初中数学专题特训第十七讲：三角形与全等三角形

1、2021 年中考数学专题复习第十七讲三角形与全等三角形【基础学问回忆】三角形的概念：1、由直线上的三条线段组成的图形叫三角形2、三角形的基本元素：三角形有条边个顶点个内角二、三角形的分类：按边可分为三角形和三角形，按角可分为三角形三角形三角形【赵老师提示：等边三角形属于特殊的三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为三角形】三、三角形的性质：1、三角形的内角和是三角形的任意一个外角和它不 相得两个内角的和三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边3、三角形具有性【赵老师提示：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的组成的角，三角形有个外角，三角形的外角

2、和事，是其中各外角的和2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判定限度间不等关系的主要依据】四、三角形中的主要线段：1、角平分线： 三角形的三条角平分线都在三角形部 且交于一点， 这些是三角形的心 它到得距离相等2、中线：三角形的三条中线都在三角形部，且交于一点3、高线：不同三角形 的 三 条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角 形直角三角形有一条高线在部，另两条河重合，钝角三角形有一条高线在三角形部，两条在三角形部4、中位线：连接三角形任意两边的线段叫做三角形的中位线；定理：三角形的中位线第三边且等于第三边的【赵老师提示：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是且都有条】五、全等三

3、角形的概念和性质：1、的两个三角形叫做全等三角形2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应【赵老师提示：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】一、全等三角形的判定：1、一般三角形的全等判定方法：边角边，简记为角边角：简记为角角边：简记为边边边：简记为 2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的全部方法以外，仍可以用来判定【赵老师提示： 1、判定全等三角形的条件中，必需至少有一组对应相等，用 sas 判定全等，切记角为两边的2、判定全等三角形的有关条件要特殊留意对应两个字】【重点考点例析】考点一：三角形内角、外角的

4、应用例 1 （ 2021 .南通）如图， abc 中， c=70°，如沿图中虚线截去c，就 1+ 2=（）a 360° b 250° c 180° d 140°思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出1+ 2= c+ （ c+ 3+ 4），再依据三角形内角和定理即可得出结果解： 1、 2 是 cde 的外角， 1= 4+ c， 2= 3+ c，即 1+ 2= c+ （ c+ 3+ 4）=70° +180° =250°应选 b 点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三

5、角形的 任一外角等于和它不相邻的两个内角之和对应训练1（ 2021.泉州）如图，在abc 中， a=60 °， b=40 °，点 d、e 分别在 bc、ac 的延长线上，就1=°1 80分析：先依据三角形内角和定理求出acb的度数，再依据对顶角相等求出1 的度数即可解： abc 中， a=60 °， b=40 °， acb=180 ° - a- b=180 ° -60° -40°=80 °， 1= acb=80 ° 故答案为： 80点评：此题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是

6、180°考点二：三角形三边关系例 2（ 2021.泸州） 已知三角形两边的长分别是3 和 6，第三边的长是方程x2-6x+8=0 的根，就这个三角形的周长等于（）a 13b 11c 11 或 13d 12 或 152分析：第一从方程x 2-6x+8=0 中，确定第三边的边长为2 或 4；其次考查2， 3，6 或 4，3， 6 能否构成三角形，从而求出三角形的周长解：由方程x2-6x+8=0 ，得：解得 x1=2 或 x2=4，当第三边是2 时， 2+3 6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4 时，三角形的周长为4+3+6=13 应选 a 点评： 考查了三角形三边关系，求三角形的周长

7、，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之对应训练1（ 2021.义乌市）假如三角形的两边长分别为3 和 5，第三边长是偶数，就第三边长可以是（）a 2 b 3 c 4 d 8思路分析：依据三角形三边关系，可令第三边为x，就 5-3 x 5+3，即 2 x 8，又由于第三边长为偶数，所以第三边长是4， 6问题可求解：由题意，令第三边为x ，就 5-3x 5+3，即 2 x 8，第三边长为偶数，第三边长是4 或 6三角形的三边长可以为3、5、 4应选： c点评：此题主要考查了三角形三边关系，娴熟把握三角形的三边关系是解决此类问题的关键考点三：三角形全

