D27单调性与极值课件

1、第七节一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值 第二二章 三、函数在闭区间上的最大值与最小值三、函数在闭区间上的最大值与最小值一、一、 函数单调性的判别法函数单调性的判别法定理定理2.10 设函数上连续，在开区间在闭区间baxf,)(内可导，ba,.,)(0)(,)2(上单调减少在，则内如果在baxfxfba证证: 设,0)( xf任取)(,2121xxbaxx不妨设由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxba,0故. )()(21xfxf这说明 上单调递增.ba

2、xf,)(在机动 目录 上页 下页 返回 结束 上单调增加；在，则内如果在baxfxfba,)(0)(,) 1 (例例1. 确定函数31292)(23xxxxf的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的单调增单调增区间为, ) 1,();,2()(xf的单调减单调减区间为).2,1 (12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.2.11(2ln1恒成立）时，不等式证明：当xxxx11(2ln)(xxxxf）证：设2) 1(221)(xxxf则22) 1() 1

3、(xxx, 0)(1xfx时，当上单调增加，在区间1)(xf, 0) 1 ()(1fxfx时，当.11(2ln1xxxx）时，当二、函数的极值及其求法函数的极值及其求法定义定义2.3:如果内有定义的某邻域在点设函数,)(0 xxf，恒有的一个邻域对该邻域内任何点),(0 xxx, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 极大值与极小值统称为极

4、值极值 .注意注意: 函数的极值是函数的局部性质.31292)(23xxxxf例如例如1x为极大点 , 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小点 , 12xoy12机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx为极大点52,xx为极小点3x不是极值点驻点不一定是极值点处取得在处可导，且在点若函数00)()(xxfxxf定理定理2.11. 0)(0 xf极值，则必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 的等于零的点称为函数使导数)()(xfxf 驻点.定理定理 2.12(极值第一判别法极值第一判别法)的空心在的某邻域内连续在设函数00,)(x

5、xxf邻域内有导数,由小当x(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)(0)(00不存在或且xfxf,0时到大通过 x.)(0处没有极值在则xxf(3) )(xf 不变号不变号 ,求函数极值的一般步骤：P68-69.可导: 驻点极值可疑点不可导:不可导点极值点不是极值点极值点不是极值点例例3. 求求1) 1()(32 xxf的极值 .解解:1) 求导数xxxf2) 1(3)(222) 求驻点令,0)( xf得0, 1, 1321xxx3) 列表判别x)(xf )

6、(xf00无极值无极值0 x是极小点， 其极小值为0)0(f机动 目录 上页 下页 返回 结束 01) 1,()0,1(), 1 (1) 1, 0(0极小值例例4. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x不存在)(xf 得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)(52f机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.13 (极值第二判别法极值第二判别

7、法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf

8、1xy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、函数在闭区间上的最大值与最小值三、函数在闭区间上的最大值与最小值,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求上的，在区间151)(xxxf最大值和最小值 .解解:xxf1211)(内有极值可疑点在1

9、,5)(xf.1,(4321（不可导点）驻点）xx,45)(43f, 1) 1 (f.65)5(f. 65:45，最小值为最大值为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、应用问题举例四、应用问题举例实际问题中，在一定条件下，往往要使“材料最省”，“效率最高”，“性能最好”，“进程最快”等，可归结为求最大（小）值实际问题中，驻点就是最值点( k 为某一常数 )例例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20AB100C解解: 设,(k

10、m)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问DKm ,公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),

11、0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过由正正变负负

12、)(0 xf为极大值)(xf 0 x由负负变正正)(0 xf为极小值过0 x.)(0处没有极值在xxf)(xf 不变号(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf可导: 驻点极值可疑点不可导:不可导点极值点不是极值点极值点不是极值点最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 . 3.连续函数的最值机动 目录 上页 下页 返回 结束 （驻点就是最值点.)1.试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f,3coscosxxa)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习)0()524(25xAxx解：.)0(245. 252AxAxx成立的最小正数试求使不等式上最大值，在即求函数)0