D三重积分柱坐标与极坐标学习课程

1、利用球坐标计算三重积分的步骤利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下三重积分积分次序：定限方法：化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时，将其余变量视为对一个变量积分时，将其余变量视为常数常数的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , , )d d df x y zx y z三变、一勿忘三变、一勿忘( , , )f x y z积分区域积分区域球坐标表示球坐标表示被积函数被积函数( , , )F r 体积元素体积元素d d dx y z2sin d d drr 一个勿忘一个勿忘2sinr一般先一般先r后后再再观察、想象观察、想象2(

2、sinsin , sincos , cos )sin d d df rrrrr 第1页/共50页第一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素dvdxdydz（计算时将三重积分化为三次积分）小结小结方法1. “先一后二”方法2. “先二后一”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(dvzyxfd),(第2页/共50页第二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;1. 把往xoy平面上投影,得积分区域D;3. 先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;4. 再求

3、关于x,y的二重积分.先一后二”积分法的基本步骤:2.对za,b用过点(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;1. 把向z轴投影,得z的积分限a,b;3. 先求关于x,y的二重积分,得“先二后一”积分法的基本步骤:4. 最后计算单积分( )baF z dz( )( , , )zDF zf x y z dxdyabxyzzzDzyxyxDO第3页/共50页第三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。第三节第三节一、三重积分的概念 二、三重积分的计算三重积分 第十章 第4页/共50页第四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。回忆用投影法（先一后二）计算三重积分( , , )Df x y

4、z dVdxdy21( , )( , )( , , )zx yzx yf x y z dz如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算.这就等于用柱面坐标计算三重积分.2. 利用柱坐标计算三重积分 zyxyxD第5页/共50页第五页，编辑于星期五：十七点 三十三分。xyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面z),(zyxM)0 ,(yxO第6页/共50页第六页，编辑于星期五：十

5、七点 三十三分。d ;柱面 与 xyzodzvdd ;半平面 与dzzz平面 与ddzz在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),( cos ,sin , )fz zdddddd ,D当积分域 的投影域 为与圆域有关的区域时,( , ).zz r一般选用柱面坐标 此时曲面应表示为元素区域由六个坐标面围成第7页/共50页第七页，编辑于星期五：十七点 三十三分。如图所示如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2)

6、被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.zdddzzddddxyzddO第8页/共50页第八页，编辑于星期五：十七点 三十三分。常见曲面的柱面坐标方程曲面直角坐标方程柱面坐标方程222zaxy22zar22zxyzr22zxy2zr222xyara222xyax2 cosra半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面222xyay2 sinra第9页/共50页第九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。常见曲面的柱面坐标方程第10页/共50页第十页，编辑于星期五：十七点 三十三分。2、利用公式用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域Dcos ,sin ,.xryrzz

7、3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域确定z的上下限；4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）次序为：zr将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；柱面坐标常用于：圆柱体和圆锥体上的三重积分。第11页/共50页第十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。例1. 计算三重积分d d d ,z x y z22zxy4z 所围成 .与平面其中 由抛物面OOxyz在柱面坐标系下4:24zdz22012(16)d226 210684z022020d 20d2zvdddd原式 =26 2106864.3解:在xOy面上的投影区域D: 224,

8、xy上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .2第12页/共50页第十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。例2. 计算 22(),xy dv22zxy解：222zxyz由22()xydv222200dddz22302ddz2302(2)d165故在xOy平面224,xy得交线 上投影区域为:2z02202z 所围成 .与平面其中 由圆锥面22( , )|4xyDx yxy上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .dd d dvz 第13页/共50页第十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。解解:2222zz1,1,zxyzo2124001(2)2dd 例3. 计算三重积分d ,z v22xyz所围成

9、 .与抛物面其中 由球面2222xyz:22z01202知交线为由222dzz10d 20d原式 =124601146 7.1222,z上边界:下边界:2,z第14页/共50页第十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。2axyzO其中 为例例4. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所解: 在柱面坐标系下:cos2020az 0及平面zvddddzzddd2原式由柱面cos2围成半圆柱体.cos202ddcos342032a20d0daz z298a第15页/共50页第十五页，编辑于星期五：十七点 三十三分。3. 利用球坐标计算三重积利用球坐标计

10、算三重积分分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzOP第16页/共50页第十六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。半平面 及 + d ； 半径为r及r + dr的球面；圆锥面及+d r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 + d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素第17页/共50页第十七页，编辑于

11、星期五：十七点 三十三分。元素区域由六个坐标面围成：球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 + d dddsind2rrv r drd xz y0 d rd rsin d .dv第18页/共50页第十八页，编辑于星期五：十七点 三十三分。rddrdd如图所示如图所示, 在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrFdddsin2rrxyzO( sin cos , sin sin , cos )f

12、rrrdddsin2rr第19页/共50页第十九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。球面坐标直角坐标球体zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R0d20d:rR02002222xyzR:下面介绍一些区域的球面坐标的描述第20页/共50页第二十页，编辑于星期五：十七点 三十三分。球面坐标直角坐标球体zyxzyxfddd),(dddsin2rr2 cos0a20d:2 cosra022002222xyzaz:20d( , , )F r 第21页/共50页第二十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。zyxzyxfddd),( , , )F r dddsin2rr0R40d