8、等的判定例 3（ 2021.乐山）如图，在abc 中， c=90°， ac=bc=4 ， d 是 ab 的中点，点e、f 分别在 ac 、bc 边上运动 （点 e 不与点 a 、c 重合），且保持 ae=cf ，连接 de、df 、ef在此运动变化的过程中，有以下结论： dfe 是等腰直角三角形；四边形 cedf 不行能为正方形；四边形 cedf 的面积随点e 位置的转变而发生变化；点 c 到线段 ef 的最大距离为2 其中正确结论的个数是（）a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个思路分析：作常规帮助线连接cd ，由 sas 定理可证 cdf 和 ade 全等，从而可证edf

9、=90 °， de=df 所以 dfe 是等腰直角三角形；当 e 为 ac 中点， f 为 bc 中点时，四边形cedf 为正方形；由割补法可知四边形cdfe 的面积保持不变； def 是等腰直角三角形de=2 ef，当 df 与 bc 垂直，即df 最小时， fe 取最小值22 ，此时点c 到线段 ef 的最大距离解：如图，连接cd ； abc 是等腰直角三角形， dcb= a=45 °， cd=ad=db ；ae=cf ， ade cdf；ed=df ， cdf= eda ； ade+ edc=90 °， edc+ cdf= edf=90 °， df

10、e 是等腰直角三角形故此选项正确；当 e、f 分别为 ac 、bc 中点时，四边形cdfe 是正方形，故此选项错误；如图 2 所示，分别过点d，作 dm ac ，dn bc ，于点 m ， n，可以利用割补法可知四边形cdfe 的面积等于正方形cmdn面积，故面积保持不变；故此选项错误； def 是等腰直角三角形de=2 ef，当 efab 时， 即 ef 取最小值22 ，此时点 c 到线段 ef 的最大距离为2 故此选项正确；故正确的有2 个，应选： b点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、 直角三角形性质等学问，依据图形利用割补法可知四边形cdfe 的面积等于

11、正方形cmdn面积是解题关键例 4（ 2021.珠海） 如图， 把正方形abcd 绕点 c 按顺时针方向旋转45°得到正方形a b cd （此时，点b落在对角线ac 上，点 a 落在 cd 的延长线上） ，a b交 ad于点 e，连接 aa 、 ce求证：（ 1） ada cde ；（2）直线 ce 是线段 aa 的垂直平分线思路分析：（ 1）依据正方形的性质可得 ad=cd ， adc=90 °， ea d=45 °，就 a de=90 °，再运算出 a ed=45 °，依据等角对等边可得 ad=ed ，即可利用 sas 证明 aa d ce

12、d ；（2）第一由ac=a c，可得点c 在 aa 的垂直平分线上；再证明aeb a ed ，可得 ae=a e，进而得到点e 也在 aa 的垂直平分线上，再依据两点确定一条直线可得直线 ce 是线段 aa 的垂直平分线证明：（ 1）四边形abcd 是正方形，ad=cd ， adc=90 °， a de=90 °，依据旋转的方法可得：ea d=45 °， a ed=45 °，a d=de ，在 aa d 和 ced 中：ad=cd ， ada = edc， a d=ed ， aa d ced （ sas）；（2） ac=a c，点 c 在 aa 的垂直平

13、分线上，ac 是正方形abcd的对角线， cae=45 °，ac=a c， cd=cb ，ab =a d，在 aeb 和 a ed 中： eab = ea d， aeb = a ed，ab =a d ， aeb a ed ，ae=a e，点 e 也在 aa 的垂直平分线上，直线 ce 是线段 aa 的垂直平分线点评： 此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是娴熟把握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段对应训练3（ 2021.鸡西） rt abc 中， ab=ac ，点 d

