高考数学解题技巧(理科)

1、2012 年高考解题技巧知识点汇总一、选择题和填空题：1、 集合题：表示交集（两个集合都有的元素或者是共同的元素）例如：8, 6, 5, 3a，8 ,7, 5 ,4b，8 , 5ba：表示并集（把两个集合的全部元素合在一起形成的集合）例如：8, 6, 5, 3 , 1,8, 6,5, 3, 1babacun：表示全集的补集（在全集u中找集合n 里没有的元素）例如：全集5, 3 , 1,4,2,5 ,4, 3 ,2 , 1ncnmm绝对值不等式的解法：)0(aax的解为：axax或例如：1532xxx或的解为：)0(aax的解为：axa例如：3121xx的解为：一元)(02121212xxxxx

2、xxxcbxax是方程的两个根，且其中或的解为，例如：120232xxxx或的解为)(02121122xxxxxxxcbxax是方程的两个根，且其中的解为，例如：37-02142xxx的解为2、复数：复数的单位为 i，它的平方等于 1，即1i2.复数：形如 a + bi 的数（其中rba，） ；实数：当 b = 0时的复数 a + bi，即 a；虚数：当0b时的复数 a + bi；纯虚数：当 a = 0 且0b时的复数 a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部： a 叫做复数的实部， b 叫做虚部（注意 a，b 都是实数）复数加、减、乘、除法的运算法则：设),(,21rdcb

3、adiczbiaz，则idbcazz)()(21；ibcadbdaczz)()(21；idcadbcdcbdaczz222221。共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则z=a-bi， （a、br）例如：已知复数 z 满足（ 1+3i ）z=10，则 |z|=103、 反函数：（如果是函数图象关于xy对称，也就是求其反函数）指数函数和对数函数之间的转化：yyxayax最后变形为的反函数为,logxalog( 其中a0 且xa, 10) 例如：xyyxyxyx2221log1,log1log12最后得到的反函数为4、 函数的奇偶性、周期性、连续性：偶函数：对于函数( )f

4、x的定义域内任意一个x，都有()( )fxfx注：偶函数的图象关于y 轴对称 . 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 奇函数：对于函数( )f x的定义域内的任意一个x，都有()( )fxf x注： (1) 、由函数的奇偶性定义可知，对于定义域内的任意一个x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） (2) 、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数函数的周期性：对于函数)(xf， 如果存在一个非零常数t， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xftxf则)(xf为周期函数，t 为

5、这个函数的周期。连续性：若在x=x0处连续，则例如：设函数 f（x）=)0( ,2)0( ,xxxax，在 r 上连续，则a=1 已知 f（x）是定义在 r 上的偶函数，且是周期为2 的周期函数，当x2，3时， f(x)=x ，则 f(23)的值是（25）5、 圆锥曲线相关知识：圆：圆的一般形式：022feydxyx,圆心为（2,2ed）,半径为fed42122圆的标准方程：222)()(rbyax，圆心为（ba,）半径为r例如：圆），的圆心坐标是（3-206422yxyx抛物线：（以焦点在x轴正半轴上的抛物线为例）pxy22焦点（0,2p） ，准线方程2px例如：抛物线482的焦点到准线的距

6、离是xy抛物线2xy的焦点坐标为（41,0）椭圆：标准方程：)0( , 12222babyax其中是短轴长是长轴长， baabaaceecbac22222, 是离心率：是焦半径：）的取值范围：右正，左负（准线方程是到准线的距离曲线上任意的点到焦点的距离曲线上任意的点1;,2eoecaxppe例如：椭圆xfbabyax，其右准线与的右焦点为)0(12222轴交点为a，在椭圆上存在点p 满足线段ap 的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是1 ,21双曲线：标准方程：12222byax，其中是短轴长是长轴长， baabaaceebacc22222, 是离心率：是焦半径：）的取值范围：右正，左负

7、（准线方程是到准线的距离曲线上任意的点到焦点的距离曲线上任意的点1;,2eecaxppexyobaccax2pab2f1fxyoxabyp1f2fac例如：双曲线1366422yx上一点 p 到双曲线右焦点的距离是4，那么 p到左准线的距离是6、 分层抽样：（1）频率可以看成是概率，用与事件a 相关的总数m 除以事件总数n 就是概率p：nmpa)(（2）各层中抽取的样品数等于概率乘以该层样品总数：npm例如：有一个容量为66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5) 2 15.5， 19.5) 4 19.5，23.5) 9 23.5，27.5) 18 27.5，31.5) 1l

