新教材下的数学建模浅谈

1、新 课标下的数学建模教学浅谈仙逸中学匡唐松k本文摘要h：数学作为一门基础学科，是人类用来了解自然和社会、改造 自然和社会的学科，是一门不断积累发展充实的学科。当前，我国数学教育改革 以“数学素质教育”为口号，以“问题的解决”为突破口，收到了明显的效果。 新教材也把培养学生应用数学知识解决问题的能力提高到一个新的高度。应用性 问题的教学被放到一个重要的位置，而应用性问题的解决离不开数学建模。在教 材改革的形势下，加强数学建模教学势在必行。本文就如何在新教材下进行数学 建模教学谈谈自己的一些看法。一. 救学建旗衣新教材中的地住1、从新课标下的指导思想来看，教材修订的指导思想是：遵循“教育要 面向现

2、代化，面向世界，面向未来”的战略思想，贯彻教育必须为社会主义现代 化建设服务，必须与生产劳动相结合，培养德、智、体、美全面发展的社会主义 事业的建设者和接班人的方针，以全面推进素质教育为宗旨，全面提高普通高中 教育质量。教材修订的目的除了让学生学会继续深造所必需的数学基本知识、基本方 法、基本技能外，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维 方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题。2、从教材内容的改变来看，现行的数学教材进行了重大的改革，与旧教材 对比，新教材比旧教材增加了不少新的内容。例如：必修中的平面向量、线性规 划、概率，选修中的统计、导数与微分、概率与统计、积分等

3、，同时还增加了不 少“阅读材料”、“实习作业”、“研究性课题”。特别是新增的“阅读材料”、“实习作业”、“研究性课题”，成为新教材的一道亮丽风景，并且安排了相应的课时, 让学生把课堂上掌握的理论知识有时间去实践，把知识应用到现实生活屮，解决 实际问题。3、从新教材编排意图来看，以后数学对学主的考查包括高考的命题，必会 逐渐增加应用方面的知识。二、数学建栈的意义1、促进理论与实践相结合，培养学生应用数学的意识现在的学生，从小学到初中再到高中，经过十年来的数学教育，他们懂 得不少的数学知识，但是接触到实际问题常常表现得束手无策，灵活地、创造 性地运用知识解决实际问题的能力较低。而数学建模的过程，正

4、是实践 理 论一一实践的过程，是理论与实际有机的相结合，加强数学建模的教学，不仅 能使学生更好的掌握数学知识，学会数学的思想、方法、语言，也是为了学生 树立正确的数学观，增强应用数学的意识，全面认识数学及其与科学、技术、 社会的关系，提高分析问题和解决问题的能力。2. 数学建撲是培养学生各种能力的有赦遼径数学建模教学体现了多方面能力的培养：(1)翻译能力。能将实际问题 用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题的解用一般人所能理解 的非数学语言表达出来；(2)运用数学的能力。表现在能用数学工具对所建立 的数学模型进行处理；(3)交流合作能力。数学建模中常常是小组分工合作、 密切配合、相互

5、交流、集思广益，这种互相合作的精神是社会生活中极为需耍 的(4)创造能力。数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建 模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般说来只有最优解答，而非标准解答。因此，数学建模本身就给学生提供一个自我学习、独立思考、认真探索的实践 过程，提供了一个发挥创造才能的条件和氛围。通过建模，学生要从貌似不同 的问题中窥探出本质特性，这样，有助于培养学生的想象力和洞察力。发挥了学生的参与体现了学生主体性强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学方法，它一改过去满堂灌 模式为讨论班的方式，教师扮演的是教学的设计者和指导者，学生是学习过程 中的主体，师生处于平等地位。由于要

6、求学生对学习内容进行报告、答辩或争 辩，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性。根据现代建构主义学习观，知 识不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由学生依据自己已有的知识 和经验主动地加以建构。所以数学建模教学，符合现代教学理论，必将有助于 教学质量的提高和素质教育的全面实施。三、教学对策立足教材加强建栈教学1、打好基础，强化意识对于一个繁杂的实际问题，要能从中发现其本质，建立其数量关系，转化成 数学问题，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思想、方法是不可能的。 因此，进行建模教学首先必须抓好数学知识的系统学习，打好基础。但是，我们 也看到，解决常规的问题能力强，不见得解决实际问题的能

7、力就强，从掌握知识 到应用知识不是自然形成的。新教材在这方面作了大量的改进，每一章都以实际 的应用问题来引入，我们的教学更可以以此为突破口，大胆进行教学改革。教学 中更耍注意从实际问题引入概念和规律，强化建模意识，用数学模型的方法解决 实际问题。2.立足教材，挖掘教材数学建模的教学应结合正常的数学内容进行切入，把培养应用数学的意识 落实在平时的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对 教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学，让学生学习到 数学的精神、思想和方法。(1) 根据教学内容、进度，及时提出相应的建模问题。例如讲完不等式的“比较法”后，可以给学生提出如下问

8、题：4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元而6个茶杯与3包茶叶的价格 大于24元，则2个茶杯和3包茶叶哪个更贵？分析：这是一个比较容易理解的实际问题，设每个茶杯的价格为x元，每 包茶叶的价格为y元，则原实际问题转化为在条件：4x + 5y<22下，比较6兀+ 3y > 24与3y的大小问题，即作差2x-3yo这样通过生活中实际例子，更能促进学生对比较法的理解。(2) 注意对教材中原题的改编对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换题设 条件结论，结合拓广类比成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题， 可依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性原则，编拟岀有实