14、为 bc 中点 mdn=90 °， mdn 绕点 d旋转， dm 、dn 分别与边ab 、ac 交于 e、 f 两点以下结论：（be+cf ） =22bc ；s aef 1 s abc ； s 四边形 aedf=ad .ef； ad ef； ad 与 ef 可能相互平4分，其中正确结论的个数是（）a 1 个b 2 个c3 个d 4 个3分析：先由 asa 证明 aed cfd，得出 ae=cf ，再由勾股定理即可得出be+cf=ab=2bc，从而判定；2设 ab=ac=a ， ae=cf=x ，先由三角形的面积公式得出saef =- 1 （ x- 1 a） 2+ 1 a2，11s a

15、bc =×441 a2= 128228a2，再依据二次函数的性质即可判定；由勾股定理得到ef 的表达式，利用二次函数性质求得ef 最小值为222a，而 ad=a，2所以 ef ad ，从而错误；1先得出s 四边形 aedf =s adc =2ad ，再由ef ad得到 ad .ef ad2， ad .ef s 四边形aedf ，所以错误；假如四边形aedf 为平行四边形，就ad 与 ef 相互平分，此时df ab ， de ac，又 d为 bc 中点，所以当e、 f 分别为 ab 、ac 的中点时， ad 与 ef 相互平分，从而判定 解： rtabc 中， ab=ac ，点 d 为

16、 bc 中点， c= bad=45 °， ad=bd=cd ， mdn=90 °， ade+ adf= adf+ cdf=90 °， ade= cdf 在 aed 与 cfd 中，eadcadcd，adecdf aed cfd （asa ），ae=cf ，在 rt abd 中， be+cf=be+ae=ab=ad 2bd 2故正确；设 ab=ac=a ， ae=cf=x ，就 af=a-x 2 bd2 bc 2saef1111=ae .af=x（ a-x）=-（x-a）2 + 1 a2，22228112当 x=a 时， s aef 有最大值a ，281又sabc

17、=41 × 1 a2=421 a2，81s aef 4s abc 故正确；2ef =ae2+af22=x +（a-x）2=2 （ x-122a） +1 2 a ，2当 x= 1 a 时， ef2 取得最小值1 a2，2ef 22而 ad=2221a（等号当且仅当x=2a， ef ad a 时成立），故错误；由的证明知aed cfd，s 四边形 aedf=s aed+s adf=s cfd+s adf=s adc=1 2 ad2 ，ef ad ， ad .ef ad2 ， ad .ef s 四边形 aedf故错误；当 e、 f 分别为 ab 、ac 的中点时，四边形aedf 为正方形，

18、此时ad 与 ef 相互平分故正确综上所述，正确的有：，共3 个应选 c点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等学问，综合性较强，有肯定难度4（ 2021.肇庆）如图，已知ac bc， bd ad ， ac 与 bd 交于 o， ac=bd 求证：（ 1）bc=ad ；（2） oab 是等腰三角形4分析：（ 1）依据 ac bc，bd ad ，得出 abc 与 bad 是直角三角形， 再依据 ac=bd ，ab=ba ，得出 abc bad ，即可证出bc=ad ，（2）依据 abc bad ，得出 cab= dba ，从而证出oa=

19、ob ， oab 是等腰三角形证明：（ 1） ac bc， bd ad ， abc 与 bad 是直角三角形，在 abc 和 bad 中， ac=bd ， ab=ba ， acb= adb， abc bad ，bc=ad ，（2） abc bad ， cab= dba ，oa=ob ， oab 是等腰三角形点评： 此题考查了全等三角形的判定及性质；用到的学问点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，此题是道基础题，是对全等三角形的判定的 训练考点四：全等三角形开放性问题例 5 （ 2021.义乌市）如图，在 abc 中，点 d 是 bc 的中点，作射线 ad ，在

