D532全微分课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分 第五章 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用 一元函数 y = f (x) 的微分)( xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 3.2 全微分目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义3.3: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )在点在点( x0 , y0 )的某邻域内的某邻域内0000(,)-(,)zf xx yyf xy 12( ),zaxayo 可以表示为可以表示为,函数函数f 在在有定义有定义.如果对于如果对于0000

2、(,)(,)xx yyU xy( x0 , y0 )处的改变量处的改变量其中其中 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x0 , y0 有关，则称有关，则称12,a a22)()(yx f ( x, y ) 在点在点( x0, y0) 可微可微，并称，并称 为函数为函数f 12axay 在点在点 (x0, y0) 的的全微分全微分, 记作记作0, 00, 0()()1212|x yx ydzdfaxaya dxa dy 目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分由上述定义知由上述定义知,当当 充分小且充分小且 不全为零时不全为零时,全微分全微分 就是函数就是函数 f 在在(x0,y0)

3、处改变量的线性主部处改变量的线性主部. 12,a a0, 0()|x ydz问题：问题：1. f在什么条件下可微？在什么条件下可微？2. 当当f可微时，可微时， 代表什么？代表什么？12,a a3. 如何计算全微分？如何计算全微分？4. 函数的可微性与连续性及方向导数之间又有什么函数的可微性与连续性及方向导数之间又有什么关系？关系？目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分定理定理3.13.1( (可微的必要条件可微的必要条件) ) 若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x0, y0) 可微可微 ,则则(1) f 在(x0, y0)处连续； (2) f 在(x0, y0)处沿任意

4、l 方向的方向导数均存在，特别的，f 在 (x0, y0)处的两个偏导数均存在，且有000000d (,)(,)(,)xyf xyfxy dxfxy dy及000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl其中 是 l 方向上的单位向量.(cos ,cos)le目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分000012(,)( ,)( )zf xx yyf x ya x a y o 证证 (1) 当f 在点(x0, y0) 可微时, 故 12()zaxayo 000000lim(,)(,)xyf xx yyf xy 或000cos ,cos ,(,)xtytxx y 成立,0(0

5、0),xy 令即,得0lim0z 所以 f 在(x0, y0)处连续；(2)由可微的定义,有取目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分| |22xyt则有则有,及及000000(cos ,cos)(,)()()lf xtytf xyf xtef x12coscos( )ata to于是由方向导数的定义式有于是由方向导数的定义式有0000()()limltxf xtef xflt120( )lim(coscos)toaat120(| |)coscoslimto taat12coscosaa目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分由上可知，当由上可知，当f 在点在点 x0 处可微时，处可微

6、时，f 在在x0 处沿任意处沿任意l方向的方向导数均存在方向的方向导数均存在.特别地，特别地，f 在在x0 处的两个偏处的两个偏导数均存在导数均存在.当当 分别取分别取(1,0)和和(0,1)时，时，由上式可得由上式可得于是由全微分定义，定理得证！于是由全微分定义，定理得证！(cos ,cos)le100(,)xafxy200(,)yafxy函数函数 z =f (x, y) 在点在点 x0= (x0 , y0) 可微可微00()()( )xyzfxxfxyo 目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分 二元函数在一点处的全微分不仅与二元函数在一点处的全微分不仅与 f 在该点处的各个在该点处的

7、各个偏导数有关，还与各自变量的改变量偏导数有关，还与各自变量的改变量x,y有关有关. 如果如果f 在区域在区域 的每一点均可微，则称的每一点均可微，则称 f 是是 内内的的可微函数可微函数.此时全微分可简记为此时全微分可简记为df 或或 dz，其计算公，其计算公式为式为2R dfffdxdyxy可微与偏导数的关系（可微与偏导数的关系（1）:函数可微函数可微偏导数存在偏导数存在 ),(yxf222,024xyxyxy0, 022 yx例例3.1f在原点处两个偏导数在原点处两个偏导数都存在，但是在原点都存在，但是在原点却不连续，故不可微！却不连续，故不可微！ 目录 上页 下页 返回 结束 D532

