初中数学二次函数综合题经典习题

1、二次函数综合题训练题型集合1、如图 1，已知二次函数图象的顶点坐标为c1,0 ，直线 yx m 与该二次函数的图象交于 a、b 两点，其中a 点的坐标为 3,4， b 点在轴 y 上.（ 1）求 m 的值及这个二次函数的关系式；（ 2） p 为线段 ab上的一个动点（点p 与 a、b 不重合），过 p 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点e 点，设线段pe 的长为 h ，点 p 的横坐标为x ， 求 h 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范畴；（ 3） d 为直线 ab与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ab上是否存在一点p，使得四边形dcep是平行四边形？如存在，恳求出

2、此时p 点的坐标；如不存在，请说 明理由 .ypadbeocx图 12、如图 2，已知二次函数y a x4 xc 的图像经过点a 和点 b2（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 p（m，m）与点 q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点 q 到 x 轴的距离y 1 o3a1x 9b图 23、如图3，已知抛物线ya x 2b xc经 过 o0,0 ， a4,0,b3,3 三点，连结ab，过点 b 作 bc x 轴交该抛物线于点c.（ 1） 求这条抛物线的函数关系式.（ 2） 两个动点p、 q分别从 o、a 两点同时动身,

3、以每秒 1 个单位长度的速度运动.其中，点 p 沿着线段0a 向 a 点运动，点q沿着折线a bc 的路线向 c 点运动 .设这两个动点运动的时间为t （秒 0 t 4 ， pqa的面积记为s. 求 s 与 t 的函数关系式； 当 t 为何值时， s 有最大值，最大值是多少？并指出此时pqa的外形； 是否存在这样的t 值，使得 pqa是直角三角形 .如存在，请直接写出此时p、 q 两点的坐标；如不存在，请说明理由.ycbqopax图 34、某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后， 公司经受了从亏损到盈利的过程.图4 的二次函数图象（部分）反映了该公司年初以来累积利润s（万元）与时间t （

4、月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与 t 之间的关系） .依据图象供应信息，解答以下问题：（ 1）公司从第几个月末开头扭亏为盈；（ 2）累积利润s 与时间 t 之间的函数关系式；（ 3）求截止到几月末公司累积利润可达30 万元；（ 4）求第 8 个月公司所获利是多少元？s万元 432101 23 4 5 6t月-1-2-3图 45、07 年海口模拟二 如图 5，已知抛物线y的交点坐标为（0,1 ） .（1）求该抛物线的函数关系式.a x 2b xc的顶点坐标为e（ 1,0 ），与 y 轴（2） a、b 是 x 轴上两个动点，且a、b 间的距离为ab=4， a 在 b 的左边，过a 作

5、ad x 轴交抛物线于d，过 b 作 bc x 轴交抛物线于c.设 a 点的坐标为（t ,0 ），四边形abcd的面积为s. 求 s 与 t 之间的函数关系式. 求四边形abcd的最小面积，此时四边形abcd是什么四边形？ 当四边形abcd面积最小时，在对角线bd上是否存在这样的点p，使得 pae的周长最小，如存在，恳求出点p 的坐标及这时pae的周长；如不存在，说明理由.yydc11aoebxoex图 5备用图6、07 浙江中考 如图 6，抛物线2yx2 x3 与 x 轴交 a、b 两点（ a 点在 b 点左侧），直线 l 与抛物线交于a、c两点，其中c 点的横坐标为2；（1）求 a、b 两

6、点的坐标及直线ac的函数表达式；（2） p 是线段ac上的一个动点，过p 点作 y 轴的平行线交抛物线于e 点，求线段pe长度的最大值；（3）点 g抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点f，使 a、c、f、 g这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？假如存在，求出全部满意条件的f 点坐标； 假如不存在， 请说明理由；图 6备用7、（ 07 海南中考）如图7，直线 y4x4 与 x 轴交于点a ，与 y 轴交于点 c ，已知二次3函数的图象经过点a 、 c 和点 b1 , 0.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为m，求四边形aocm的面积；（3）有两动点d 、 e 同时从点

7、 o 动身，其中点d 以每秒3个单位长度的速度沿折线oac2按 o a c 的路线运动，点e 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线oca按 o c a 的路线运动， 当 d 、 e 两点相遇时， 它们都停止运动. 设 d 、e 同时从点 o 动身 t 秒时，ode的面积为s .请问 d 、 e 两点在运动过程中，是否存在de oc，如存在，恳求出此时t 的值；如不存在，请说明理由；恳求出 s 关于 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范畴；设 s 0 是中函数s 的最大值，那么yms 0 =.yymmcccbababaoxoxox图 7备用备用8、（ 05 海南中考）如图8，抛物线y2xbx

