电路分析课件张昭

1、 福州大学物信学院福州大学物信学院 张张 曌曌Fd_ 电 路 分 析l重点重点第第 8 章章 相相 量量 法法1. 1. 复数复数3. 3. 电路定理的相量形式电路定理的相量形式2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示v8.1 复复 数数 与与 相相 量量1. 复数的表示形式：复数的表示形式：ReF ImF 在在电路中用电路中用j来来代替代替iF = a + jb1 jFFab+1j在在复平面上用向量表示复平面上用向量表示F = a + ib1 i 代数形式代数形式 三角函数形式三角函数形式)sin(cossincos jFFjFF 22baF Fa cosabFarctan)arg( F

2、b sin|F|为复数的为复数的模模, 称为称为复数的辐角复数的辐角 指数形式指数形式 sincosjej 2cos jjee jeejj2sin 欧欧拉拉公公式式)sin(cos jFF jeFF 极坐标形式极坐标形式 FFF = a + F = a + jbjb)sin(cos jFF jeFF FF四四种种形形式式2.2.复数的运算：复数的运算：（1 1）加法运算：）加法运算：11111 FjbaF22222 FjbaF)bb( j)aa(FF212121 （2 2）减法运算：）减法运算：)bb( j)aa(FF212121 （3 3）乘法运算：）乘法运算：)(FFFF212121 （4

3、 4）除法运算：）除法运算：)(FFFF212121 +1+1j jF F1 1F F2 221FF 21FF作图方法：向量首尾相作图方法：向量首尾相连；平行四边形连；平行四边形+1+1j jF F1 1F F2 2F F1 1F F2 2F F2 2F F1 1F F2 2代数形式代数形式代数形式代数形式极坐标极坐标极坐标极坐标除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。3.3.旋转因子：旋转因子： 1je+1+1j jF F1 1特殊：特殊： )(jej90 2逆时针旋转逆时针旋转 )(jej90 2顺时针旋转顺时针旋转 + +j , j , -

4、1 j , j , -1 都可以看成旋转因子都可以看成旋转因子1)sin()cos()( jejF F1 1逆时针旋转一个逆时针旋转一个角度角度 ，模不变模不变例例 F=FF=F1 1e e j jF F任何一个复数乘以一个旋转因子，就逆时针旋转一个任何一个复数乘以一个旋转因子，就逆时针旋转一个角角, ,模不模不变变. .ReIm0II j I j I 4.4.共轭复数（共轭复数（F F* *）jbaF复数的实部相同，虚部只是符号相反复数的实部相同，虚部只是符号相反jbaF*22*baFF 复数有复数有理化理化002234.514 . 666.3084 . 64)5(arctan4554 jF

5、例例 把下列复数化成极坐标形式把下列复数化成极坐标形式8)3(54)2(, 68) 1 (jFjFjF02287.3610)86(arctan6868 jF090808arctan88 jF例例 设设 求求F F1 1+F+F2 2 和和F F1 1 / F/ F2 2 13510, 4321 FjF代数形式代数形式指数形式指数形式加法减法运算：加法减法运算：乘法、除法运算：乘法、除法运算：F1+F2=(3-j4)+(-7.07+j7.07)=- 4.07+j3.0707. 707. 7)135sin135(cos10135100002jjF31. 553)4(arctan4343221jF0

6、002121219 .1715 . 0)1351 .53(105|FFFFl 正弦稳态电路正弦稳态电路激励和响应均为正弦量的并处于激励和响应均为正弦量的并处于稳定状态的电路称为正弦稳态电稳定状态的电路称为正弦稳态电路或交流电路。路或交流电路。（1 1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。要的地位。l 研究正弦电路的意义：研究正弦电路的意义：1 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数运算后仍是同频率的正弦函数优点：优点：2 2）正弦信号容易产生、传送和

7、使用。）正弦信号容易产生、传送和使用。（2 2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。可以分解为按正弦规律变化的分量。)cos()(1knkktkAtf 对正弦电路的分析研究具有重要的理对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。论价值和实际意义。v8.2 正弦量的基本概念正弦量的基本概念一一. . 正弦量：按正弦规律变化的量。正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：瞬时值表达式： i(t)=Imcos( t+i)i i+ +_ _u u波形：波形：t tiO O iT T周期周期T T 和频率和