20、线段 ad 及其延长线上分别取点 e、f，连接 ce、bf 添加一个条件，使得 bdf cde ，并加以证明你添加的条件是（不添加帮助线） 思路分析： 由已知可证 ecd fbd ，又 edc fdb ，由于三角形全等条件中必需是 三个元素，并且肯定有一组对应边相等故添加的条件是：de=df （或 cebf 或 ecd=dbf 或 dec= dfb 等）；解：（ 1）添加的条件是：de=df （或 ce bf 或 ecd= dbf 或 dec= dfb 等）（2）证明：在bdf 和 cde 中bdcdedcfdb ，dedf bdf cde 点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角

21、形全等的方法为主，判定两个三角形全等， 先依据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再依据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件对应训练5（ 2021.衡阳）如图，af=dc ， bc ef，请只补充一个条件，使得abc def ，并说明理由5分析：第一由af=dc 可得 ac=df ，再由 bc ef 依据两直线平行，内错角相等可得efd= bca ，再加上条件ef=bc 即可利用 sas 证明 abc def 解：补充条件：ef=bc ，可使得 abc def理由如下：af=dc ，af+fc=dc+fc ，即： ac=df ，bc ef， efd= bca ，在 efd 和 b

22、ca 中，ef=bc efd= bca ef=bc， efd bca （ sas）点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是娴熟把握判定定理：sss、sas、asa 、aas ， hl 【聚焦山东中考】1. （ 2021.烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点d恰好放在等腰直角三角板的斜边ab上， bc与 de交于点 m假如 adf=100°，那么 bmd为度1.85分析：先依据 adf=100°求出 mdb的度数， 再依据三角形内角和定理得出bmd的度数即 可解答：解：adf=100°， edf=30°， mdb=180° - a

23、df- edf=180° -100 ° -30 °=50°， bmd=180° - b- mdb=180° -45 °-50 ° =85°故答案为： 85点评：此题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180° 2（ 2021.聊城）将一副三角板按如下列图摆放，图中的度数是（） a 75° b 90° c 105° d 120°2分析： 先依据直角三角形的性质得出bae及 e 的度数， 再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论解答：解：图中是一副

24、直角三角板， bae=45°， e=30°， afe=180° - bae- e=105°， =105°应选 c点评：此题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180° 3（ 2021.德州）不肯定在三角形内部的线段是（）a 三角形的角平分线b 三角形的中线c三角形的高d 三角形的中位线3分析：依据三角形的高、中线、角平分线的性质解答解答： 解：由于在三角形中，它的中线、角平分线肯定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部应选 c点评：此题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟识它们的性质方可解答4（ 2021.济宁）用直尺

25、和圆规作一个角的平分线的示意图如下列图，就能说明aoc= boc 的依据是（）a sssb asac aasd角平分线上的点到角两边距离相等4分析：连接nc ， mc ，依据 sss 证 onc omc ，即可推出答案解：如图，连接nc ，mc ，在 onc 和 omc 中onomncmc，ococ onc omc （sss）， aoc= boc ，应选 a 点评：此题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查同学运用性质进行推理的才能，题型较好，难度适中5（ 2021.滨州）如图，在abc中， ab=ad=d，c bad=20°，就 c=5 40°分析：先依据等腰三角形的

26、性质及三角形内角和定理可求出b 的度数，再依据三角形外角的性质可求出adc的度数，再由三角形内角和定懂得答即可解： ab=ad， bad=20°， b=180bad2180202=80°， adc是 abd的外角， adc=b+ bad=80° +20° =100°，ad=dc，180 c=adc180100=40°22点评： 此题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简洁题目6（ 2021 .潍坊）如下列图， ab=db ， abd= cbe ，请你添加一个适当的条件，使 abc dbe （只需添加一个即

27、可）6 bde= bac分析： 依据 abd= cbe 可以证明得到abc= dbe ，然后依据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可解： abd= cbe ， abd+ abe= cbe+ abe ，即 abc= dbe ，ab=db ，用“角边角” ，需添加 bde= bac ，用“边角边” ，需添加be=bc ，用“角角边” ，需添加 acb= deb 故答案为： bde= bac 或 be=bc 或 acb= deb （写出一个即可）点评： 此题考查了全等三角形的判定，依据已知条件有一边与一角，依据不同的证明方法可以挑选添加不同的条件，需要留意，不能使添加