8、c 与 x 轴交于a-1,0,b3,0两点 .(1) 求该抛物线的解析式；(2) 设1 中的抛物线上有一个动点p，当点 p 在该抛物线上滑动到什么位置时，满意spab=8, 并求出此时p 点的坐标；(3) 设1 中抛物线交y 轴于 c点，在该抛物线的对称轴上是否存在点q，使得 qac的周长最小？如存在，求出q点的坐标；如不存在，请说明理由.图 822y9、（ 04 海口中考）如图9、已知抛物线y=x +2n-1x+n-1 n为常数 .(1) 当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，2求出它所对应的函数关系式；1(2) 设 a 是1 所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左bc侧的一个

9、动点，过a 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点d， 再作 ab x 轴于 b，dc x 轴于 c.当 bc=1时，求矩形abcd的周长；试问矩形abcd的周长是否存在最大值？假如存在，恳求出这个最大值，并指出此时a 点的坐标；假如不存在，请说明理由.-101234x-1-2ad-3图 910、（ 07 本校模拟一）如图10，已知点a0,8，在抛物线 y1 x 2 上，以 a 为顶点的四边形abcd是平行四边形，2 y且项点 b，c， d 在抛物线上，ad x 轴，点 d 在第一象限 .(1) 求 bc的长；(2) 如点 p是线段 cd上一动点，当点p 运动到何位置时， dap的面积是7.(3

10、) 连结 ac， e 为 ac上一动点，当点e 运动到何位置时，直线 oe将abcd分成面积相等的两部分？并求此时e 点的坐标及直线oe的函数关系式 .adbcox图 1011、（ 07 本校模拟二）一座拱桥的截面轮廓为抛物线型 如图 11-1,拱高 6 米, 跨度 20 米, 相邻两支柱间的距离均为5 米.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中 如图 11-2 所示 ，5 米10 米mn6 米其表达式是yax 2c 的形式 .请依据所给的数据求出a , c的值 .20 米（2）求支柱mn的长度 .图 11-1（3）拱桥下地平面是双向行车道 正中间 de是一条宽2 米y c的隔离带 ，其中的一条

11、行车道能否并排行驶宽2 米、高 3 米的三辆汽车 汽车间的间隔忽视不计 ？请说说你的理由.deaob x图 11-2二次函数综合题训练题型集合1、 1 m=1. 所求二次函数的关系式为y=x-12.即 y=x 2-2x+1.(2) 设 p、e 两点的纵坐标分别为yp和 ye .222 pe=h=y p-y e =x+1-x-2x+1=-x+3x.即 h=-x +3x 0 x 3.(3) 存在 .要使四边形dcep是平行四边形，必需有pe=dc. 点 d 在直线 y=x+1 上, 点 d 的坐标为 1,2, -x 2+3x=2 . 即 x2-3x+2=0 . 解之，得x当 p 点的坐标为 2,3

12、时，四边形dcep是平行四边形 .1 =2， x 2=1 不合题意，舍去 2、解：（ 1）二次函数的表达式为yx 24 x6 （ 2）对称轴为x2 ；顶点坐标为（2，-10 ）（ 3）将（ m，m）代入 yx 24 x6 ，得mm 24 m6 ，解得 m11,m 26 m 0， m 11 不合题意，舍去m=6点 p 与点 q关于对称轴x2 对称，点q到 x 轴的距离为 63、（1） 所求抛物线的函数关系式为y3243xx .33（2） 过点 b 作 be x 轴于 e，就 be=3 ，ae=1，ab=2.由 tan bae= beae3 ，得 bae=60° .（）当点q在线段 ab

13、 上运动，即0 t 2 时， qa=t， pa=4-t .y过点 q 作 qf x 轴于 f，就 qf=3 t ，2 s=1 pa· qf1 4t 3 t22232cb.t3 t4（）当点q 在线段 bc上运动，即2 t 4 时， q 点q的纵坐标为3 ，pa=4- t . 这 s= 1 4t 323t23op2ef ax（）当 0 t 2 时， s32t3 t432 t2 3 .4图 13304， 当 t =2 时， s 有最大值，最大值s=3 .（）当 2 t 4 时， s3t23230 ， s 随着 t 的增大而减小 .2 当 t =2 时， s 有最大值，最大值s2233 .