8、全微分例例3.4 讨论函数讨论函数),(yxf在点在点O(0,0)处的连续性与可微性处的连续性与可微性.22220 xyyxyxy易见易见f在点在点(0,0)处连续处连续.再由偏导数的定义，可得再由偏导数的定义，可得0,2222yxyxyx0, 022 yx证证 由由0(0,0)(0,0)(0,0)lim0 xxfxffx (0,0)0yf同理，故故f在点在点(0,0)处的两个偏导数均存在处的两个偏导数均存在.目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分例例3.4 讨论讨论函数),(yxf在点O(0,0)处的连续性与可微性.0,2222yxyxyx0, 022 yx证证)0, 0()0, 0(

9、yfxfzyx因此,函数在点 (0,0) 不可微 .)(o22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分定理定理3.2 (充分条件)若函数),(yxfz 的所有偏导数均(,)00 xy在点 的某一邻域内存在,且所有偏导数均在(,)00 xy处连续，则f在 处可微.(,)00 xy证证0000(,)( ,)zf xx yyf x y 0000 (,)( ,)f xx yyf x yy 0000 ( ,)( ,)f x yyf x y 由lagrange微分中值公式知存在 ，使(01,1,2)iii010002(,)( ,)xyzf xx

10、 yy xf x yy y 由于 在 处连续，有(,)00 xy( , )xf x y22010000lim (,)( ,),xxf xx yyf x yxy 其中目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分定理定理3.2 (充分条件)若函数),(yxfz 的所有偏导数均(,)00 xy在点 的某一邻域内存在,且所有偏导数均在(,)00 xy处连续，则f在 处可微.(,)00 xy因此有010001(,)(,)( )xxfxx yyfxy 002002(,)(,)( )yyfx yyfx y同理其中 是当 时的无穷小.于是12( ),( ) 0000012( ,)( ,)( )( )xyzf

11、x yxf x yyxy 由22( )( )( )( )11xy 知2( )( )lim100 xy 目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分定理定理3.2 (充分条件)若函数),(yxfz 的所有偏导数均(,)00 xy在点 的某一邻域内存在,且所有偏导数均在(,)00 xy处连续，则f在 处可微.(,)00 xy所以2( )( )1O( )xy 综上所述，则f在 处可微.(,)00 xy目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分例例3.5 计算函数在点 (0,1) 处当 yxze解解:(0,1)d(0,1)d(0,1)d1 0.10 0.20.1xyzfxfy ( , ) e,xyz

12、f x y记则0.1,0.2xy 时的改变量 及全微分 z.dz0.12(00.1,10.2)(0,1)1zffe xzyz,eyxyyxxe目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分可微与偏导数的关系（可微与偏导数的关系（2）: 偏导数连续偏导数连续函数可微函数可微 例例3.6在点在点 (0,0) 处可微，处可微，),(yxf22221()sin, ( , )(0,0)xyx yxy)0 , 0(),(, 0yx但偏导数在点但偏导数在点 (0,0) 不连续不连续. 证明函数证明函数证证 易求得易求得 ,因此因此 有有(0,0)(0,0)0 xyff(0, 0)(0, 0)(,)(0,0)x

13、yffxfyfxyf 2211()sinsin( )2222xyoxy 故故f 在点在点 (0,0) 处可微。处可微。目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分当 f 不在点(0,0) 处时，有222222121( , )2 sincosxxfx yxxyxyxy由于22001lim2 sin0 xyxxy而22222002111limcoslimcos2xxy xxxyxyxx不存在，所以 在点(0,0)处间断，同理 也在点(0,0)间断.( , )xfx y( , )yfx y目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分N元函数的全微分元函数的全微分 设设n元函数元函数 在点在点 1(

