在数学教学中聚焦核心概念渗透思想方法

1、在数学教学中 聚焦核心概念 渗透思想方法 澄城县教研室 丁宏海各位老师，大家早上好！谈不上报告，算是和大家进行一次交流。下面，我从以下三个方面来谈“在数学教学中 聚焦核心概念 关注思想方法”：一、聚焦新课标的10个核心概念，抓好新一轮数学教学二、渗透数学思想方法，提高数学教学质量三、数学核心概念与思想方法的教学设计框架一、聚焦新课标的10 个核心概念，抓好新一轮数学教学（一）核心概念的表述 美国著名教育学家赫德(Hurd)认为,组成科学课程中的概念和原理应该能够展现当代学科前景,是学科结构的主干部分,它们被称为核心概念(keyconceptsorrepresentativeideas)。戴伊(

2、Day)指出,核心概念是某个知识领域的中心,虽然不是所有人都接受了这些知识,但它们却获得了广泛的应用,而且这些知识还能经得起时间的检验。费德恩(Feden)等人认为,核心概念是一种教师希望学生理解并能在忘记其非本质信息或周边信息之后,仍然能应用的概念性知识,并且他们认为核心概念必须清楚地呈现给学生。美国课程专家埃里克森(Erickson)认为,核心概念是指居于学科中心,具有超越课堂之外的持久价值和迁移价值的关键性概念、原理或方法。这些核心概念具有广阔的解释空间,源于学科中的各种概念、理论、原理和解释体系,为领域的发展提供了深入的视角,还为学科之间提供了联系。总而言之,核心概念是位于学科中心的概

3、念性知识,包括了重要概念、原理、理论等的基本理解和解释,这些内容能够展现当代学科前景,是学科结构的主干部分。美国著名教育学家赫德(Hurd)进一步提出,核心概念的选择不是随意的,而是一定要展现学科的逻辑结构,即这些核心概念能够有效的组织起大量的事实和其他概念。不仅如此,这些核心概念应具有一定的前沿性,因为这些内容将延续在学习者以后的生活中,并且极有可能会影响学习者对新知识的探索和获取,从而进一步影响未来的科学。美国著名教育学家赫德(Hurd)列出选择核心概念的标准如下: 展现了当代科学的主要观点和思维结构; 足以能够组织和解释大量的现象和数据; 包含了大量的逻辑内容,有足够的空间用于解释,概括

4、,推论等; 在教学中可以用上各类情境下的例子,并可使用于日常生活中常见的情况和环境; 可以提供许多机会,用以发展与本学科特色相关的认知技能和逻辑思维过程; 可以用于组建更高阶的概念,而且可望与其他学科的概念结构建立联系; 表达了科学在人类智力成果中所占有的地位。研究者们认为,核心概念可以根据学生的认知能力和经验,按照一定的系列逐渐进阶发展,以层层深入的方式被学生理解。这些逐渐进阶的核心概念 表现出了概念的获得和发展,是可持续学习的基础。2011版数学课程标准，修订组通过广泛听取各方意见和建议，对课程标准实验稿中提出的6个核心概念“数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力”做了调整。

5、共提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。这十个核心概念可以分成三层：第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层，超越课程内容，整个数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。核心概念的确定，对于教师教学和学生的学习都具有极为重要的意义。（二）为什么要提出核心概念 核心概念的设计与课程目标的实现、课程内容

6、实质的理解以及教学的重点难点的把握有密切关系。第一、这些核心概念的内涵在性质上是体现学习主体-学生的特征，他们涉及的是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等。第二、这些核心概念不是设计者超乎于数学课程之外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的，从这一意义上说，这些核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键，并在数学过程中有机地发展学生的数学素养。第三、这些核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。数学的基本思

7、想集中反映为数学抽象，数学推理，数学思想模型。这些思想是数学学习中的重要目标。不难看出，核心概念对数学基本思想的体现是鲜明的。比如，与“数与代数”部分内容直接关联的数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接体现了抽象、推理和模型的基本思想要求。这启示我们，核心概念的教学要更关注其数学思想本质。第四、这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。仅以“数学思考”和“问题解决”部分的目标设定来看，课程标准就提出了：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力”；“发展数据分析观念、感受随机现象”；“发展合情推理和

