A1数列的极限课件

1、A1数列的极限PPT课件12. 数列的极限数列的极限微积分学的研究对象是函数，而微积分学的研究对象是函数，而研究函数的工具是极限理论，这研究函数的工具是极限理论，这是高等数学区别于中等数学的显是高等数学区别于中等数学的显著标志，因此极限理论构成微积著标志，因此极限理论构成微积分学的基础。它是从有限到无限，分学的基础。它是从有限到无限，从近似到精确的桥梁从近似到精确的桥梁。“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭” 庄子庄子A1数列的极限PPT课件22. 数列的极限数列的极限我国魏晋时期的数学家刘徽用圆内接正我国魏晋时期的数学家刘徽用圆内接正多边形来推算圆面积，即为割圆术。多边

2、形来推算圆面积，即为割圆术。圆内接正三角形面积圆内接正三角形面积 A1圆内接正六边形面积圆内接正六边形面积 A2圆内接正十二边形面积圆内接正十二边形面积 A3圆内接正圆内接正 n 边形面积边形面积 An，为半径为半径)(2sin22RnRn 发现圆面积正是发现圆面积正是A1，A2，An, 当当 n 无限变大时的无限变大时的 趋近值。趋近值。A1数列的极限PPT课件31. 数列的定义数列的定义按照某一法则，依次排列着的无穷多个数：按照某一法则，依次排列着的无穷多个数：,21nxxx称为称为无穷数列无穷数列，简称，简称数列数列，记作记作 xn ,其中每一个数称为数列的其中每一个数称为数列的项项，x

3、n 称为称为一般项一般项或或通项通项。一、一、 数列的概念数列的概念A1数列的极限PPT课件4例：例：1，2，3，n , xn = n .1! , 2! , 3! , , n! , ,1,31,21, 1n,)1( , 1, 1, 1, 11 n )12)(12(1531311,531311,311nnxn = n!xn =n1xn = (-1)n+1xn = .)1(1212121 nnnA1数列的极限PPT课件5例：例：1，2，3，n , xn = n .1! , 2! , 3! , , n! , ,1,31,21, 1n,)1( , 1, 1, 1, 11 n )12)(12(15313

4、11,531311,311nnxn = n!xn =n1xn = (-1)n+1xn = .)1(1212121 nnn7. 9.A1数列的极限PPT课件6数列在几何上表示数轴上的点列。数列在几何上表示数轴上的点列。.0.1.2.3.4.n. -1思考：思考：,21nxxx数数列列可否看作函数？可否看作函数？答：答： 可看作自变量取正整数的函数：可看作自变量取正整数的函数：xn = f (n), D: n = 1, 2, 称为整变量函数。称为整变量函数。.1.1. -1A1数列的极限PPT课件72. 数列的性质数列的性质10，单调性，单调性对数列对数列 xn , 若都有若都有),(11 nnn

5、nxxxx则称为则称为单调增加单调增加数列；数列；),(11 nnnnxxxx则称为则称为单调减少单调减少数列。数列。统称统称单调数列单调数列。例例1，2，5 单调增加单调增加例例3 单调减少单调减少例例4 不单调不单调5A1数列的极限PPT课件8从几何上看，单调数列在数轴上的点从几何上看，单调数列在数轴上的点向同一个方向移动。向同一个方向移动。单调增加向右单调增加向右 单调减少向左单调减少向左 说明：说明：数列的单调性有时是从某一项才开始的数列的单调性有时是从某一项才开始的;(1)xn = n2 - 7n :-6, -10, -12, -12, -10, -6, 0, 8, 18, (2)不

6、单调且交替增减的数列，称为不单调且交替增减的数列，称为摆动数列，如摆动数列，如 : xn = (-1) n+1。A1数列的极限PPT课件920，有界性，有界性对数列对数列 xn , 若存在若存在 M 0，使对一切，使对一切 xn满足满足,Mxn 则称则称数列数列 xn 有界有界；若这样的若这样的 M 不存在，不存在， 则称则称数列数列 xn 无界无界。例例 3，4，5 有界有界例例 1，2 无界无界5A1数列的极限PPT课件10二、数列的极限二、数列的极限考察数列考察数列:1)1(1nxnn ,41,31,21, 1 .1.0. . -121 .31.41 61 5171当当 n 无限增大时，

