 22 22 22 22 210103 3. .从而从而f f( (x x) )的极大值为的极大值为7 76 6，极小值为极小值为1 10 03 3. .1010已知函数已知函数f f( (x x) )x x3 3axax2 2bxbxa a2 2在在x x1 1 处取极值处取极值 1010，求求f f(2)(2)的值的值解：解：f f( (x x) )3 3x x2 22 2axaxb b. .由题意得由题意得f f（1 1）

12、1010，f f（1 1）0 0，即即a a2 2a ab b1 11010，2 2a ab b3 30 0，解得解得a a4 4，b b1111或或a a3 3，b b3.3.当当a a4 4，b b1111 时时，令令f f( (x x) )0 0，得得x x1 11 1，x x2 211113 3. .当当x x变化时变化时，f f( (x x) )，f f( (x x) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x，11113 311113 3( (11113 3，1 1) )1 1(1(1，) )f f( (x x) )0 00 0f f( (x x) )极大值极大值极小值极小值显然

13、函数显然函数f f( (x x) )在在x x1 1 处取极小值处取极小值，符合题意符合题意，此时此时f f(2)(2)18.18.当当a a3 3，b b3 3 时时，f f( (x x) )3 3x x2 26 6x x3 33(3(x x1)1)2 20 0，所以所以f f( (x x) )在在x x1 1 处没有极值处没有极值，不合题意不合题意综上可知综上可知f f(2)(2)18.18.b b 级级能力提升能力提升1 1等差数列等差数列 a an n 中的中的a a1 1，a a4 4 031031是函数是函数f f( (x x) )1 13 3x x3 34 4x x2 26 6x

14、 x1 1 的极值点的极值点，则则 loglog2 2a a2 2 016016的值的值为为( () )a a2 2b b3 3c c4 4d d5 5解析：因为解析：因为f f( (x x) )x x2 28 8x x6 6，且且a a1 1，a a4 4 031031是函数是函数f f( (x x) )1 13 3x x3 34 4x x2 26 6x x1 1 的极值点的极值点，所以所以a a1 1，a a4 4 031031是方程是方程x x2 28 8x x6 60 0 的两个实数根的两个实数根，则则a a1 1a a4 4 0310318.8.而而 a an n 为等差数列为等差数

15、列，所所以以a a1 1a a4 4 0310312 2a a2 2 016016，即即a a2 2 0160164 4，从而从而 loglog2 2a a2 2 016016loglog2 24 42.2.故选故选 a.a.答案：答案：a a2 2若函数若函数f f( (x x) )x x3 33 3axax2 23(3(a a2)2)x x1 1 有极大值和极小值有极大值和极小值，则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_解析解析：函数函数f f( (x x) )为三次函数为三次函数，其导函数其导函数f f( (x x) )3 3x x2 26 6axax3 3( (a a2)2)为二次

16、函数为二次函数，要使函要使函数数f f( (x x) )既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值，需需f f( (x x) )0 0 有两个不等的实数根有两个不等的实数根，所以所以(6(6a a) )2 24 43 33(3(a a2)02)0，解得解得a a 2.2.答案：答案：( (，1)1)(2(2，) )3 3设设a a为实数为实数，函数函数f f( (x x) )x x3 3x x2 2x xa a. .(1)(1)求求f f( (x x) )的极值；的极值；(2)(2)当当a a在什么范围内取值时在什么范围内取值时，曲线曲线y yf f( (x x) )与与x x轴仅轴仅有一个交点

17、？有一个交点？解：解：(1)(1)f f( (x x) )3 3x x2 22 2x x1.1.令令f f( (x x) )0 0，则则x x1 13 3或或x x1.1.当当x x变化时变化时，f f( (x x) )，f f( (x x) )的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x，1 13 31 13 31 13 3，1 11 1(1(1，) )f f( (x x) )0 00 0f f( (x x) )极大值极大值极小值极小值所以所以f f( (x x) )的极大值是的极大值是f f1 13 3 5 52727a a，极小值是极小值是f f(1)(1)a a1.1.(2)(2)函数函数f f( (x x) )x x3 3x x2 2x xa a( (x x1)1)2 2( (x x1)1)a a1 1，由此可知由此可知，x x取足够大的正数时取足够大的正数时，有有f f( (x x) )0 0，x x取足够小的负数时取足够小的负数时，有有f f( (x x) )0 0，所以曲线所以曲线y yf f( (x x) )与与x x轴至少有一个定点轴至少有一个定点由由(1)(1)知知f f(