8、演绎推理能力”；“增强应用意识，提高实践能力”；“体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”。这些目标表述几乎涵盖了所有的核心概念。常见的概念教学程序是：从学生熟悉的事例或数学知识的新旧联系中引入给出定义让学生举例通过反例对概念进行辨析通过各种练习让学生把握概念的内涵与外延。这五个步骤包括了概念的引入概念的形成概念的明确用符号表示概念概念的巩固和应用。但是，在课堂教学中老师们对这五个环节的把握并不到位，原因在于许多教师认为，数学就是学一些结论去解题。在这五个教学环节中，很多老师认为，重心是，因为形成学生的解题能力，他们认为只是形式，忽视它的教学价值，其实从，目的是使学生看到数学概念的背景和来源，

9、体验和体会概念的形成过程，也就是认识上的适应，从而引起认知结构的新建构，是学生完成认知心理学上的“同化、顺化或与平衡”的重要认知过程。例如：“三角形”概念的教学，直接给出并让学生熟读“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形”，由于没有实际问题的呈现，所以学生觉得没有任何意义，因为不需要用这个定义去判定一个图形是否三角形。如果要让学生真正理解这一概念，应该让学生从“金字塔、飞机、建筑物”等许多“三角形”常见图片中，找出其共性，抽象出“三角形”图形。在几何与图形部分的概念教学中忽视“几何直观”。例如：梯形定义的教学强调让学生熟读“一组对边平行，且另一组对边不平行”，但不重视让

10、学生先画一个梯形与平行四边形，去观察比较，从而理解定义。在统计与概率部分有关概念的教学中忽视“数据分析的理念”。如“平均数、概率”概念的教学仅停留在计算的层面，实际上计算并不是重点，重点是用这两个概念去分析数据，得出结论。再如“随机事件” 概念的教学，很多学生误认为“火星上有没有人”是随机事件。火星上有没有人要么有，要么没有，只是我不知道结果，这没有任何随机性，叫未知事件，不是随机事件。一个硬币在没有掷以前，判断是正面向上还是反面向上是随机事件，如果掷完了后用纸盖住让第三个人猜，这已不是随机事件，因为它不是“结果不确定”，而是“结果已确定”而我不知道。所以说这些核心概念的提出，一方面有利于教材

11、编写者和广大教师更好地理解课程目标和内容，另一方面有利于广大教师整体把握数学教学的核心，合理而有效地设计和组织教学活动。就是说对他们的理解与认识成为我们正确把握课程内容从而实现课程目标的重要抓手。（三）核心概念在课堂教学中的地位美国地平线研究组主席维斯及高级研究助理帕斯利经过了18 个月的观察,对364 节课详细分析,发现优质课堂主要有几个特征,其中包括:(1) 在课堂教学过程中,教师善用多种策略(如:展现真实世界中的实例,为学生提供一手经验等) ,为某个科学概念提供清晰的阐释；(2) 吸引学生从事动脑筋的活动；(3) 帮助学生理解学科的核心概念等。   

12、0;作为优质课堂的主要特征之一,围绕学科核心概念进行课堂教学成为国际科学教育界关注的热点。（四）10个核心概念的理解 1、数感 一般人提起数感，总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像“数感”这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到,数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，有必要加强教师对数感的认识。什么是数感？“数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等。例如：认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别

13、（鉴赏）能力；数感是一种主动地、自觉地或自动地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养。或认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。标准实验稿提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。”2011版课程标准的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”数与数量、数量关系、运算结

14、果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所做出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。一是关于数与数量。在小学低段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的，学习用数表示多少的第一步就是数数，随着学习年级的增高，学生经历了更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数的感悟，并形成对数的各种表征方式的理解，这是一个逐渐展开的过程。二是关于数量关系。它是培养学生数感的另一个层次，即不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础，如学生在学习分数概念后，就建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形

