多元函数微分学全章(高数课件)超经典.

1、第九章无筠撤械今摩一元函数微分学推广多元函数微分学注意：善于类比，区别异同第一、二节昱馅撤的概念一.区域二.多元函数的概念三.多元函数的极限了、多元函数的连续性一. 区域1邻域点集r( (Z,6) = PPPPPii 8,称为点卩0的6邻域. 例如，在平面上，t7(7,o) = (x,j)|；(xx0)25( (邻域)在空间中，t/() ),6) =)|；(x-x0)2+ (y- j()2+ (z-z()()r 8(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径3，也可写成UPUP).).O点P P。的去心邻域记为tz(妨)=p=pO|PPo5 在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相

2、包含.平面上的方邻域为U(,6) = (x,j) x-x0|8, T - Jo dEEzdE，则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于的折线相连,则称D是连通的；连通的开集称为开区域9简称区域；开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，在平面上4 ( (X,J) )X +J0开区域(X,J)|1X2+J20-*(x,j) 1 1是开集, 但非区域.对区域D,若存在正数K,使一切点PwD与某定点A A的距离则称。为有界域，否则称为无 界域.皿最M TJ!3 n n维空间n n元有序数组(曲,兀2,兀/i)的全体称为n n维空间， 记作即R = Rx Rx x R=(曲，尤2,，) GR,AT

3、= 1,2,n n维空间中的每一个元素(xnX2，- -,xw)称为空间中的 一个点，数x xk k称为该点的第k k个坐标.当所有坐标也=0时，称该元素为R中的零元，记作O.R中的点x = (xnx2xM)与点y=(力*2,J的距离记作p(x,j)或|*-创，规定为P( (XJ) )=/(曲 一H )2十(兀2 ”)2十+ (匕一几)2R中的点兀=(x(xl9l9x x2929-9 9x x) )与零元O O的距离为|x =兀7 +兀;+x：当/i = l，2,3时9x x通常记作兀.R中的变元兀与定元a满足X | 0记作兀a R中点的5邻域为t/(a,8)= x|xe Rn,p(x,a)

4、0,Zr0) )定量理想气体的压强卩=等(人为常数)，( (r,r) )|ro,r三角形面积的海伦公式5 = 一+严s s = = : :pippip - -a)(p -h)ph)p -c)-c)（0上,c c）a0,ft0,c0,輒精 最MTJT 3MT定义1设非空点集Z) u R映射/ ：D D R称为定义 在D上的死元函数9记作M宀，心)或u u = = f(P),PDf(P),PD点集D称为函数的定义域；数集“a = /(P),PeD称为函数的值域特别地，当n=2n=2时,有二元函数z z = =/(兀)，(x,y)cZ)zR2当H =3时，有三元函数“ =z),( (X, y, z)

5、 w 0 u R例如，二元函数z z= Vl-xl-x2 2-y-y2 2定义域为圆域(x,j)X2+J21图形为中心在原点的上半球面.又如,z=sin(xj),(x,j)e R2说明：二元函数Z=/(兀9丿)9( (X, j) GD D三元函数u u=arcsin(x +y y+z)定义域为单位闭球( (X,Z) )|X24-J24-Z21的图形一般为空间曲面刀.輒精 最MTJT 3MT机场TfT M T X 3三、多元函数的极限定义2 设71元函数/(P),PeDuR，P是。的聚 点，若存在常数A A,对任意正数,总存在正数,对一 切PGDnt/() ),d),都有|/(P) - 4X()

6、()0例1设/U,J) = (x2+ j2)sin2 x + y求证：lim/(x,y) = 0 x-0J-0(x2+ J2)sin-I2x + jVs0, m=,当0 vp = ,2 + y2 v各时，迄有f f(x,y)y)- 0 x24-j20I要证-0 0, 3d = 2,当0 v=、Jr?+ y2 v B时，迄有/(x,y)-0|2 +J20j-0若当点P(y)以不同方式趋于片)(斗),儿)时，函数 趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限 不存在.例3讨论函数/(x,j) = -2“儿2在点( (，) )的极限X-+ J解：设P(xP(x, j)沿直线y= = k k x x