8、 31.5，35.5) 12 35.5，39.5) 7 39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5 的数据约占13一个单位有职工800 人，其中具有高级职称的160 人，具有中级职称的320 人，具有初级职称的200 人，其余人员 120 人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40 的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是8,16,10,6 7、 充要条件：先确定给出的信息哪里是已知，哪里是结论：结论已知充分结论已知必要结论已知充要例如：“ x3”是“ x29”的充分而不必要的条件已知 a，b，c，d 为实数，且cd，则“ ab”是“acbd

9、”的必要而不充分条件8、 向量运算：已知向量),(11yxa),(22yxb22aa单位向量122yxa那么2121yxa；),(2121yyxxba；),(2121yyxxba；),(1212yyxxab2121cosyyxxbaab；bababacos, 两向量的夹角公式：0/2121xyyxbaba002121yyxxbaba例如：已知两非零向量共线”的与”是“则“babababa,充分不必要条件9、 三角函数变换：由xysin的图像变为)sin(xay先平移，在压缩：向左移动+个单位，向右平移-个单位；横坐标变为原来的1倍横坐标缩短到原来的图象左移1)sin(sinxyxy)sin(

10、xy)sin( xaya倍纵坐标伸长为原来的先压缩，在平移：横坐标变为原来的1；向左移动 +个单位，向右平移个单位图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin1xyxy)sin(xy)sin( xaya倍纵坐标伸长为原来的例如：将函数sinyx的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是：1sin()210yx10、线性规划：根据题给条件，列出所有不等式。再由不等式解出取极值点的坐标，代入就是最后结果。例如：某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有 8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为6 吨的乙型卡车 某天需运

11、往a地至 少 72 吨的货 物，派用的每辆车需满载且只运送一次派用的每辆甲型卡车需配2 名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1 名工人，运送一次可得利润350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为：解： 获得的利润为u （ 元） ，4 5 03 5 0uxy设派用甲型卡车x （辆） ， 乙型卡车 y （辆） 由题意，x、 y 满足关系式12,219,10672,08,07,xyxyxyxy确定的交点(7,5) 处取得最大值4900 元某工厂用某原料由甲车间加工出a 产品，由乙车间加工出b 产品。甲车间加工一箱原料需耗费工时10 小时可加工出 7 千克

12、 a产品， 每千克 a 产品获利 40 元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6 小时可加工出4 千克 b产品， 每千克b 产品获利50 元。甲、乙两车间每天共能完成至多70 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（甲车间加工原料15 箱，乙车间加工原料55 箱）11、空间中的点线面：利用教室的墙角（三个面垂直）和教室内的物体参考给出答案进行评价。在草稿纸上画图形，然后进行比划得出结论。例如：1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（b ）（a）12ll ，23ll13/ll（b）12ll ，23/ll13ll（c）

13、233/lll1l ，2l ，3l 共面（d）1l ，2l ，3l 共点1l ，2l ，3l 共面如图，已知六棱锥p-abcdef 的底面是正六边形，pa平面 abc ，pa=2ab, 则下列结论正确的是（d ）（a）pbad （b）平面 pab平面 pbc （c）直线 bc/平面 pae（d）直线 pd 与平面 abc 所成的角为04510、球的知识：球的体积公式和面积公式考试试卷上会给出：球面距离等于球的半径乘以两点与球心连线所成的夹角：rl例如：半径为r的球o的直径 ab垂直于平面，垂足为 b，bcd是平面内边长为r的正三角形，线段ac 、ad分别与球面交于点m 、n ，那么 m 、n两

14、点间的球面距离是（17arccos25r）如图，在半径为3 的球面上有a.b.c 三点，90abc， ba=bc ，球心 o 到平面 abc 的距离是3 22，则 b.c 两点的球面距离是10 数列：数列通项na与前n项和ns的关系1niinnaaaaas1321 22111nssnsannn（1）等差数列：mnaadnaaddnaadmnaadnaadaamnnnmnnnn1;)1()() 1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：等差中项： 若cba,成等差数列， 则b称ca与的等差中项， 且2cab；cba,成等差数列是cab2的充要条件。前n项和公式2)(1naasnn；2)1(1d