15、，会分辨两个分数的大小。随着他们数感的增强，学生年级的升高和数系的扩充，学生对数量关系的感悟也会逐步提升，最后达到对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。三是关于运算结果估计。它是数学课程中所占学时较多的内容，过去更多关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感应成为我们现在课程教学的目标。因此，课程标准在“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（第一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”“会根据给出的有正比例关系

16、的数据在方格子上面图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（第二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（第三学段）。所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。如何培养学生的数感数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的获得那样立竿见影，它需要教师在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。具体做法是如下。第一，重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系。培养学生的数感，第一学段数学是重点。课程标准在第一学段目标中，明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。

17、”教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式，如刚入学的儿童在认识10以内数的时候，应该通过实物、图片等，将数与物对应起来。然后，结合具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。在第二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。第二，紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。由于现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维, 理解现实生活中数的

18、意义，理解或表述具体情境中的数量关系。如让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮政编码、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义，进一步建立数感。第三，让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。在具体的数学活动中，让学生动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之相互交流，这对强化他们感知思维，积累数感经验非常有益。如让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你到学校大约要多长时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房有多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸，讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意

19、义作用，如何用数来解决这些具体问题等。在初中，随着对数的认识领域的扩大以及数的认识的积累，可以引导学生在较复杂的数量关系和运算中提升数感。2、符号意识： 符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”，针对这种“运算”的算法是形式化的，几乎是自动化的，不

20、需要每次都从头做起。此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着举足轻重的作用。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。（1）什么是符号意识。从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代码。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。符号意识( Sym-bol sense)是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。数学符号最本

21、质的意义就在于它是数学抽象的结果。如在数与代数中，数来源于对数量本质（多与少）的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。（2）课程标准中对符号意识的表述。此次修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这说明其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。课程标准对符号意识的表述有以下几层意思。第一，能够理解并且运用符号表示数、数量

22、关系和变化规律，即能够理解符号所表示的意义与能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。如“+、一、×、÷”分别表示特定的运算意义，同时，对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。即运用符号表达数学对象是“用”符号的重要方面,这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律及它们在各个学段的要求。如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数字运算关系，而关系式、表格、图象等又都是表达数量关系和变化规律的符号工具。第二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识，要求学生在各学段的学习中，要加强他们在逻辑法

23、则下使用符号进行运算、推理的训练等，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等。第三，建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学表达是学生在解决具体问题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达,通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力已成为当今课堂关注的目标。而发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。（3）如何培养学生的符号意识。一是在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识。因为概念、

24、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分，它们又是数学教学的重点，又和数学符号的表达和使用密切相关。因此，课程标准在学段目标和各学段内容标准中都提出了具体要求。如：“能使用符号和词语描述万以内数的大小”“认识小括号”（第一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”“结合简单的时间情境，了解等量关系，并能用字母表示”“能用方程表示简单情境中的等量关系”（第二学段）；二是结合现实情境培养学生的符号意识。这里一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多

25、样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。三是在数学问题解决过程中发展学生的符号意识。如引导学生经历发现问题，提出问题（实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质，逐步促进学生符号意识得到提高。作为一种语言，数学语言有以下三种，一种是数学的普通话，即通常所说的自然语言或文字语言，一种是图形语言，这是数学里独特的东西。另外就是符号语言，作为语言，符号语言是数学里一个完整的东

26、西，某种意义上是一个体系，所以从这个角度来说，提升符号意识，对于学习数学，是非常重要的。 因为符号可以用来简洁、准确的表达，交流起来就方便。 3、空间观念 （1）什么是空间观念。关于空间观念的含义，也可理解为空间想象力。林崇德在1991年指出，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给予具体几何