9、际背景或 有一定价值的建模问题。按照这种方式开展教学活动，可使学生受到如何将实 际问题数学化、抽象为数学问题的训练。例：如图，三个相同的正方形相接，求证q + b二45。(教材第一册(下) 复习参考题四第17题)此题在新老教材中都有出现，并在初中的几何也有出现，可见其重要性。以此题为原型，可编拟如下一道应用问题:在距电视塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角z和为90。那么电视塔的高度是多少？只耍有课本题为基础，就一定得到电视塔的高度为100米，否则三仰角之 和要么大于90。，要么小于90。（3）注意总结教材中的建模素材从广义讲，一切的数学概念、公式、方程式和算法系

10、统等都是数学模型。 可以说，数学建模的思想渗透在中小学数学教材中。因此，只要我们深入钻研 教材，并从中提炼，就能找到数学建模的素材。例如：最大最小值问题，包括面（体）积最大（小）、用料最省、费用 最低、效益最好等模型。平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、 衰变、裂变等，可以建立函数或方程模型。测量问题，可建立解三角形模型。 行程、工程浓度问题可建立方程（组）不等式（组）模型；计数问题，可建 立排列组合问题。在讲到对应的问题时，要指导学生或直接给学生及时加以总 结。3. 分类研究，归纳校型应用性的数学问题，都能找到与之对应的数学模型，在教学中，指导学 生加以总结，可以深化对应内容的学习，

11、增加学生的创新意识和解题实践能力。 我们常见的数学模型有：（1）函数模型应用性问题大多是“最优化”问题，往往与函数最值有关，因此某些问题可考虑构造函数模型。例：旅社有100张普通客床，若每床每夜收费10元时，客床可以全部租 出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再 减少10张客床租出。依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每 夜应提高租金多少元？【建模分析】投资少而所获租金最多，即就是租出的床位要少而获得的 利润最大。解：设每床每夜提高租费2x (xen)元，则可租出(100-10x)张客床， 设可获利润y元，依题意得y=(l 0+2x)( 100-1 ox

12、) 即 y=-20(x- - )2+1125xen x=2 或 x=3 时,ymax=1120(兀).当x=2时，需租出床80张;当x=3时，需租出床70张.x二3时的投资小于x=2时的投资.故每张床每夜提高租费6元时，既投资少又能获得最高租金.(2)不等式模型例:周长为l的扇形中,半径为多少时，扇形的血积最大？【建模过程】1、建立半径与面积的函数关系式(运用扇形的面积公式);2、构建利用重要不等式的条件解：设半径为"则扇形的弧长为(l-2q 扇形的面积s (r)= - (l- 2 r) r=- (l-2r)2r (0<r<-)2422t>0, l-2r>0

13、a 2r (l-2r) 2r + (l 2r) 2=24当且仅当2r=l-2r,即半径 尸匚时，扇形有故大面积416除以上两种数学模型外，还可以建立数列模型、儿何模型、三角模型、复 数模型、排列组合模型等。4、走进生活，强化应用日常生活是应用问题的源泉之一。让学生走进生活，多开展实践活动， 把它作为建模教学不可分割的部分。在新教材中，这一点完全可以做到，“实 习作业”、“研究性课题”都安排了具体的课时，有了时间作保证,学生可以体验 应用数学于生活的感受。例如,讲研究性课题“分期付款中的有关计算”时，由于当时正碰上老师 的房改期，我便发动学半分小组到房地产和银行了解情况，并给出一些具体的 任务：

14、（1） 了解银行计算利息的方法，特别是复利计算利息的方法；（2） 了解 买房的付款方式；（3）如果买一套新房需20万，首期付6万，按10年分期付 款，每月应付多少？如何计算？ （4）假设自己买一套房，写出自己的付款方 法，要考虑到哪些实际问题？学生对自己以后有可能涉及到的问题的反应很热 烈，大部分都能亲自去了解，知道分期付款的方法，讲起新课学生对这部分内 容容易接受多了；讲'解斜三角形这部分，教材安排了 3课时实习作业：测 量池塘两侧、小河两岸的两点间距离；老师还可以结合情况，测量学校建筑物 的高度；测量发射塔的高度等等。5、综合应用，培养能力针对3+x高考模式，进行“综合科目”考试，

15、数学建模无疑将起重要作 用。综合能力测试知识交叉、渗透较广，但命题吋往往以某一学科为背景，交 叉渗透其他学科知识,具有多样性、复杂性、综合性。利用建模的思想方法在 解题过程中，根据客观条件的发展和变化，往往可机智灵活地寻找到解决问题 的新方法，有利于创新思维的培养。例：给出下列一系列化合物的分子式：c6h6, c10h8,c14h10, .贝0该系列化合物中，分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近()。a.95%b.96%c.97%d.98%分析：观察系列化合物分子式的下标易知分别是公差为4和2的等差数 列。由等差数列的通项公式a产ai+(n-l)d,便可得它的通式为c4n+2 h2n+4由于这个系列化合物中含碳元素，氢元素的个数递增，原子量分别是12和 1,故分子中含碳元素的