14、32综合（）（），当 t =2 时， s 有最大值，最大值为3 . pqa是等边三角形 . 存在 .当点 q在线段 ab上运动时，要使得 pqa是直角三角形， 必需使得 pqa=90°，这时 pa=2qa，即 4- t =2 t ，t4. p 、q两点的坐标分别为p1 34 ,0 ， q1310 ,323 .3当点 q在线段 bc上运动时，q、p 两点的横坐标分别为5- t 和 t ，要使得 pqa是直角三角形， 就必需 5- t = t ，t52 p 、q 两点的坐标分别为p25 ,0 ，q225 ,3 224、（ 1）由图象可知公司从第4 个月末以后开头扭亏为盈（2）由图象可知其

15、顶点坐标为2,-2，故可设其函数关系式为：y=at-2-2. 所求函数关系式的图象过0,0，于是得at-22-2=0 ，解得a=1 . 所求函数关系式为：s= 1t-22 -2 或s= 1222t 2-2t.（ 3）把 s=30 代入s=1 t-2 2 -2 ， 得21 t-2 2 -2=30 解得 t =10， t =-6 （舍去） .122答：截止到10 月末公司累积利润可达30 万元 .（4）把 t=7代入关系式，得s= 1 × 72 -2 × 7=10.52y把 t=8 代入关系式，得s= 1 × 82 -2 × 8=16216-10.5=5.5

16、答：第 8 个月公司所获利是5.5 万元 .dc5、（ 1） 抛物线 ya x 2b xc 顶点为 f（ 1,0 ）21pya x1 该抛线经过点e（0,1 ）21a 0122a oebxa1 y x1， 即函数关系式为yx2 x1 .（2） a 点的坐标为（t ,0 ） , ab=4 ，且点 c、d在抛物线上，22b 、 c 、 d点 的 坐 标 分 别 为 t +4,0， t +4, t +3 ， t ,t -1.1s ad2bc ab12 t1 222 t3 424 t8 t20 .2s4 t8 t204 t1 16 当 t =-1 时，四边形abcd的最小面积为16此时 ad=bc=a

17、b=dc，=4四边形 abcd是正方形 当四边形 abcd的面积最小时， 四边形 abcd是正方形，其对角线bd上存在点 p, 使得 pae的周长最小 .ae=4（定值），要使 pae的周长最小，只需pa+pe最小 .此时四边形abcd是正方形，点a 与点 c 关于 bd所在直线对称 ,由几何学问可知，p 是直线 ce与正方形abcd对角线 bd的交点 .点 e、b、c、d 的坐标分别为（ 1,0 ）（3,0 ）（ 3,4 ）（-1,4 ）直线 bd，ec 的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2. p5 , 4 3322在 rt ceb中， ce=2425 , pae的最小周长 =a

18、e+ap+pe=ae+cp+pe=ae+ce2=2+5 .6、解：（ 1） c（2， 3）直线 ac的函数解析式是y= x1（2）设 p 点的横坐标为x（ 1 x2）就 p、e 的坐标分别为： p（x， x1），（1 分）2221e（ x , x2 x3 p 点在 e 点的上方，pe=x1) x2 x3 xx2 当 x29时， pe 的最大值 =4（3）存在 4 个这样的点f，分别是f1 1, 0,f 2 3, 0,f3 47 ,f 4 47 ymym7、解：（1）ccee42 yx38x4（ 2）顶点 m的坐标3d为babaxoxof d161 ,过点 m作 mfx 轴 于 f3s四边形ao

19、cmsafms 梯形focm1161=312321641103四边形 aocm的面积为 10 （3）不存在de oc 如 de oc，就点 d、e 应分别在线段oa、ca上，此时 1<t<2,在 rt aoc中， ac=5.设点 e 的坐标为x 1x 1 , y 134 t4x，1512 t125deoc，12 t1253t t288 t>2，不满意 1<t<2. 不存在 deoc 33依据题意得d、e 两点相遇的时间为34534224（秒）现分情形争论如下：当0 <t 1 时， s1113t4 t2223 t； 当1<t 2 时 ， 设 点e 的 坐 标 为y 2x 2 , y 2454 t54， y 23616 t51336st222416 t512227tt553616 t当2< t<时，设点 e 的坐标为11yx 3 , y 33t，类似可得y 353设点 d的坐标为4x 4 , y 442，y456 t125ss aoesaod1363216 t516 t1233723=t2555 s 02438010、（1）四边形abcd是平行四边形，ad=bc.a0,8,设 d 点坐标为 x 1,8,代入 yya