27、意义的想象解释或表象能力上。曹才翰提出，空间想象力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。同时他指出，空间想象力对初中生来说要求太高了，所以课程标准中只提出培养学生的空间观念。（2）培养学生空间观念的意义。数学家和数学教育研究者对于建立培养学生的空间观念都有相关的描述。数学家阿蒂亚认为，几何是数学中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位。荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔指出，几何是对空间的把握这个空间是学生生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，学生必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。全美数学教师理事会在美国学校数学课程与评价

28、标准提到，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说，发展牢固的空间观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。（3）课程标准中关于空间观念所包含的内容。课程标准是从如下五方面进行刻画描述的：一是由形状简单的实物抽取出空间图形；二是由空间图形反映出实物；三是由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；四是由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；五是由文字或符号作出或画出图形。这几方面的描述，是在义务教育阶段对学生在图形与几何内容的学习所要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、

29、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与位置等都承载着建立，培养学生空间观念的任务。 （4）如何培养学生的空间观念。空间观念的培养是一个长期的经验积累的过程，全美数学教师理事会在1989年指出，发展学生的空间观念，学生必须具有许多经验。如几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠学生以下几个方面的能力，如会运用像“上面”“下面”和“后面”等一些词语，画出一个图形旋转90°或180°以后的图形，作图、折叠，让学生想象、绘制和比较

30、放在不同位置上的图形等，这些活动将有助于培养他们的空间观念。事实上，在图形与几何课程的学习中，有很多的素材和机会培养学生的空间观念的，主要有以下几方面。 第一，现实问题情境和学生经验是发展空间观念的基础。这在课程标准第一、第二学段的“图形与运动”“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是培养学生空间观念的很好素材，都从不同方向观察物体、运用基本图形拼图及基本几何体的展开图等，也都是旨在建立培养学生空间观念的课程内容。教师要在教学中结合学生们熟悉的现实问题情境建立培养学生的空间观念。 第二，利用多种途径建立培养学生的空间观念。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理

31、等，都是建立培养学生空间观念的有效途径。教学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来建立培养空间观念。 第三，在学生的思考、想象过程中建立培养空间观念。因为学生空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验积累和丰富的想象力，因此，教学中教师要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。4、几何观念 （1）什么是几何直观。顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来。几何直观就是依托、利用图形进行

32、数学的思考和想象。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面，加深了对图形性质的本质认识；另一方面，对几何直观能力也是一种提升。由此可以看到，在义务教育阶段对几何直观的学习和研究，能把复杂的数学问题变得简明、形象，能帮助学生直观地理解数学，从而培养学生的几何直观。（2）课程标准中关于几何直观所包含的内容。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理

33、解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果，学会用图形思考、想象问题能使我们更好地感知数学、领悟数学。因此，在义务教育阶段教学和指导学生学习时，认识和理解几何直观，能帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中教师不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。为什么要强调几何直观，从数学最基本的研究对象说起，数学最主要的研究对象，一个是图形，一个就是数、字母。 该如何从学习图形中获得最大的好处，引用数学家希尔伯

34、特写的一本书直观几何中谈到的：图形可以帮助发现、描述研究的问题；（一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单。） 图形可以帮助我们寻求解决问题的思路；图形可以帮助我们理解和记忆得到的结果。从另一个角度来说，几何直观是具体的，不是虚伪的，它与数学的内容紧密相连。 （3）如何培养学生的几何直观。一是在教学中让学生逐步养成画图习惯，即通过多种途径和方式让学生体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的益处。二是重视变换让图形动起来，因为几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法，因此，在教学时教师要充分地利用运动去认识、理解几

35、何图形性质，培养学生的几何直观。三是学会从“数”与“形”两个角度相结合认识数学，因为数形结合是对知识、技能的贯通,能有效进行数与形的化归与转化。四是掌握、运用一些基本图形解决实际问题，在教学中教师只有强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，才能有效培养学生的几何直观。 5、数据分析观念 （1）什么是数据分析观念。在课程标准中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的

36、事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。”这段表述点明了两层意思，一是点明了统计的核心是数据分析。“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括语言、信号、图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。”二是点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。（2）数据分析观念的要求。课程标准对数据分析观念的要求主要表现在三方面。第一，体会在数据中蕴涵着的信息（让学生能够体会到数据的作用）。在以信息和技术为基础的现代社会里，充满着大量的数据，需要