8、频率f f : :频率频率f f ：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期T T ：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。f f =1/=1/T T单位：单位：HzHz，赫，赫( (兹兹) )单位：单位：s s，秒秒包括正弦函数包括正弦函数sinsin 和和 余弦函数余弦函数coscos(1) (1) 幅值幅值 ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )I Im m：反映正弦量变化幅度的反映正弦量变化幅度的大小。大小。(2) (2) 角频率角频率 ：每秒变化的角度每秒变化的角度( (弧度弧度) )， 反映正弦量变化快反映正弦量变化快慢。慢。 二、正弦量的三要素：二、正弦量的三要

9、素：(3) (3) 初相位初相位 ：反映了正弦量的计反映了正弦量的计 时起点。常用角度表示时起点。常用角度表示 ( ( t t+ + i) )表示正弦量相位。它的大表示正弦量相位。它的大小决定该时刻正弦量的值。当小决定该时刻正弦量的值。当t t=0=0时，时，相位角相位角( ( t t+ + i )= )= i ，故称故称i为为初相位角，简称初相位。它表示了正初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。弦量的起点。Tf22单位：单位： rad/srad/s ，弧度弧度 / / 秒秒i(t)=Imcos( t+ i)i i tO OT TI Im m2 2 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同

10、。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。t ti iO O =0=0 = = /2/2 =-=- /2/2一般规定一般规定：| | | | 。例：已知元件流过的正弦电流的例：已知元件流过的正弦电流的Im=10mA,f=1HZ, ,初相位初相位 ，试写出电流的函数表达式，并，试写出电流的函数表达式，并求出求出t=0.5st=0.5s和和t=1.25st=1.25s时电流的瞬时值的大小。时电流的瞬时值的大小。rad4解：解：sradf/22 )42cos(10)cos( ttIiim时st5 . 0mAIim07. 7)45 . 02cos( mAIim07. 7)425. 12cos( 时st

11、25. 1例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图， 10103 3rad/srad/s，（1 1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2 2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t t1 1ti010050t1解解)10cos(100)(3 tti cos100500 t3 由于最大值发生在计时起点右侧由于最大值发生在计时起点右侧3 )310cos(100)(3 tti有最大值有最大值当当 310 13 tmst047. 110331 三、同频率正弦量的相位差三、同频率正弦量的相位差: : t tu u, , i iu u i i u u i ij j0 0等于初相位之差等于初相位之

12、差1).1). 0 0， i i 领先领先( (超前超前) )u u ，或或u u 落后落后( (滞后滞后) ) i i122).2). 0 0， u u 领先领先( (超前超前) )i i，或或i i 落后落后( (滞后滞后) ) u u12212112uiuitt ）（）（相位差相位差）（设设222111cos),cos(umimtUutIi 1).1). = 0， u与与i同相：同相：2). 2). = ( 180o ) ， u与与i反相：反相：规定：规定： | | (180) tu, i u i0 tu, iu i0 tu, iu i03). = 90，u与与i 正交正交 特殊相位关系

13、：特殊相位关系：例：计算下列正弦量的相位差例：计算下列正弦量的相位差)2100cos(10)()43100cos(10)()1(21 ttitti)4200cos(10)()30100cos(10)()3(201 ttuttu不能比较相位差不能比较相位差21 )15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2(0201 ttitti 000135)105(30 )105100cos(10)(02 tti 45)2(4343245 两个正弦量进行相位比较时应满足两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符同频率、同函数、同符号号，且在主值范围比较。，且在主值范围比较。 )

14、30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4(0201 ttitti 000120)150(30 )150100cos(3)(02 tti v8. 3 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。工程上采用有效值来表示。物理意义：周期性电流物理意义：周期性电流 i 流过电阻流过电阻 R R，在一周期在一周期T T 内吸收内吸收的电能，等于一直流电流的电能，等于一直流电流I 流过流过R R , , 在时间在时间T T 内吸收的电能，则称电流内吸收的电

15、能，则称电流 I I 为周期性电流为周期性电流 i 的的有效值。有效值。1. 1. 周期电流、电压有效值定义周期电流、电压有效值定义R直流直流IR交流交流ittiRWTd)(20 TRIW2 v8.3 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值电流有效值定义为：电流有效值定义为：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。有效值也称均方根值有效值也称均方根值 TttiTI02defd)(1同样同样，可定义电压有效值：，可定义电压有效值： TttuTU02defd)(12. 2. 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)