15、nnnasn等差数列na的基本性质),(nqpnm其中qpnmaaaaqpnm，则若反之，不成立。dmnaamn)(mnmnnaaa2nnnnnsssss232,仍成等差数列。判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：）常数）（nndaann(1na是等差数列中项法：)221nnaaannn（na是等差数列通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列（2）等比数列递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaqaa推广：通项公式：递推关系：111等比中项：若三个数cba,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，acbacb2，或前n项和公式) 1(11)1() 1(111qqqaaqq

16、aqnasnnn等比数列的基本性质，),(nqpnm其中qpnmaaaaqpnm，则若)(2nnaaaaaqmnmnnmnmn，na为等比数列，则，时，nnnnnsssssq2321仍成等比数列。等比数列的判定法定义法：（常数）qaann 1na为等比数列；中项法：)0(221nnnnaaaana为等比数列；例如 ：数列 an 的前 n 项和为 sn，若 a1=1，an+1 =3sn（n 1 ） ，则 a6=3 44等差数列na的公差不为零，首项1a=1，2a是1a和5a等比中项，则数列na的前 10 项之和是100 设等差数列na的前n项和为ns，且55sa若40a，则74aa 3 若等比数

17、列 an满足 anan+1=16n，则公比为4 11、二项式的展开式：二项式定理11()nnnrn rrnnnnnabac abc abc b（当 a、b 都等于 1 时，就是各项系数和为n2，即nnnnnrnnnccccc2110）rnc：二项式系数，0,1,2rn1rn rrrntc ab：二项式展开式通项，是第1r项注意： n 次展开式中共有n+1 项对称性：mn mnncc最大值：n是偶数时，2nnc取得最大值；n是奇数时，中间两项1122nnnncc同时取得最大值例如：9(1)x的展开式中3x 的系数是 _84_42()xx的展开式中的常数项为 24 12、三角函数：直角三角形： 三

18、边之间的关系：222cba（勾股定理） ；边角之间的关系：的对边的邻边，的邻边的对边，斜边的邻边，斜边的对边aaaaaaaaaacottancossin三角函数 ：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点p（x,y ）p与原点的距离为r ，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；. yrcsc. 三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦）三角函数030456090sina o 2122231 cosa 1 2322210 tana 0 331 3不存在cota 不存在31 330 roxya的终边p（ x,y )正切、余切余弦、正割-+-+正弦、余割oo

19、oxyxyxy同角公式：aaaaacossintan; 1cossin22两角和与差的三角函数：tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(二倍角公式：22222tan1tan22tansincossin211cos22coscossin22sin降幂公式22cos1cos22cos1sin22半角公式：2cos12sin；2c o s12c o s；cos1cos12tanc o s1s i ns i nc o s12t a n万

20、能公式：22sincossinabab解析式sinyxcosyxtanyx图象定义域(,)(,)|,2x xkkz值域 1,1 1,1r最值max1y（22xk）max1y（2xk）无最大值和最小值min1y（22xk）min1y（2xk）奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性2t=22t=2t=单调性2,222kk2,2kk(,)22kk32,222kk2,2kk对称性对称中心为(,0)k对称中心为(,0)2k对称中心为(,0)2k对称轴为2xk对称轴为xk无对称轴函数)sin(xay的图象变换：振幅 a，周期 t=2, 频率 f=t1, 相位x，初相偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfx

21、f）正弦定理 ：aasin=bbsin=ccsin= 2r（r 为三角形外接圆半径）余弦定理 ：a2=b2+c2-2bcacosb2=a2+c2-2acbcosc2=a2+b2-2abccosbcacba2cos222s=21aah=21abcsin=21bcasin=21acbsin=rabc4=2r2asinbsincsin例如：锐角abc的三内角a、b、c所对应的三边分别为a、b、c, 两向量(tan ,3)nb,222(,)macb ac满足mn.( ) 求角b的大小 ;( ) 求函数232sincos2caya的最大值以及此时角a的大小 . ( ) 由mn得222()tan30acb