37、人们面对它们做出合理的决策。因此，数据分析观念的首要方面是“了解在现实生活中有许多问题应当先做出调查研究，收集数据，通过分析判断，体会数据中蕴涵着信息。”如课程标准中的一个例子。新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。 说明借助学生身边的例子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计：一是全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。二是鼓励学生讨论收集数据的方法,如可以采用一个同学提案、赞同举手的方法,可以采取填写调查表的方法,还可以采用全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的

38、方法；等等。三是收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。总之，要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。在这个例子中不难看出，首先需要设计合适的例子，鼓励学生收集数据、整理数据、分析数据，从而作出决策和推断。并在此基础上，体会数据中蕴涵着信息，体会数据分析的价值。第二，根据问题的背景选择合适的方法（运用数据可以做什么，怎么来做）。课程标准对数据分析观念方法的选择指出：要“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。”如课程标准中例38的说明中指出：“条形统计图有利于直观了解不同高度的学生数及其差异；扇形统计图有利

39、于直观了解不同高度的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。”因此，需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。第三，通过数据分析体验随机性。数据的随机主要有两层含义：一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。 如课程标准中例40：袋中装有4个红球和1个白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如，红球多还是白球多、红球和白球的比例等。 这几个方面，还

40、需要老师们去在教学当中去体会，在教学当中去贯彻。6、运算能力 运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识及技能。课程标准在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的数；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。第二学段：体验从具体情境中认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义；掌握必要的运算技能；理解估算的

41、意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。第三学段：运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，是不可或缺的内容。在课程标准所提出的课程目标中的很多方面，如获得“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等，都与运算的学习有关，运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。（1）什么是运算能力。根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量,通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、

42、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力。课程标准指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律，正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。（2）运算能力的特征。运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。首先要保证运算的正确，为此，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚地意识到实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算

43、顺畅，力求避免失误。一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解则体现了运算的普适性。一题多解和多题一解的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理和简洁。（3）与运算能力相关的内容。掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。利用乘法公式进行简单计算；能进行简单的分式加、减、

44、乘、除运算。了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算；能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。能解数字系数的一元一次不等式。（4）要充分重视估算。课程标准在每个学段的学段目标和内容标准中，都强调了估算，提出了具体的要求。第一学段：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（例3）；能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（例6）。第二学段：理解估算的意义。结合

45、现实情境感受大数的意义，并能进行估计（例23）；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（例26，例27）；会用方格纸估计不规则图形的面枳（例33）。第三学段：掌握必要的估算技能。要求学生能够用有理数估计一个无理数的大致范围（例47，例48）；经历估计方程解的过程（例52）；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟通过代入数值进行计算也是求方程解的有效途径。 需要指出的是，运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在

46、已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。（5）运算能力的培养与发展。运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累而深化。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提。运算能力的培养与发展包括运算技能的逐步提高，运算思维素质的提升和发展。在义务教育阶段，运算能力的培养、发展要经历如下几个过程。第一，由具体到抽象。其中第一学段理解万以内的数，初步认识整数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学

47、习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。第三学段认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数，掌握必要的运算技能。第二，由法则到算理。学习和掌握数与式的运算，解方程的运算，让学生在反复操练、相互交换的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎样算？”“怎样算的好？”“为什么要这样算？”等一系列问题的思考。这是由法则到算理的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。课程标准规定了一系列与算理相关的内容。如在第二学段指出：探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运

48、算律进行一些简便运算。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。第三，由单向思维到逆向、多向思维。逆向思维是数学学习的一个特点。在第二学段，课程标准规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。”在第三学段，又增加了乘方与开方的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数、微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之一。运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。在实施运算的过程中，还会遇到多个

49、因素的情况，各个因素相互联系，相互制约，又相辅相成，更加需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法，通过比较，加以择优选用。同时，由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，教师对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练、灵活多样、合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。7、推理能力 推理在数学中具有重要的地位。课程标准指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学习数学就是要学习推理。具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容

