专题突破--抽象函数的奇偶性周期性对称性

1、专题突破-抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图象关于直线对称。推论1. 若函数定义域为，且满足条件：，则函数的图像关于直线对称。推论2. 若函数定义域为，且满足条件：),则函数的图像关于直线对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程推论3. 若函数定义域为，且满足条件：， 又若方程有个根，则此个根的和为。定理2. 若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。推论1. 若函数定义域为,且满足条件：成立，则 的图象关于点对称。推论2.若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图

2、象关于点对称。总结：x的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。定理3.若函数 定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（由可得）。推论1. 函数与函数的图象关于直线对称。推论2. 函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数 定义域为，则函数与 的图象关于点对称。推论. 函数与函数图象关于点对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。推论1.若函数 定义域为，且满足条件，则是以为周期的周期函数。推论2.若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。推论3. 若函数满足条件 则是以为周期的周期函数。

3、定理7.若函数的图象关于直线 与 对称，则是以为周期的周期函数。定理8.若函数的图象关于点与点 对称，则是以为周期的周期函数。定理9.若函数的图象关于直线与 点，则是以为周期的周期函数。总结：x的系数同为为1，具有周期性。例题讲解：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ）A.f (2)<f (1)< f(4)B.f (1)<f (2)< f(4)C.f (2)<f (4)< f(1)D.f (4)<f (2)< f(1)2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (

4、1x)的图象关于（ ）对称。A.直线y=0B.直线 x=0C.直线 y=1D.直线 x=1题型二、抽象函数的对称中心1、已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负2、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称题型三、抽象函数的周期性1、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，

5、则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数课后作业：姓名： 班级 座号 1、换题2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数 C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数3、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 4、已知，则（ ）.A.B. C. D.3 5、ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“

6、走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )A.1B.C.D.06、在数列则= 7、定义域为R，且对任意都有，若则= 8、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 9、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _11、设是定义在区间上且以2

7、为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.参考答案：题型一、抽象函数的对称轴1、若函数对一切实数都有f (2x) = f (2x)则（ ）A.f (2)<f (1)< f(4)B.f (1)<f (2)< f(4)C.f (2)<f (4)< f(1)D.f (4)<f (2)< f(1)答案：A。2、设函数y= f (x)定义在实数集R上，则函数y= f (x1)与y= f (1x)的图象关于（ ）对称。A.直线y=0B.直线 x=0C.直线 y=1D.直线 x=1答案：D。由题型二、抽象函数的对称中心1、已知定义为R的函数满足，且

8、函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C可能为0D可正可负答案A。分析：图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，2、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间（D ）A关于直线x5对称B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称D关于点（1，0）对称答案：D。解：据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。题型三、抽象函数的周期性1、f(x)是定义在R上的偶函数，图

9、象关于x1对称，证明f(x)是周期函数。证明：任取函数图象上一点，即由是偶函数得也在函数的图象上，由因为函数的图象关于x1对称，点也在函数的图象上，即，由此可得，所以函数的周期为2。2、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）A偶函数，又是周期函数B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数D奇函数，但不是周期函数答案：C。课后作业：姓名： 班级 座号 1、换题2、定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期

10、函数 C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数答案：A.解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。3、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 答案：A。解析：令，则；令，则由得，构造函数，由，所以4、已知，则（ ）.A.B. C. D.3 答案：A。分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.5、ABCD是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，

11、沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是( )A.1B.C.D.0答案：B.解：依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是6、在数列则= 答案：。7、定义域为R，且对任意都有，若则=_答案：。8、已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)= 答案：2.9、函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为 答案：0.函数关于和对称，周期为4。10、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (x) = x，则f (8.6 ) = _解：f(x)是定义在R上的偶函数x =