28、的条件符合“边边角”，这也是此题简洁出的地方7（ 2021.临沂） 在 rt abc中， acb=90°，bc=2cm，cd ab，在 ac上取一点e，使 ec=bc，过点 e 作 ef ac交 cd的延长线于点f，如 ef=5cm，就 ae=cm7 3分析： 依据直角三角形的两锐角互余的性质求出ecf= b，然后利用“角边角”证明abc 和 fec全等，依据全等三角形对应边相等可得ac=ef，再依据 ae=ac-ce，代入数据运算即 可得解解： acb=90°， ecf+bcd=90°，cd ab， bcd+b=90°， ecf=b，在 abc和 fe

29、c中， ecf= b ec=bc acb= fec=90°， abc fec（ asa），ac=ef，ae=ac-ce， bc=2cm， ef=5cm，ae=5-2=3cm故答案为： 3点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，依据直角三角形的性质证明得到 ecf=b 是解题的关键8（ 2021.济宁） 如图， 在等边三角形abc中，d 是 bc边上的一点， 延长 ad至 e，使 ae=ac，bae的平分线交 abc的高 bf 于点 o，就 tan aeo=833分析：依据等边三角形性质和三线合肯定理求出baf=30°，推出 ab=ae，依据 sas证 bao eao，推出

30、aeo= abo=30°即可解答：解：abc是等边三角形，abc=60°， ab=bc，bf ac， abf=12abc=30°，ab=ac， ae=ac，ab=ae，ao平分 bae， bao=eao，在 bao和 eao中 ab=ae， bao=eao， ao=ao， bao eao， aeo=abo=30°，tan aeo=tan30°=3 ，3故答案为：33点评：此题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等学问点的应用，关键是证出aeo= abo，题目比较典型，难度适中【备考真题过关】一、挑选题1（ 2021.

31、云南）如图，在abc 中， b=67 °， c=33°， ad 是 abc的角平分线，就 cad 的度数为（）a 40° b 45° c 50° d 55°1分析：第一利用三角形内角和定理求得bac 的度数，然后利用角平分线的性质求得cad 的度数即可解： b=67 °， c=33°， bac=180 ° - b- c=180 ° -67° -33°=80 °ad 是 abc 的角平分线， cad= 12 bac= 12× 80°=40 

32、6;应选 a 点评： 此题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简洁三角形内角和定理在学校已经接触过2（ 2021.梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张abc纸片，点d、e 分别是边 ab 、ac 上，将 abc 沿着 de 折叠压平， a 与 a 重合， 如 a=75 °，就 1+ 2=（） a 150° b 210° c 105° d 75°2分析：先依据图形翻折变化的性质得出ade a de ， aed= a ed， ade=a de ，再依据三角形内角和定理求出aed+ ade 及 a ed+ a de 的度数， 然后依据平角的

33、性质即可求出答案解： a de 是 abc 翻折变换而成， aed= a ed， ade= a de， a= a =75°， aed+ ade= a ed+ a de=180 ° -75° =105°， 1+ 2=360° -2× 105° =150°应选 a 点评： 此题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的外形和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3（ 2021.漳州）将一副直角三角板，按如下列图叠放在一起，就图中 的度数是（）a 45° b 60°

34、 c 75° d 90°3分析：依据直角三角形的两锐角互余求出1 的度数，再依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式运算即可得解解：如图， 1=90 °-60° =30 °， 所以， =45 ° +30° =75 ° 应选 c点评：此题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键4（ 2021.广东）已知三角形两边的长分别是4 和 10，就此三角形第三边的长可能是（）a 5b 6c 11d 164分析：设此三角形第三边的长为x