50、，也是数学课程和课堂教学的重要目标。（1）什么是数学推理。数学推理直接与命题有关。在数学中，我们随时会对思维对象作出一种断定，即对客观事物的情况有所肯定或否定的思维形式叫做判断。在数学中把表示判断的语句称为命题。而数学推理则是以一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。如果从数学内部看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。（2）课程标准中的推理能力。课程标准中的推理能力主要指合情推理与演绎推理。合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特

51、称。其中归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理；类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理。而演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的结论一定真）。它的思维进程是从一般到特殊。它的基本形式是三段论。合情推理与演绎推理功能不同，但它们是相辅相成的。波利亚很早就注意刭“数学有两个侧面用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现

52、结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。正如课程标准指出的：“两种推理功能不同，相辅相成。”（3）如何培养学生的推理能力。在教学中教师应该从以下几个方面培养学生的推理能力。一是推理能力的发展应贯穿在整个数学的学习过程中。其一，它应贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容。其二，它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程。如在概念教学中，让学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，把握条件、结论间的逻辑关系；在证明教学中，更要让学生遵循证明，通过数学推理、证明

53、数学结论。其三，它贯穿于整个数学学习环节，如预习、复习、课堂教学、自我练习、测验考试等，在所有的这些学习环节中，逐步要求学生做到言必有据，合乎逻辑二是通过多样化的活动，培养学生的推理能力，即在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”（第一学段），“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（第二学段），“在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（第三学段）。三是让学生多经历“猜想一证明”的问题探索过程，即让学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验。8、模型思想 模型思想是此次修订标准新增的核心概念。尽管课

54、程标准实验稿在课程实施部分的“教学建议”中曾提到了“建立模型”一词，但数学模型、建模等概念并未出现在义务教育阶段课程目标及课程内容的文字表述之中。这次随着“模型思想”的列入，我们会看到关于教学模型的相关提法在课程标准的多个部分出现。特别是模型思想作为一种基本的数学思想更会与目标、内容紧密关联。作为一线教师应对课程标准中模型思想的含义及要求准确理解，并把这要求落实于课堂教学之中。（1）什么是数学建模。所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。即用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等

55、式，及各种图表、图形等都是数学模型。它的结构有两个主要特点：一是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；二是这种结构借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。（2）课程标准中模型思想的含义及要求。一是模型思想是一种数学的基本思想。如在课程标准将数学基本思想作为“四基”之一提出，必然引出这样的问题：数学基本思想主要指哪些思想呢？现在模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，实际上已经明示它是数学基本思想之一。史宁中教授在数学思想概论中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通

56、过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。二是明确建立和求解模型的过程要求。课程标准以义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”，然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，最后通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养，而不只是知识、技能，使学生更有思想、方法，也有一些经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会

57、得到培养。三是模型思想还体现在课程标准其它方面。如课程标准中有如下提法：“经历数与代数的抽象、运算与建模过程。”（数与代数总目标）；“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”（“综合与实践”内容标准）等，除此之外，在教学实施、评价、案例等部分都有关于模型思想的具体要求，教师在课程实施中要注意这一特点。（3）如何培养学生的模型思想。培养学生的模型思想主要从以下几方面着手。第一、在教学中教师要逐步渗透和引导学生不断感悟。即教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想。比如在第一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、从

58、简单几何体到平面图形的过程和从简单数据收集、整理的过程，使学生学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，并提出一些力所能及的数学问题。在第二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察、分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价的关系式。总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴涵于概念、命题、公式、法则的教学之中，并与数感、符号感、空间观念等的培养紧密结合。第二、教学中教师要让学生经历“问题情境一建立模型一求解验证”的数学活动过程，它体现了课程标准中模型思想的基本要求，也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。第三、结合综合实践活动的开展，进一步发展学生的数学建模能力。第四、通过数学建模改善学生学习方式。如小课题