16、=Imcos( t+ )ttITITd ) (cos1022m TtttttTTT2121d2) (2cos1d ) (cos 0002 IIIITITI2 707. 0221 mmm2m ) cos(2) cos()(m tItIti TttiTI02defd)(1同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U U=220V=220V，则其最大值为则其最大值为U Um m 311V311V；工程上说的正弦电压、电流一般指工程上说的正弦电压、电流一般指有效值有效值，如设备铭牌，如设备铭牌额定值

17、、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最最大值大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注意区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I, im若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U U=380V=380V，则其最大值为则其最大值为U Um m 537V 537V ；)60cos()(0 wtItim060cos1mI AIm2

18、 AI222 v8.4 8.4 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1. 1. 问题的提出：问题的提出：电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：两个正弦量的相加：如两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。方程运算。+_RuLCi)(2tuudtduRCdtudLCCCC ) cos(2111 tIi) cos(2222 tIii1I1I2I3 i1+i2 i3i2 1 2 3角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：两个正弦量的相加两个正弦量的相加因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值( (或最

19、大值或最大值) )就行了。因此，就行了。因此， tu, ii1 i20i3正弦量正弦量复数复数实际是变实际是变换的思想换的思想造一个复函数造一个复函数)j(e2)( tItA对对A(t)取实部：取实部：i(t)tItA ) cos(2)(Re 对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数) j(2)( ) (c2 tIetAtosIiA(t)还可以写成还可以写成tteIItA jj2ee2)(j 复常数复常数) sin(2j) cos(2 tItI无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义2. 2. 正弦量的相量表

20、示正弦量的相量表示。、，复复常常数数包包含含了了、包包含含了了三三要要素素： IItA )( ) cos(2)( IItIti ) cos(2)(UUtUtu 称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 II相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：在在同一个电路中的正弦量形式要一致同一个电路中的正弦量形式要一致如如函数用最大值表示：函数用最大值表示：)cos()( tItim ) cos()( tUtum mmII mmUU 例例: :

21、 已知已知试用相量表示试用相量表示 i、u 。)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oo uti解：解：A30100o IV60220o U601 311 304 141 .U.Imm或或例例:试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。 50Hz A,1550o fI已已知知解：解： A)15314os(250o tci在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图 IItosIti) (c2)(UUtosUtu ) (c2)( 相量图相量图 U I同频率正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量同频率正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在

22、正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。3、正弦量的相量运算：、正弦量的相量运算：1. 1. 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减)2(R) cos(2)()2(R)cos(2)(j2222j1111 tteUetUtueUetUtu )t (u)t (u)t (u21 U21 UUU得：得：)eUe)eUett j2j1 2(R2(R )eUeUett j2j1 22(R )e )UU(et j21 2(R 时域时域频域频域21uuu 时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分

23、析电路。变量分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。自变量分析电路。相量法：将正弦时间函数相量法：将正弦时间函数 “ “变换变换” ” 为相量后再进行分析为相量后再进行分析, , 属于频域分析。属于频域分析。i1 i2 = i33 2 1 III时域时域频域频域例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttuV604 V 306o2o1 UUV )9 .41314cos(267. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUU464. 323196. 5j

24、j 464. 6196. 7j V 9 .4167. 9o 注意：还原为正弦量时，要为对应的正弦量形式注意：还原为正弦量时，要为对应的正弦量形式ReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU602U 4 .4 .正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 IiIjdtdi Ijidt 1 IieIRedtddtditj 2ejIRetj 2 eIdtdRetj 2 证明：证明： dteIReidttj 2 dteIRetj 2ejIRetj 12 2 iIIjdtdi2 iIjIidt例例 ) cos(2)(itIti 1)( idtCdtdiLRituRi(t)u(t)L

25、+- -C用相量运算：用相量运算： CjIILjIRU 相量法的优点：相量法的优点：（1 1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；小结小结 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形

26、图相量图相量图一、电阻：一、电阻：)cos(2)( itIti 已已知知)cos(2)()( iRtRItRitu 则则相量形式：相量形式：iII 电阻有效值关系：电阻有效值关系：U UR R = = RIRI相位关系：相位关系：u , i 同相同相位位+ +- -相量模型相量模型R RRUI电阻相量电阻相量VCRVCR关系：关系：IRUR IU相量图相量图 IRiRRIU + +u uR R( (t t) )i i( (t t) )R R- -时域模形时域模形 i i t tu u0 0频域频域有效值关系有效值关系 U U= = L IL I相位关系相位关系: :u u 超前超前 i i 9