35、，依据三角形的三边关系求出x 的取值范畴，找出符合条件的x 的值即可解：设此三角形第三边的长为x，就 10-4 x 10+4，即 6 x 14，四个选项中只有11 符合条件应选 c点评： 此题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边5（ 2021.郴州）以以下各组线段为边，能组成三角形的是（）a 1cm，2cm，4cmb4cm，6cm，8cmc5cm，6cm，12cmd 2cm，3cm，5cm5分析：依据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析解：依据三角形的三边关系，知a 、1+2 4，不能组成三角形；b、4+6 8，能够

36、组成三角形；c、5+6 12，不能组成三角形；d、2+3=5 ，不能组成三角形 应选 b 点评：此题考查了三角形的三边关系判定能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数6（ 2021.玉林）如图，在菱形abcd中，对角线ac ， bd 相交于点o，且 ac bd ，就图中全等三角形有（）a 4 对 b 6 对 c 8 对 d 10 对6分析：依据菱形四边形等，对角线相互垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案解：图中全等三角形有：abo ado 、 abo cdo ， abo cbo ；aod cod ， aod cob ；doc boc ；abd cbd ，abc ad

37、c ， 共 8 对应选 c点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，留意把握全等三角形的几个判定定理，在查找时要有序的进行，否就很简洁出错7（ 2021.贵阳）如图，已知点a 、d 、c、f 在同一条直线上，ab=de ， bc=ef ，要使 abc def ，仍需要添加一个条件是（）a bca= f b b= e c bc ef d a= edf7分析：全等三角形的判定方法sas 是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角 形全等，已知ab=de ， bc=ef ，其两边的夹角是b 和 e，只要求出b= e 即可解： a 、依据 ab=de ，bc=ef 和 bca= f 不能推出

38、abc def ，故本选项错误；b、在 abc 和 def 中abdebe，bcef abc def （ sas），故本选项正确；c、 bc ef， f= bca ，依据 ab=de ，bc=ef 和 f= bca 不能推出 abc def ，故本选项错误；d、依据 ab=de ， bc=ef 和 a= edf 不能推出 abc def ，故本选项错误 应选 b 点评： 此题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，留意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较简洁出错的题目三、填空题8（ 2021.呼和浩特）如图，在abc 中， b=47 °

39、;，三角形的外角dac 和 acf 的平分线交于点e，就 aec=8 66.5°分析：依据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得1 dac+ 1221227acf=（ b+ b+ bac+ bca ）=；最终在 aec 中利用三角形内角和定理可22以求得 aec 的度数解：三角形的外角dac 和 acf 的平分线交于点e， eac= 1 dac ， eca= 1 acf ；22又 b=47 °（已知）， b+ bac+ bca=180 °（三角形内角和定理），11 dac+22acf=1（ b+ acb ） +21（ b+ bac ） =21（ b

40、+ b+ bac+ 2227bca ） =2（外角定理） ，11 aec=180 ° -（2故答案是： 66.5° dac+acf ） =66.5 °；2点评： 此题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质解题时留意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”9（ 2021.娄底）如图， fe on ， oe 平分 mon ， feo=28 °，就 mfe=度9 56分析：先依据平行线的性质得出noe= feo，再依据角平分线的性质得出noe= eof，由三角形外角的性质即可得出结论解： fe on ， feo=28 °， no

41、e= feo=28 °，oe 平分 mon ， noe= eof=28 °， mfe 是 eof 的外角， mfe= noe+ eof=28 °+28 ° =56°故答案为： 56点评：此题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和10（2021.白银）如图，在 abc 中，ac=bc ， abc 的外角 ace=100 °，就 a=度10 50分析： 依据等角对等边的性质可得a= b，再依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式运算即可得解解： ac=bc ， a= b ， a+ b= ace ，

42、 a= 1 ace= 1 × 100° =50°22故答案为： 50点评：此题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并精确识图是解题的关键11（2021.绥化）如等腰三角形两边长分别为3 和 5，就它的周长是11 11 或 13分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3 和 5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行争论，仍要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形解答：解：有两种情形：腰长为 3，底边长为5，三边为： 3， 3， 5 可构成三角形，周长=3+3+5=11 ；腰长为5，底边长为3，三边为： 5，

