初中数学十字相乘法因式分解

1、中学数学十字相乘法因式分解要点：一、 x2 pq xpq 型的因式分解特点是：（ 1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和；对这个式子先去括号，得到：x 2 pq xpqx 2pxqxx xppq q xx 2p pxxqx p xpqq因此： x 2 pqxpqxp xq 利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1 的二次三项式分解因式；二、一般二次三项式ax2bxc 的分解因式大家知道，a xc a xc a a x2a ca c xc c ；1122121 22 11 2反过来，就可得到：a a x 2a ca c xc ca xc axc 1 2

2、1 22 11 21122我们发觉，二次项系数a 分解成a1 a2，常数项 c 分解成c1 c2 ，把a1, a2 , c1, c2 写成a1c1 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a ca c ，那么ax 2bxc 就可以分a2c21 22 1解成 a1 xc1 a 2 xc2 .这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法；【典型例题】 例 1把以下各式分解因式；（1） x 23x2（2） x 27x6分析： （1） x23 x2 的二次项的系数是1，常数项 212 ，一次项系数 312 ，这是一个 x2 pq xpq 型式子；（2） x 27x6 的二次

3、项系数是1，常数项 616 ，一次项系数716，这也是一个 x2 pqxpq 型式子，因此可用公式x 2 pq xpq xp xq 分解以上两式；解： （1）由于 212 ，并且 31 2 ，所以 x23x2 x1 x2（2）由于 616 ，并且716 ，所以 x27 x6x1 x6 例 2把以下各式因式分解；（1） x 2x2（2） x22 x15分析：（1） x 2x2 的二次项系数是1，常数项212 ，一次项系数 112 ，这是一个 x2 pq xpq 型式子；（2） x 22x15 的二次项系数是 1，常数项1553 ，一次项系数253 ，这也是一个 x2 pq xpq 型式子；以上两

4、题可用 x2 pq xpqxp xq 式子分解；解： （1）由于212 ，并且 112 ，所以 x2x2 x2 x1（2）由于1553 ，并且253 ，所以 x 22x15x5 x3留意： （ 1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同；（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中肯定值较大的因数和一次项系数的符号相同； 例 3把以下各式因式分解；（1） 2 x27 x3（ 2） 6x 27 x5（3） 5 x26xy8y 2解： （1） 2 x27x313 x3 2 x12123（2） 6 x27 x1152 x7211 3x5352（3） 5 x256 x

5、y318 y27 x2 y 5x4 y12 y54 y1 例 4将 x4 yy 253 x2 yy6 y40 分解因式；分析： 可将 xy 看成是一个字母，即xya ，于是上式可化为a 23a40 二次项系数是 1，常数4085 ，一次项系数385 ，所以可用 x 2 pq xpq xp xq 式子分解；解： 由于4085 ，并且385 ，所以xy23xy40 xy8 xy5 xy8 xy5 例 5把x 2 y 25 x2 y6x 2 分解因式；分析： 多项式各项有公因式x2 ，第一步先提出各项公因式x2 ，得到：x2 y 25x2 y6 x2x 2 y 25 y6，经分析 y 25 y6它符

6、合 y 2 pq ypq 型式子，于是可连续分解；其次步，按y 2 pq) ypq 型二次三项式分解，得到：x2 y 25 y6x2 y6 y1解： x 2 y 25x2 y6 x2x2 y 25 y6x2 y6 y1 例 6将 81x5 y516xy 分解因式；解： 81x 5 y516xyxy81x4 y 416xy9x 2 y24 9x 2 y24xy9 x2 y 24 3xy2 3 xy2留意： 多项式分解因式的一般步骤是：（1）假如多项式各项有公因式，那么先提出公因式；（ 2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情形下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法；（3

7、）要分解到每个多项式不能再分解为止；【模拟试题】一.填空题：1. x23 x28（）（）2.x22 xy35 y 2 x7 y（）3.20x 243xy14 y2 4 x7 y（）4.18 x219x5（）（ 2x1）5.35m2 n 211mn6（）（）6.611a35a 2（）（）7. kx25x6（ 3x2 ）（） k8. m43xy14 y 24 x7 y5 x2 y，就 m9.20x243xym4 x7 y 5 xn ，就 m， n10.分解因式二.挑选题： x23x48x 23x 21. x210 x16 分解因式为（）a. x2 x8b. x2 x16；8c. x2 x8d. x

8、2 x82. x213xy30 y 2 分解为（）a. x3 y x10 y b. x15 y x2 y c. x10 y x3 yd. x15y x2 y3. 把 6 x229 x35 分解因式为（）a. 2 x7 3x5b. 3x7 2 x5 c.3 x7 2 x5d. 2 x7 3x54. 把 x2m24 mn4n 2 分解因式为（）a. xc.xm2n xm m2n xm2n2nb.xd.xm2n xm2n xm2nm2n 5. 在以下二次三项式中，不是x2 pq xpq 型式子的是（）a. x 212 x20b. x29 x100c.x213x14d.x29 x52三.解答题：1.

9、将以下各式因式分解；（ 1） x25 x6（ 2） x2x30（ 3） x230 x144 1）（ 3） x211x18（4） 2526aa 2（5） x23xy2 y22. 将以下各式因式分解；（ 1）m 418m217（2） 3x47 x 2 y 220 y 4（3） 3b 214b5（ 4） 2x2x3（ 5） 2 x25 x7（6） 3a 22a13. 因式分解；（1） x27 x 210x 27 x24（ 2） x42 x2 y 2z2 y 2z2 24. 已知 15x247 xy28 y20 ，求x 的值；y5. 已知 a 2ab6b 20 （ a0 ， b0 ），求 baa 的值

10、b6. 已知 a 29b 22a6b20 ，求2a3b 的值；试题答案一.1. x7 ； x42.x5 y3.5x2 y4.9x55.5mn3 ； 7mn26.27a ； 35a7.2x3 ； 68.20 x29.14 y2 ；2 y10.x1 2 x2 2 x 23x22二.1. a2. d3. b4. b5. b三.1.解：（ 1） x25 x6x6 x1 （ 2） x 2x30x6 x5（ 3） x230 x144 x24 x62.解：（ 1）m 418m217 m2m417 m18m 21 m171m 217 m21（ 2） 3x 47 x2 y220 y 4x 24 y 2 3x25

11、y 2 x2 y x2 y 3x 25 y 2 （ 3） x52 x38 xxx 42x 28x x24 x22xx2 x2 x223.解：（ 1） 6 a 4n ka 2n k35a ka k 6a 4 na 2 n35a k 2a 2 n53a 2 n7（ 2） x24.解：7 x5488x2814x51 2x814 x5（ 1）x 27x 210 x27x24 x 27 x12 x27x2 x3 x4 x27 x2（ 2） x42 x 2 y 2z2 y 2z2 2 x2 y 2z 2 2x 2y2z2 25.解： 15 x 247 xy28 y203x7 y 5 x4 y07 yx7 y 或 x4 y35当 x7 y 时，（ 1）