27、0 90i i 滞后滞后u u 9090 iII j j L L相量模型相量模型+ +- -UI二二 、电感：、电感：i i( (t t) )u u ( (t t) )L L+ +- -时域模型时域模型时域时域)cos(2)(itIti )90cos(2)sin(2d)(d)(o iitILtILttiLtu ILU j电感相量电感相量VCRVCR关系：关系：感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) (2) 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。w wX XL L; , ,; , 0 ),(0开路开路短路短路直流直流LLXX (3) (3)

28、由于由于感抗的存在使电流滞后电压感抗的存在使电流滞后电压9090。iuL IUL U U = = LI =XLI =XL L I I IjXILjUL t)t ( iL)t (udd 感抗感抗 X XL L= = L L= 2= 2 fLfL单位单位: : 欧欧 t iOuLLUIi波形图及相量图：波形图及相量图：电压超前电电压超前电流流900频域频域有效值关系有效值关系 I I= = C UC U相位关系相位关系: :i i 超前超前u u 90 90u u 滞后滞后i i 90 90uUU 时域时域)cos(2)(utUtu )90cos(2)sin(2d)(d)(o uutCUtCUtt

29、uCti 三三 、电容、电容时域模型时域模型i i ( (t t) )u u( (t t) )C C+ +- -UCI j电容相量电容相量VCRVCR关系：关系： 11ICjICjU 相量模型相量模型+ +- -UIC j1容抗的物理意义：容抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) (2) 容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。; , 0 ,; , ),(0C旁路作用旁路作用隔直作用隔直作用直流直流CXX (3) (3) 由于由于容抗的存在使电流超前电压容抗的存在使电流超前电压9090。iuC 1IUC 1 11IjXICjICjUC I I

30、= = CU=U/(-XCU=U/(-XC C) )dt)t (duC)t ( i CXw w单位单位: : 欧欧fCCXc 211 容抗：容抗： t iCOuUCI u波形图及相量图：波形图及相量图：电流超前电电流超前电压压900四、受控源：四、受控源：对对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域电路中完全相同。关系式与时域电路中完全相同。ik=0+ +- -+ +- -ukujij+ +- -+ +- -0 kIjU jI kU 在相量图中，在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用电路的三大分析方法都适用一、基尔霍夫定律的

31、相量形式：一、基尔霍夫定律的相量形式：1、KCL： 任一时刻流出（流入）任一结点的各支路电流的相量任一时刻流出（流入）任一结点的各支路电流的相量的代数之和为的代数之和为0.0.01nkkI0Re2.)(2Re11211 jwtknknkjwtnkeIeIIinkki10一、基尔霍夫定律的相量形式：一、基尔霍夫定律的相量形式：2、KVL： 任一时刻沿电路中任一回路的所有支路电压的相量代任一时刻沿电路中任一回路的所有支路电压的相量代数之和为数之和为0.0.01 nkkU nkku10二、二、 电路的相量模型电路的相量模型 : :时域微分方程时域微分方程相量形式代数方程相量形式代数方程RCLiiiR

32、CLIIISdddutiCtiLCL1tiCiRCRd1Sj1UICILjCL CRICIR j1相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。uSiR时域电路时域电路相量模型相量模型SUj LLICIRIR+- -12Cj 1LRCiLiC+- -12三、相量图：三、相量图：1.1.同频率的正弦量才能表示在同一个同频率的正弦量才能表示在同一个相相量图中；量图中；3.3.正角度按逆时针计；正角度按逆时针计；2.2.没有给定任何相量时，应选定一个参考相量没有给定任何相量时，应选定一个参考相量( (设初相位为零设初相位为零) )。选选 R R为

33、参考相量为参考相量LUURICUURLICIj L1/j CULICIRIR+- -RU+- -+- - -LUCU )5(CjIUCC 例例试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：Liju )1( 005 cos5 )2( ti mCUjI )3(m LLIUX L )4(LILjU )6(L dtdiCu )7(UImUmmIUIU Cj 1L电路中所示的仪表为交流电表，其仪表的指数为电流电路中所示的仪表为交流电表，其仪表的指数为电流的有效值，其中电流表的有效值，其中电流表A1的读数为的读数为5A，A2的读数为的读数为20A， A3的读数为的读数为25A，求电流表，求电流表A和和A4的读数。的读数。029020 I0105 I039025 I0324905525)(20 jjjIIILRC设电路中的电压相量为参考相量设电路中的电压相量为参考相量00 ssUUsU IAA1A