13、20d球面坐标直角坐标:rR0420022222xyzRxy:球顶锥体第22页/共50页第二十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。常见的曲面在球坐标下的方程第23页/共50页第二十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。次序为: r 2. 将区域往xoy面上投影，确定平面区域D，4.过原点做射线，穿区域确定 r 的上下限.1. 关系式sincos ,sinsin ,cos .xryrzr3. 对任一，过z轴做半平面，找出角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤：将的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；由D找出的上下限；大的与的截面，确定的上下限注：当积分

14、区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。第24页/共50页第二十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。xyzO例例5. 计算三重积分计算三重积分,ddd)(222zyxzyx22yxz为锥面2222Rzyx解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 第25页/共50页第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十三分。Oxyza2例例6. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVddd

15、cos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M第26页/共50页第二十六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成于是所求立体的体积为 此球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例6. 的立体的体积 由圆锥面和球面围成 ,解:采用球面坐标，锥面方程为 在球面坐标下球面方程为r2acos , :0,02 cos ,ra02.dVv2sind ddrr dddsind2rrv 2 cos20darr33016cossind3a 0sind 20dOxyza2

16、M第27页/共50页第二十七页，编辑于星期五：十七点 三十三分。例7. 计算三重积分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz解: 在球面坐标系下:22()d d dxyx y z所围立体.202 cos2 cosarb20其中 面dddsind2rrv 2 cos2222 cossinsindbarrr20d20d是由两个球2222xyzbz(),ab355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba2第28页/共50页第二十八页，编辑于星期五：十七点 三十三分。22()d d dxyx y z355201sin(2 cos )(2 cos ) d5ba25564()

17、5ba3520sincosd 5564()5ba2520(1 cos)cosd( cos )5564()5ba2520(cos1)cosdcos5564()5ba86coscos28605564()5ba124558()15ba第29页/共50页第二十九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。2222240(4z4)daaazzz58.15a20daz22()d dZDxyx y20daz2220daz z 20d224012( 2) d4aazzz解: 1:02za222:2zDxyazz例7. 计算三重积分22()d d d ,xyx y z2222,xyzaz所围立体.其中 面是由两个球22

18、22xyzbz(),ab122()d d dxyx y z原式 258()15ba第30页/共50页第三十页，编辑于星期五：十七点 三十三分。z Oxya4.M.02 cosra0204r :解: 在球面坐标系下d ,Iz v10(2).计算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所确定. 2 cosra第31页/共50页第三十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。.02 cosra0204dz v:解: 在球面坐标系下d ,Iz v10(2).计算其中 由不等式 2222(),xyzaa222xyz所确定. 2 cos30darr40cos sind 20d4401cos sin

19、 (2 cos ) d4a247.6acos drv2sin d d drr 48 a540cossind 48 a4601cos6第32页/共50页第三十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。所围成的闭区域.0cos ,r222dvxyzcos30drr420cos2sind4110cosr0,22020dsin20ddddsind2rrv yzx1Or222d ,Ixyzv11(2).计算其中 是由球面222xyzz:解: 在球面坐标系下250 cos25 第33页/共50页第三十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。所围成的闭区域.01,r222()dvxyz140drr02sind54

20、.51r 0,200sind 20ddddsind2rrv 222()d ,Ixyzv10(1).计算其中 是由球面2221xyz:解: 在球面坐标系下02cos5 Ozxy第34页/共50页第三十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。所围成的在第一卦限内的闭区域.01,zdxy v10dzd d dz 1.801,02130d20sin cos d d ,Ixy v11(1).计算其中 为柱面1,0,0,0zzxy:解: 在柱面坐标系下2201sin8221,xy及平面2cos sin11xyzOzvdddd1d d dz 第35页/共50页第三十五页，编辑于星期五：十七点 三十三分。11(

21、2).求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz dddsind2rrv yzxaOr第36页/共50页第三十六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。3. 设设 由锥面由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示:zOxy24利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(

22、222用球坐标 rr d420dsin4020d221564第37页/共50页第三十七页，编辑于星期五：十七点 三十三分。内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;第38页/共50页第三十八页，编辑于星期五：十七点 三十三分。作业作业P164 9，10，11（1，2）。 第四节 第39页/共50页第三十九页，编辑于星

23、期五：十七点 三十三分。例例7.求曲求曲面面)0()(32222azazyx所围立体体积.解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz dddsind2rrv yzxaOr第40页/共50页第四十页，编辑于星期五：十七点 三十三分。4zxy1O3. 计算计算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解:zyxxIddd2利用

24、对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21 21zDzyxyxyxdddsin52220第41页/共50页第四十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20dx思考与练习六个平面围成 ,:第42页/共50页第四十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。432222(),.Ixydvzxyzh计算其中 由所围例例8xyzoh解解1)(xy22(+)d

25、dDIxyx y22dhxyz22300d()dhh31.6h解解230()dd dzhIz ()z23000dddhzz202d4hzz31.6h第43页/共50页第四十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。例例92222111211dddxxxyIxyxz计算解oxyz2( )dvIxv2212dxyxz222()1dxyxxy22()cos1 d dxyrr r r220cosd ()dxy1340()drrr11451第44页/共50页第四十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。例1022222101222111(1)dddxyxxyxyxyzz计算2222222401(2)limsindtxyztx