43、5， 3 可构成三角形，周长=5+5+3=13 故答案为： 11 或 13点评：此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目肯定要想到两种情形，分类进行争论， 仍应验证各种情形是否能构成三角形进行解答，这点特别重要，也是解题的关键12（ 2021.柳州）如图，在abc 中， bd 是 abc 的角平分线，已知abc=80 °，就dbc=°12 40分析：依据角平分线的性质得出abd= dbc 进而得出 dbc 的度数解答：解：bd是 abc 的角平分线，abc=80 °， dbc= abd= 1 abc= 1 × 80

44、6;=40 °，22故答案为： 40点评：此题主要考查了角平分线的性质，依据角平分线性质得出abd= dbc 是解题关键13（ 2021.绵阳）如图， bc=ec ， 1= 2，要使 abc dec ，就应添加的一个条件为（答案不唯独，只需填一个）13 ac=cd分析：依据 1= 2，求出 bca= ecd，依据 sas 证光明三角形全等即可解答：解： 添加的条件是ac=cd ，理由是： 1= 2， 1+ eca= 2+eca ， bca= ecd ，在 abc 和 dce 中bccebcaecd ，accd abc dce ， 故答案为： ac=cd 点评： 此题考查了全等三角形的

45、判定的应用，通过做此题培育了同学的发散思维才能，此题题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯独三、解答题14（2021.铜仁地区） 如图，e、f 是四边形abcd的对角线bd 上的两点， ae cf，ae=cf ， be=df 求证： ade cbf 14考点：全等三角形的判定专题：证明题分析：第一利用平行线的性质得出aed=cfb ，进而得出de=bf ，利用 sas 得出即可证明： ae cf aed= cfb ，df=be ，df+ef=be+ef ， 即 de=bf ，在 ade 和 cbf 中，ae=cf aed= cfb de=bf ， ade cbf （ sas）点评：此题主要

46、考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关 键 15（ 2021.赤峰）如下列图，在abc 中， abc= acb （1）尺规作图：过顶点a 作 abc 的角平分线ad ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在 ad 上任取一点e，连接 be、 ce求证： abe ace 15分析：（ 1）以 a 为圆心，以任意长为比较画弧，分别交ab 和 ac 于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和a 作射线，交 bc 于 d，就， ad 为所求；（2）推出 bae= cae ，依据 sas 证 bae 和 cae 全等即可（1）解：如下列

47、图：（2）证明： ad 是 abc 的角平分线， bad= cad ， abc= acb ，ab=ac ，在 abe 和 ace 中ab=ac bae= cae ae=ae， abe ace （sas）点评：此题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用，主要考查同学的动手操作才能和推理才能 16（ 2021.重庆）已知：如图，ab=ae ， 1= 2， b= e求证： bc=ed 16分析：由1= 2 可得： ead= bac ，再有条件ab=ae ， b= e 可利用 asa 证明 abc aed ，再依据全等三角形对应边相等可得bc=ed 证明： 1= 2， 1+ b

48、ad= 2+ bad ， 即： ead= bac ，在 ead 和 bac 中： b= e， ab=ae ， bac= ead ， abc aed （ asa ），bc=ed 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是把握全等三角形的判定方法：sss、 sas、 asa 、aas 、 hl 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具1（ 2021.扬州）如图，在四边形abcd中， ab=bc ， abc= cda=90 °，be ad ，垂足为 e求证： be=de 考点 ：全 等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；专题 ：证 明题；分析：作 cf be ，垂足为f，得出矩形cfed ，求出 cbf= a ，依据 aas 证 bae cbf ，推出 be=cf 即可解答：证明：作cf be ，垂足为 f， be ad ， aeb=90 °， fed= d= cfe=90 °， cbe+ a