7、趋于点(0, 0),则有故/(兀)在(0,0)点、极限不存在.riHra ra n rirtwTTJT 3例2.设f(xf(x9 9y)y) = =xsin| +jsin Lxyxy 00y y* *0，xyxy= 0求证:limf(xf(x9 9y)y) = = ().().XTOy-0证：/(x,j)-O|X 4- J | 2xx1 1+ J20( (X2+)兀P j0二重极限limf(x,y)f(x,y)与累次极限lim limf(xf(x9 9y)y)X-XOx0 J-J0yf vo及lim lim/(斗刃不同.y-yQ如果它们都存在，则三者相等.仅知其中一个存在，推不出其它二者存在.

8、例如，/(兀)=-2刃-2，显然X X+ylim limf f(x, j) = 0, lim lim /(x, j) = 0 x0 j0j0 x0但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.解：因X2J2 0,使PGD;(有界性定理)(2)f(P)f(P)在D D上可取得最大值M M及最小值m m ; ;(最值定理)(3)对任意gemm9 9MM9 930e,使/(0=卩；(介值定理)*/(P)必在D上一致连续(一致连续性定理)(证明略)例5求x-oxyxyJ-0解：原式諏()例6求函数f(f(X9X9y)y) = =arcsin(37：-y2) )的连续域. 一22|曲一73-宀州 ax -

9、j2 02V宀y2 y y2 2OKiraranri机耐nrTJT Z MT解:(XP +1)2 _1叩(xj+1+ 1)J-()2 X内容小结1.区域邻域：U(仇/),(心6)区域- 连通的开集 R空间2.多元函数概念n n元函数u u= /(P) = /(xnx2,- -,x/f)P P w w D D u u RR*二元函数(图形一般为空间曲面)常用、三元函数3豪M TI通诚H 0,3d0,当0|昭|6时, 有|/(P)-A|6n.n. x xn nXXg4-7)/梓、攵十产=(-7决 *1QElQElO梓十产=（7）/-1七篦Wfrln(l + xy) limx x-x-() X +

10、J j-0是否存在?解：禾用ln(l + xy )工9取y =才01_比. ln(l + xy) .x x2 2y ylimx x=lim “TO X +J XTO X + J y-0 x-()=lini(x2x3_a)= 0所以极限不存在.a = 3a 3xyxy 2 23证明沦+丿I 0,在全平面连续.(x,j) = (030)证：在(X,J)(O,O)处，/( (X,y)为初等函数，故连续.1 X2+y2+y2吗静#3_兀y4x由夹逼准则得lim；=0 =/(0,0)瑁兴+八故函数在全平面连续又02XJ思考题若点（X）沿着无数多条平面曲线趋向于点（，儿）时，函数/（X*）都趋向于A,能否

11、断定limf f（x,yx,y） = = A?A?（X）一（X,儿）思考题解答不能.X3v2例 /（兀）=（云+，4）2 9（X,J）X X3 3k k2 2x x2 2取y=kxy=kx9 9f f（x,kxx,kx） = = / / $ $ - -a石辽0（X +AT X ）但是limf f（x,yx,y）不存在.（”）一（0 0）原因为若舷“，心2,沪爵T：.练习题一、填空题：1、 若/(x,j) = x2+ j2-xjtan-,则f(tx.ty)=f(tx.ty)=_, ,y2 2、若/( (3) )=丁 尤，则/(2,-3)=_ ;2xy2xy/(I上)=_X X_3、 /() =+

12、J+J(y(y 0), JHiJ/(x) =_ .* * y y4、 若/(x +j,) = x2-j2,则/g)=_X X函数Z =二V4；匚、的定义域是_ ln( 1 - x - j *)6、 函数z = Jx - Y J的定义域是_ .7、 函数z = arcsin的定义域是_ .X X8、 函数2=孕字的间断点是_yy 2x2x二、求下列各极限:x-0J-01、Um2-VT42、limKf 0sinxyxyx x3.弓于俘?(x(x2 2+y+y2 2)x)x2 2y y2 2iTJT 3 *三证明：Hm _ = 0.+ J四、证明极限lim Jgl二】不存在x + y练习题答案一、1