7、无限增大时，xn 与与 0 (原点原点)的距离的距离nxn10 即即无限变小，无限变小，要多小就能多小！要多小就能多小！.1A1数列的极限PPT课件11要求要求nxn10 ,10001 只要只要 n 1000 ;,10000001 只要只要 n 1000000. (任意小的正数任意小的正数)只要只要 n N (某一项某一项),数数 0 称为数列称为数列时的极限。时的极限。当当 nnxnn1)1(1A1数列的极限PPT课件12一般，设一般，设 xn 为数列，为数列，a 为常数，为常数，1. 定义（数列极限的分析定义）定义（数列极限的分析定义）若对于任给若对于任给 0 , 总存在总存在 ZN(正整

8、数正整数),当当 n N 时，都有时，都有成成立立， axn则称则称 a 为数列为数列 xn 的的极限极限， 或称或称 xn 收敛收敛于于 a ， xn 称为称为收敛收敛数列，记作数列，记作axnn lim);( naxn若若 xn 没有极限，没有极限，则称则称 xn 为为发散发散数列。数列。简述：简述：, 0 ,N 当当 n N 时，都有时，都有成成立立， axn.limaxnn 则则”定定义义“N 或或A1数列的极限PPT课件13”定义剖析：”定义剖析：“N (1) 是什么数？是什么数？ 是任意小的正数，它有二重性：是任意小的正数，它有二重性：10. 任意性任意性当极限存在时，当极限存在时

9、， 可任意选取可任意选取， axn才能真正体现才能真正体现 xn 无限接近无限接近 a 的思想。的思想。20. 相对固定性相对固定性一旦选定一旦选定 ， 就是相对固定的数，然后就是相对固定的数，然后才能对此才能对此 寻找寻找 N .A1数列的极限PPT课件14(2) N 是什么数？是什么数？N 是正整数，是项数，是正整数，是项数，N()随随 的给定的给定而确定。而确定。一般：一般： 越小，越小，N 越大；越大；N 不唯一！不唯一！ 不一定取最小的不一定取最小的 N 。成立的几何意义：成立的几何意义：时，时， axNnn)3(指当指当 n = N+1, N+2, 时，有无穷多个时，有无穷多个不等

10、式成立：不等式成立：,1 axN,2 axNA1数列的极限PPT课件152. 数列极限的几何意义数列极限的几何意义”定定义义中中：由由“N axn axn, axan即当即当 n N 时时 数列数列 xn 中的点都落在中的点都落在),( aa开开区区间间邻邻域域中中，的的 a而只有有限个点（至多只有而只有有限个点（至多只有 N 个）落在此个）落在此区间之外。区间之外。 . x1. a( a-) a+. x2. x3. x4. x5. xN. xN+1数列极限存在与否，与它前面的有限项无关。数列极限存在与否，与它前面的有限项无关。 A1数列的极限PPT课件16当当 x = n, 则则)(nfxn

11、 Axnn lim相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内nf(n)0A A AN123N+1N+21x2x3xnx对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域A1数列的极限PPT课件17当当 x = n, 则则 Axnn limnf(n)0A A A123N+1N+21x2x3x)(nfxn nx.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域A1数列的极限PPT课件18当当 x = n, 则则 Axnn limnf(n)0A123N+1N+21x2x3x A A A A A A A A A A )(nfxn nx

12、.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域A1数列的极限PPT课件19当当 x = n, 则则 Axnn limnf(n)0AN1231x2x3x A A nxN+1N+2)(nfxn .相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域A1数列的极限PPT课件20当当 x = n, 则则 Axnn limnf(n)0A1231x2x3x A A nxNNNNN+1N+2因此，因此，数列数列的极限定义也称的极限定义也称数列数列极限的极限的)(nfxn .相应的点相应的点都落都落

