浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法

1、浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法摘要：木文是介绍数列通项公式的求法，数列的通项公式是研究数列性质的关键，对数列的单调性，数 列的最人项，最小项，数列的求和等都有重大作用，通过构造等比数列将四种数列的递推公式转化为等 比数列，先有等比数列的通项公式再求所求数列的通项公式。关键词：等比数列递推公式通项公式数列的递推公式是数列的i种表示方法，它反映的是数列相邻项之间的关系式，如果要研究某个数 列的性质，我们就要确定其通项公式。木文就介绍了四种根据数列的递推公式求通项公式的方法。一、数列 q “ 中，已知 5 = a, ah = pan_+q , ( > 1, n g n ) p h 1,

2、g h 0 ,求数列a n 的通项公式。解析：可以设 + x= p(ai + x),化简得 = pa 一 + (p - l)x比较系数得到("-l)x = q，即兀=p 一 1所以数列 a n满足：+丄p - 1+即数列。“ +是以首项为dp 一 1右，公比为。的等比数列。【例1】设数列a”满足5 = l,a” =+ 2,(7? > 1,” g n ) 求数列a“的通项公式。解：根据a” = 3a”+ 2可以得到a” + 1 = 3(d”“ + 1)即数列g 4- 1是以a】+ 1 = 2为首项，公比为3的等比数列。所以 + 1 = 2 3“"即 a” = 2 -1二

3、、数列 a “ 中，已知仇、=a , a n = pa + qn + r , (n > 1, h e + ),p h l,a工(),g工0,r e r，求数列 a ti的通项公式。解析：可以设 + xn + y = p a n_x + % (n - 1 ) + y , 口 j 以得到pa n_l + (px - x )z? 一 px + py - y ,比较系数门j得即数列an +劝+ y是以a + x + y为首项，公比为p的等比数列。所以+劝+ y = (a +兀+ y )八一】，把上述解得的兀，y带入下面(1)式可得数列 a n的通项公式为：an = (6/ + x +- xn -

4、 y , (n > i, n e n + ) (1 )【例 2数列 a “ 满足 d = l, a“ = 3d“_ + 2m + 2, (/? > 1, n g + ),求数列 an的通项公式。解：根据 d” = 3d 】+ 2 + 2 ,可得 a“ + n + |- = 3an_ + (n - 1)+ |-559即数列g + n + 是以首项为1 + 1 + =,公比为3的等比数列。222所以 «+ ,1 + = 3/,_,即 j = 3 +1 -"22"22三、数列 q 中，a = a , a n = pa n_ + q ,l + r , (n &

5、gt; 1, /? g + ), h 1,q h 0, h 0, p h g ,求数列 a “ 的通项公式。解析：可以设 q “ + xq n + y = p (a n_ + xq n_, + y),化简得/ 、a “ = pa归+ 丄x - x qn 4- (p - 1 )y比较系数可以得到，即数列 a fi + xg " + y 是以d + xq + y为首项，公比为p等比数列。所以+ xq ” + y = (a + xq + y)”""，把上述解得的x, y带入下而(2)式可得数列 a n的通项公式为 a n 二(a + xg + y )p一 旳"

6、一 y , (n > 1,7? g + )(2 )【例3】数列 j 满足5 = 1, g = 3d”+ 2" + 2 , (h > 1, h e 7v + ),求数列ah的通项公式。解：根据+ 2” + 2 可以得到 a” + 2 2" + 1 = 3(q“+ 2 2” “ + 1)即数列afl + 22" + 1是以1 +4+1=6为首项，公比为3的等比数列，所以a” + 2 2" + 1 = 6 即=2 3” - 2"i - 1四、数列。“ 中，a = a f a 2 = b , an = pa+ qa ，(n > 2,

7、n w n j 其中ho,gho,2 + 4go,求数列的通项公式。解析：可以设a” + xa = y（j_ + xa n_2）f （3 ）解出，即 a n = （y - x）a n- + xya n-2 比较系数可以得到，y - x = p , xyp + y/p2 + 4q所以数列an + xcz 一 |是以b + xa为首项，公比为y的等比数列。即 q “ + xa 一 = (b +同样我们将（3）式写成°”w n-lx(an-l - ya n-2 )形式所以数列 a n 一 ya n _）是以b - ya为首项，公比为-x的等比数列。即 an - ya n- =(b - ya x- x)n2 根据式可得数列 a n的通项公式为（4）(b + xa ) y " *-(/?- ya x- x )""x + y把上述解得的兀，y的一组值带入（4）式就可以，因为另一组值带入的结果是一样的。【例 4】数列 a ” 满足 a ! = 3,。2 = 4 , a n = 3。一一 2 n _ 2 , (n > 2 , n e n j ,求数列dj的通项公式。解：根据 an =- 2af2 可得，a fl - an = 2(an_ - an_2) 所以数列an - an是以4 - 3 = 1为首项，公比为2的等比数列。即 d”