高考数学难点突破_难点09__指数、对数函数

1、难点 9 指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. 难点磁场( )设 f(x)=log2xx11,f(x)=x21+f(x). (1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若 f(x)的反函数为f1(x),证明：对任意的自然数n(n3),都有 f1(n)1nn; (3)若 f(x)的反函数f1(x),证明：方程f1(x)=0 有惟一解 . 案例探究例 1已知过原点o 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于a、b 两点，分别过点a、b 作 y 轴的平行线与函数

2、y=log2x 的图象交于c、d 两点 .(1)证明： 点 c、d 和原点 o 在同一条直线上；(2)当 bc 平行于 x 轴时， 求点 a 的坐标 . 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力 .属级题目. 知识依托： (1)证明三点共线的方法：koc=kod. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得a 点坐标 . 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点a 的坐标 . (1)证明：设点a、b 的横坐标分别为x1

3、、 x2,由题意知： x11,x21,则 a、 b 纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为 a、b 在过 点o的直 线上，所 以228118loglogxxxx, 点c 、d坐 标分别 为 (x1,log2x1),( x2,log2x2), 由于log2x1=2loglog818x=2logloglog,log38282218xxx3log8x2,所以 oc 的斜率： k1=118212log3logxxxx, od 的斜率： k2=228222log3logxxxx，由此可知： k1=k2,即 o、c、d 在同一条直线上. (2)解：由 bc 平行于 x 轴知： log2x1=log8

4、x2即： log2x1=31log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2得： x13log8x1=3x1log8x1,由于x11 知 log8x10,x13=3x1.又 x11,x1=3,则点 a 的坐标为 (3，log83). 例 2 在 xoy 平面上有一点列p1(a1,b1),p2(a2,b2),pn(an,bn), ,对每个自然数n 点 pn位于函数 y=2000(10a)x(0a1)的图象上，且点pn,点(n,0)与点 (n+1,0)构成一个以pn为顶点的等腰三角形. (1)求点 pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以 bn,bn+1,bn+2为边长能构成一

5、个三角形，求a 的取值范围；(3)设 cn=lg(bn)(nn*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列 cn 前多少项的和最大？试说明理由. 命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属级题目. 知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识. 错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口. 技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关知识点去解决问题. 解： (1) 由题意知： an=n+21,bn=2000(10a)2

6、1n. (2)函数 y=2000(10a)x(0abn+1bn+2.则以 bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即(10a)2+(10a)10,解得 a5(51).5(51)a10. (3)5(51)a10,a=7 bn=2000(107)21n.数列 bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2,bn=bnbn1.于是当bn1 时， bnbn1,当 bn1 时， bnbn1,因此数列 bn的最大项的项数n 满足不等式bn 1 且 bn+11 时，函数 y=logax 和 y=(1a)x 的图象只可能是( ) 二、填空题3.( )已知函数 f(x)=)

7、02()(log)0(22xxxx.则 f-1(x1)=_. 4.( )如图，开始时，桶1 中有 a l 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 y= aent,那么桶 2 中水就是y2=aaent,假设过 5 分钟时，桶1 和桶 2 的水相等，则再过_分钟桶 1 中的水只有8a. 三、解答题5.( )设函数 f(x)=loga(x3a)( a0 且 a1),当点 p(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时，点q(x 2a,y)是函数 y=g(x)图象上的点 . (1)写出函数y=g(x)的解析式；(2)若当 x a+2,a+3时，恒有 |f(x)g(x)|1,试确定 a 的取值范围 . 6

8、.( )已知函数 f(x)=logax(a0 且 a1),( x(0,+),若 x1,x2(0,+),判断21f(x1)+f(x2)与 f(221xx)的大小，并加以证明. 7.( )已知函数x,y 满足 x1,y 1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a0 且 a1),求 loga(xy)的取值范围 . 8.( )不等式 2(log21x)2+9(log21x)+90 的解集为m， 求当 xm 时函数 f(x)=(log22x)(log28x)的最大、最小值 . 参考答案难点磁场解： (1) 由xx110,且 2x0 得 f(x)的定义域为 (1，1)，设

9、1x1x21,则f(x2)f(x1)=(122121xx)+(11222211log11logxxxx) )1)(1()1)(1(log)2)(2(212122112xxxxxxxx, x2x10,2x10,2x20,上式第2 项中对数的真数大于1. 因此 f(x2)f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在(1，1）上是增函数. (2)证明：由y=f(x)=xx11log2得： 2y=1212,11yyxxx, f1(x)=1212xx,f(x)的值域为r， f-1(x)的定义域为r. 当 n3 时， f-1(n)1221111221112121nnnnnnnnnn. 用数学归纳法易证2

10、n2n+1(n 3),证略. (3)证明： f(0)=21,f1(21)=0, x=21是 f1(x)=0 的一个根 .假设 f1(x)=0 还有一个解x0(x021),则 f-1(x0)=0,于是 f(0)=x0(x021).这是不可能的，故f-1(x)=0 有惟一解 . 歼灭难点训练一、 1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 又 g(x)+h(x)=lg(10 x+1).即 g(x)+h(x)=lg(10 x+1) 由得： g(x)=2x,h(x)=lg(10 x+1)2x. 答案： c 2.解析：当a1 时，函数y=logax 的图象只能在a 和 c 中选，又a1

11、时， y=(1a)x 为减函数 . 答案： b 二、 3.解析：容易求得f- 1(x)=)1(2)1(log2xxxx,从而：f1(x1)=).2(,2)2(),1(log12xxxx答案：)2(,2)2(),1(log12xxxx4.解析：由题意， 5 分钟后， y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=51ln2.设再过 t 分钟桶 1 中的水只有8a,则 y1=aen(5+t)=8a,解得 t=10. 答案： 10 三、 5.解： (1)设点 q 的坐标为 (x,y),则 x=x2a,y=y.即 x=x+2a,y=y. 点 p(x,y)在函数 y=loga(x3a)的图象上，y=

12、loga(x+2a3a),即 y=logaax21,g(x)=logaax1. (2)由题意得 x3a=(a+2)3a=2a+20;ax1=aa)3(10,又 a0 且 a 1, 0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)logaax1|=|loga(x24ax+3a2)|f(x)g(x)|1, 1loga(x24ax+3a2)1, 0a1,a+22a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上为减函数，(x)=loga(x24ax+3a2)在 a+2,a+3上为减函数，从而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求问题转化

13、为求不等式组1)44(log1)69(log10aaaaa的解 . 由 loga(96a) 1 解得 0a12579,由 loga(44a)1 解得 0a54, 所求 a 的取值范围是0 a12579. 6.解： f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, x1,x2(0,+),x1x2(221xx)2(当且仅当x1=x2时取“ =”号 )，当 a1 时，有 logax1x2loga(221xx)2, 21logax1x2loga(221xx)，21(logax1+logax2)loga221xx, 即21f(x1)+f(x2)f(221xx)(当且仅当x1=x2时

14、取“ =”号 ) 当 0a1 时，有 logax1x2loga(221xx)2, 21(logax1+logax2)loga221xx,即21f(x1)+f(x2)f(221xx)(当且仅当x1=x2时取“ =”号） . 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令 u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐标系uov 内， 圆弧 (u1)2+(v1)2=4(uv0)与平行直线系v=u+k有公共点，分两类讨论 . (1)当 u0,v0 时，即 a1 时，结合判别式法与代点法得1+3k2(1+2); (2)当 u0,v0,即 0a1 时，同理得到2(12)k 13.x 综上，当a1 时， logaxy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当 0a 1 时， logaxy 的最大值为13，最小值为222. 8.解： 2(21logx)