13、在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域A1数列的极限PPT课件21”定定义义验验证证极极限限：用用“N . 3关键：关键：对给定的对给定的 0, 找找 N ，入手。入手。从从 axn例例1：用定义验证用定义验证01)1(lim1 nnn证：证：, 0 nnxnn11)1(01 要要使使, ,1 n只只要要1 N取取)1(的最大整数的最大整数不超过不超过 则当则当 n N 时，时，成成立立， 01)1(1nn得证。得证。A1数列的极限PPT课件22例例2.。的的极极限限为为，数数列列证证明明1,1433221 nn证：证：, 0 axn 要使要使11 n

14、n, ,11 n11 n只只要要( N 时，时，成立，成立， 11nn.11lim nnnA1数列的极限PPT课件23例例3.证明等比数列证明等比数列。的极限是的极限是 021nnx 同理，对等比数列同理，对等比数列, 1, qqxnn .10lim qqnn有有证：证：, 0 ,21021 nn要使要使 lg21lg n,2lglg n,2lglg N取取当当 n N 时，时，,021 n. 021lim nn)10( A1数列的极限PPT课件24”定定义义的的等等价价定定义义：“N ., 0 axNnNn时时，有有., 10 axNnNn时，有时，有, 0 MaxNnNn 时时，有有( M

15、 0 为常数为常数)., 0 axNnNn时时，有有., 0 axNnNn时时，有有错误定义：错误定义：., 0, axNnNn有有时时当当使对使对A1数列的极限PPT课件25 三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质1. 唯一性唯一性定理定理1. 若数列若数列 xn 收敛，则其极限值唯一。收敛，则其极限值唯一。证：证： 用反证法，用反证法，设收敛数列设收敛数列 xn 有两个极限值有两个极限值 a 与与 b ,且且 a b，不妨设，不妨设 a b , xn 收敛收敛, 取某个取某个,20ba 则存在则存在N1，当当 n N1 时，有时，有,2baaxn 且存在且存在N2，当当 n N2 时，有时，

16、有,2babxn A1数列的极限PPT课件262baaxn 2babxn ,232baxban ,223baxabn ,22baxban 矛盾，矛盾， a = b得证。得证。若数列若数列 xn 的极限不唯一，则的极限不唯一，则 xn 发散。发散。 如：如： xn = (-1) n+1发散发散A1数列的极限PPT课件272.有界性有界性定理定理2. 若数列若数列 xn 收敛，收敛， 则数列则数列 xn 有界。有界。证：证：数列数列 xn 收敛，收敛，,limaxnn 设设由定义，由定义，对某个给定的正数对某个给定的正数 0 ，必存在，必存在 N ，,0 axNnn有有时时当当，现找现找Mxn a

17、axxnn aaxn ,0a ,max021axxxMN 取取则对一切则对一切 xn , 都有都有，Mxn xn 有界。有界。A1数列的极限PPT课件28说明：说明：(1)逆定理不成立，即逆定理不成立，即有界数列不一定收敛。有界数列不一定收敛。如：如：xn = (-1)n+1发散，但发散，但，1 nx有界。有界。数列有界是数列收敛的必要条件，而非数列有界是数列收敛的必要条件，而非充分条件。充分条件。(2)逆否定理成立，即逆否定理成立，即无界数列一定发散！无界数列一定发散！A1数列的极限PPT课件293. 保号性保号性定理定理3., 0,lim aaxnn且且若若则存在正整数则存在正整数 N ，

18、当，当 n N 时，恒有时，恒有xn 0 .( a 0 ) ( xn 0,必存在必存在 0 ,使使, 0 a. 0. a( a-) a+, a ,20a 取取时，恒有时，恒有当当，则则NnN ，2aaxn 2320axan . 0 nxA1数列的极限PPT课件30推论：推论：), 2, 1(, 0 nxn若若,limaxnn 且且.0 a则则)0( nx)0( a如：如：,01 nxn.01lim nn而而A1数列的极限PPT课件314. 与子列的关系与子列的关系,:122124321 kkknxxxxxxxx,:12123112 kkkxxxxx,:2422kkxxxx奇数列奇数列偶数列偶数列从数列中保持原来顺序从左向右任选从数列中保持原来顺序从左向右任选的无穷多个项组成的新数列称为原来数列的无穷多个项组成的新数列称为原来数列的的子数列子数列，记作，记作 knxn 原数列中的位置，原数列中的位置，k 新数列中的位置新数列中的位置A1数列的极限PPT课件32定理定理4