14、)( ,)nuf xf xx10,(,)00,nnxxxR的邻域的邻域 内有定义，如果内有定义，如果 ，0()nU xR()00 xxxU x 存在一组与存在一组与 无关的常数无关的常数 使得使得()1nxxx ， ，1,naa函数函数f 在在x0 处的改变量处的改变量00()()uf xxf x +可表示为可表示为11( )nnuaxaxo 其中其中 是当是当 时关于时关于 的高阶无穷小，的高阶无穷小，则称则称 f 在在 点点 x0 处处可微可微，且称关于，且称关于 的线性的线性函数函数( )o0 x 1nxx， ，11nnaxax为为f 在在 点点 x0 处的全微分，记为处的全微分，记为

15、，或，或 ，即，即0()df x0|x xdu011()nndf xaxax目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分 同二元函数一样，常记 ，于是f 的全微分也常写成iixdx01()niiidf xa dx 定理3.1及定理3.2的结论也可直接推广到n元函数.例如，当n元函数f 在x0 处可微时，f 在x0 处的所有偏导数均存在，且可微定义中的 001()()niiif xdf xdxx0()(1, )iif xainx从而有目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分例例3.73.7 求求 的全微分的全微分.2221( , , )f x y zxyz解解 显然，在除了原点之外的所有点，

16、显然，在除了原点之外的所有点，f 的所有偏的所有偏 导数均存在且连续，因此由定理导数均存在且连续，因此由定理3.2知知 f 可微，则可微，则xyzdff dxf dyf dz222 3/2()xdxydyzdzxyz 2220 xyz（）目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分二、全微分在近似计算和误差估计中的应用二、全微分在近似计算和误差估计中的应用 n元函数元函数 f 在点在点x0处可微时，有处可微时，有000()( )( )( )zf xxf xdf xo 从而当从而当 时，有时，有1x 00001()( )( )( )inxiif xxf xdf xf xx 或或000,1( )(

17、 )( )()inxiiif xf xf xxx 当当 时用函数的全微分近似表示函数的改变量时用函数的全微分近似表示函数的改变量，就是在，就是在x0 的邻域内把一个非线性函数的邻域内把一个非线性函数f(x)近似地近似地线性化。上式右端称为线性化。上式右端称为f(x)的的一次近似一次近似或或线性逼近线性逼近.1目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分1. 函数值的近似计算函数值的近似计算例例3.83.8 求 的近似值.331.971.01解解 令令 ，( , )33f x yxy00(,)(2,1),xy10.030.0 xy ，2(2,1)3(2,1)2233xxfxy2(2,1)31(2

18、,1)2233yyfxy(,)(,)(,)330000001.971.01f xx yyf xydf xy(2,1)(2,1)(2,1)2.945xyffxfy 目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分2. 误差估计误差估计设量设量z 由公式由公式 确定，如果确定，如果x 和和 y的近似值的近似值x0 和和y0 分别有绝对误差分别有绝对误差 ,那么那么 ( , )zf x y , , ,xyxyxy即(,)000zf xy 也是也是z z的近似值的近似值. .由于由于 都很小都很小, ,xy 所以可以用公式所以可以用公式 估计估计z z0 0的绝对误差：的绝对误差：zdz 0000dz |

19、( , )( , )|xyzf x yxf x yy 0000|( ,)| |( ,)|xyf x yxf x yy 0000|( , )|( , )|xxyyf x yf x y从而从而z z的绝对误差为的绝对误差为(,) (,) 0000zxxyyfxyfxy目录 上页 下页 返回 结束 D532全微分由此得由此得z z0 0的相对误差为的相对误差为(,)(,)(,)(,)000000000yxzxyfxyfxyzf xyf xy例例3.93.9 设设 ，求由测量值，求由测量值 x0,y0 计算计算z所产生所产生的绝对误差与相对误差的绝对误差与相对误差.zx y解解 绝对误差绝对误差 ，000 xyzzxy00zxyyx 相对误差相对误差 乘积乘积( (商商) )