13、、2x一寻3、&+&+ X X, 1-J- ；4、X1 +J5、6、7、(X,J)0X2+J2()-x jx kj(x,y)|x v 0,x S y V-x-x；8、X,J)|J2-2X= 0) ).二、1、-；2 2、0；3、+8.解答提示:P11题2.f(tx,f(tx,rj) = r2/(x,y)y)称为二次齐次函数.Pll题4 /(x +j, x-j,xy)xy)= (x4-y)y)xyxy4-(xj)2xPll题5(3) 定义域P：Pll题5(5).定义域Z):r2X24-J2+Z2y y2 2-2x-2x = =0 y y2 2M4兀0 x2+j2JyJyjOy-=

14、4xyX、可见极限1不存在iTJT 3 *若令y =xx，则lim - 4 = lim兰y第三节一.偏导数的定义及其计算二.高阶偏导数三.小结思考题一、偏导数的定义及其计算法定义 设函数z =f(x,y)f(x,y)在点(兀0,几)的某一邻 域内有定义，当，固定在几而X在X。处有增量 心时，相应地函数有增量f(xf(x0 0+ Ar,j0)一/(x0,j0),如果1讪/(勺+&巳)一八小)存在，则称TOAxx-Oh+h x-02x22yj0_此极限为函数z =f(x.y)f(x.y)在点(x0,j0)处对x的 偏导数，记为同理可定义函数Z =f(x,y)f(x,y)在点(x0,j0)处

15、对, 的偏导数，为/UcnJo + AV） - /UivJo）Ay如果函数z =f(x.y)f(x.y)在区域D内任一点 (工*)处对兀的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是工、y的函数，它就称为函数z= /(*)对 自变量兀的偏导数， 记作笳%, s 或/X(x,j) ).oxox oxox同理可以定义函数z =f(x.y)f(x.y)对自变量丿的俑 导数记作器J* S或)dzdz dxdxx=xx=xdfdfdxdxx=xoJ=JoJ 嵩:或/2”儿)lim3-（）记为dzdzdfdfdydy，ZvX-X0或/y（X,几）.J-Jo偏导数的概念可以推广到二元以上函数如u =f(xf(x9 9

16、y y9 9z)z)在(x,z)处f(xf(x4- Ax”9Z) )- /(x,j,z)Ax/(x,j + Ay,z)-/(x,y,z)ArAz例1求Z = *2 4-3XJ4-j2在点(1,2)处的偏导数.几( (x,3SZ) )= limAx TO解 Qzr7玄T-=2X+3J;= 3x + 2v oxoxdydydzdzx.i =2xl+3x2 = 8,OXy2OXy2賈=3x14-2x2 = 7 例2駆=X Xy y(x(x 0,X H 1),求证瓷+亠名4.y y oxox nxnx cycy=x=xy yx xy y= = 2z.2z.原结论成立.z z m mx x+ 比 &am

17、p;例3=arcsin求二# + bdxdx dydy解 辺_1( 工 、，dx!_ * lX2+J2JXdzdzdxdxdzdzdydyx x dzdz1dzdz- +-y y dxdxInxdydy 宀 b=77心”)例4已知理想气体的状态方程pH =RTRTRTRT dpdp _RT_RTV V dVdV= =VV2 2RTRT dVdV R RV V= = ；T Tp p dTdT p pdpdp OVOV dTdT _ _ RTRT dVdV dTdT dpdp= = dzdzdydyX2+ J2(一 a=Ijl X+b) )3OzOzdydy不存在.0j=0（K为常数），求证:dpdp dVdV dTdT dVdV dTdT dpdpR R V V RTRT p p R R= =VVdpdp R R有关偏导数的几点说明:1、偏导数于是一个整体记号，不能拆分;OXOX2求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；例如9设2 =f(xf(x9 9y)y) = = xyxy9求匚( (0, 0) )9人(0,()() 解人(0,0)=啊皿二。=0 = /0,0).xyxy例5设/(兀，刃=x x2 2+y+y2 20求