22、bac, 即2223tan22acbbac, 即3sin.(0,),223bbb. ( )2232sincos2sincos(2 )23cayaaa31sin 2cos21sin(2)1226aaa. 因为 ,62a所以当262a时,即3a时, 函数的最大值为2. 13、概率统计：（1）备战 2012 年伦敦奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练. 现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8 次, 记录如下 : 甲: 8.3 9.0 7.9 7.8 9.4 8.9 8.4 8.3 乙: 9.2 9.5 8.0 7.5 8.2 8.1 9.0 8.5. ( ) 现要从中选派一人参加

23、奥运会封闭集训, 从统计学角度 , 你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由; ( ) 若将频率视为概率, 对两位选手在今后各自的二次比赛成绩进行预测, 求这四次成绩中恰有两次不低于8.5 分的概率 . 解：( ) 可计算处8.5,8.5,xx甲乙212.160.040.250.360.490.810.160.010.040.2788s甲. 213.240.4910.2510.090.160.2500.40588s乙. 故选择甲去 . ( ) 甲的成绩不低于8.5 分的概率为138p, 乙的成绩不低于8.5 分的概率为24182p. 于是所求概率等于112222223 51 131516092

24、547()()()()8 82 28282644128cc. 所以 , 这四次成绩中恰有两次不低于8.5 分的概率为47128. 解：设“ i 个人游戏a 闯关成功”为事件ai(i=0，1，2)， “j 个人游戏b 闯关成功”为事件bj(j=0，1，2)，（i） “游戏 a被闯关成功的人数多于游戏 b被闯关的人数”为 a1b0+a2b1+a2b0 p(a1b0+a2b1+a2b0)=p(a1b0)+p(a2b1)+p(a2b0)=p(a1)p(b0)+p(a2)p(b1)+p(a2)p(b0) =202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(212

25、1cccccc367即游戏 a 被闯关成功的人数多于游戏b 被闯关的人数的概率为367（ii ） “游戏 a、b 被闯关成功的总人数为3”为 a2b1+a1b2 p(a2b1+a1b2)=p(a2b1)+p(a1b2) =p(a2)p(b1)+p(a1)p(b2)2121)32(3132)21(1222212222cccc=31即游戏 a、b 被闯关成功的总人数为3 的概率为31（3）某公司对工厂a 的一批产品进行了抽样检测右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 96，106 ，样本数据分组为96，98） ， 98，100 ） ，100 ，10

26、2） ，102 ，104 ） ，104 ，106 （1）求图中 x 的值；（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3 件，求至多有2 件产品的净重在 96，98）的概率；解： （1）依题意及频率分布直方图知，（x+0.075+0.100+0.125+0.15） 2=1，解得 x=0.05 （2）设所抽取到得产品的件数为x，由题意知， xb（3，0.1 ） ，因此p(x=0)=c30 0.93=0.729p(x=1)=c310.1 0.92=0.243p(x=2)=c320.12 0.9=0.027 所以至多有2 件产品的净重在 96 ，98）的概率 p=p （x=0）+p （x=1

27、）+p （x=2 ）=0.729+0.234+0.027=0.99914 空间立体几何：（1）空间向量的坐标运算：1. 向量的直角坐标运算设a123(,)a a a，b123(,)b b b则(1) ab112233(,)ab ab ab； (2) ab112233(,)ab ab ab；(3) a123(,)aaa ( r)； (4) ab1 12233a ba ba b；2. 设 a111(,)x y z，b222(,)xyz，则aboboa= 212121(,)xx yy zz. 3、设111(,)ax y zr，222(,)bxyzr，则121212/,ababxxyyzz（0b）ab

28、rr0a br r1212120 x xy yz z. 4. 夹角公式：设a123(,)a a a，b123( ,)b b b，则1 12233222222123123cos,aba ba ba baaabbb. 5异面直线所成角（00900 ） ：cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzrrrr. 6直线l垂直，取直线l的方向向量n，则向量n称为 平面的法向量 n=07. 平面外一点p到平面的距离：已知ab为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，a到平面的距离为：|abndn8线面角（00900） ：设直线l的方向向量为l，