(完整版)5-简谐激励的响应

1、上次内容回顾：上次内容回顾：有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动讲述的内容讲述的内容第三章第三章 强迫振动强迫振动3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应1、无阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动、无阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动2、有阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动、有阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动 3.1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应引言引言n讨论单自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通讨论单自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通常称为振系对周期激扰的响应周期激扰可以是作用于振常称为振系对周期激扰的响应周期激扰可以是作用于振系的周期扰力，也可以是振系支座

2、的周期运动系的周期扰力，也可以是振系支座的周期运动n今天着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单，今天着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单，而所得结论却有很重要的工程应用。任意的周期激扰，都而所得结论却有很重要的工程应用。任意的周期激扰，都可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别求出各个正弦型激扰单独引起的振动，然后叠加，就可以求出各个正弦型激扰单独引起的振动，然后叠加，就可以得到振系对任意周期激扰的响应得到振系对任意周期激扰的响应 n叠加原理适用于线性系统叠加原理适用于线性系统 振系由周期激扰所引起的振动，振系由周期

3、激扰所引起的振动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加，才得到振系总需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加，才得到振系总的运动的运动第第3 3章章 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对外部激励的响应。第外部激励的响应。第2 2章讨论了振动系统在外部初章讨论了振动系统在外部初始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用下所产生的振动，称为强迫振动。强迫振动从外界下所产生的振动，称

4、为强迫振动。强迫振动从外界不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统得以持续振动。得以持续振动。 外部激励引起的系统的振动状态称为响应。系外部激励引起的系统的振动状态称为响应。系统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周期激励及非周期激励。期激励及非周期激励。 叠加原理是线性振动系统分析的基础。即对于叠加原理是线性振动系统分析的基础。即对于线性系统，可以先分别求出对所给定的各种激励的线性系统，可以先分别求出对所给定的

5、各种激励的响应，然后组合得出总响应。响应，然后组合得出总响应。3 31 1 对简谐激励的响应对简谐激励的响应 如图所示为二阶线性有阻尼质量如图所示为二阶线性有阻尼质量弹簧系弹簧系统。这一系统的运动微分方程为统。这一系统的运动微分方程为这个单自由度强迫振动微分方程这个单自由度强迫振动微分方程的全部解包括两部分，一是通解的全部解包括两部分，一是通解想想x1x1，二是特解，二是特解x2x2，即，即通解通解x1x1是对应于有阻尼自由振动的齐次方程的解，是对应于有阻尼自由振动的齐次方程的解，第第2 2章已经讨论过了，在小阻尼情况下，为衰减振章已经讨论过了，在小阻尼情况下，为衰减振动，只在振动开始后的一段

6、时间内才有意义，所动，只在振动开始后的一段时间内才有意义，所以称为瞬态振动。一般情况下可以不考虑它。特以称为瞬态振动。一般情况下可以不考虑它。特解解x2x2表示系统在简谐激励下产生的强迫振动，它表示系统在简谐激励下产生的强迫振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。是一种持续等幅振动，称为稳态振动。 因为激励是简谐函数，可以容易地证明稳态因为激励是简谐函数，可以容易地证明稳态响应也是简谐函数，而且具有相同的频率响应也是简谐函数，而且具有相同的频率。设。设特解为特解为式中式中x x为强迫振动的振幅，为强迫振动的振幅，为相位差，是两个待为相位差，是两个待定常数。将上式代入方程得定常数。将上式代入方

7、程得为了便于比较，把上式右端的为了便于比较，把上式右端的f f0 0sintsint改写如下改写如下将上式代回方程式，整理后得将上式代回方程式，整理后得这个方程对于任意时间这个方程对于任意时间t t都应恒等于零，所以都应恒等于零，所以sin(t-)sin(t-)和和cos(t-)cos(t-)前面括号内的量都必须分前面括号内的量都必须分别等于零，有别等于零，有由此可得由此可得为了便于进一步讨论，把上两式的分子分母同除以为了便于进一步讨论，把上两式的分子分母同除以k k，得如下变化形式，得如下变化形式式中式中 ，得特解为，得特解为这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。由此可这就是在简谐激励作用下

8、系统的位移响应。由此可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点： (1) (1)在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振动的频率与激励频率振动的频率与激励频率相同，但稳态响应的相相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。位滞后于激励相位。 (2)(2)强迫振动的振幅强迫振动的振幅x x和相位差和相位差都只决定于都只决定于系统本身的物理性质、激励的大小与频率，与初系统本身的物理性质、激励的大小与频率，与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。 (3)(3)强迫振动振幅的大小在实际

9、工程问题中具强迫振动振幅的大小在实际工程问题中具有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。影响机器及仪表的精度。引入符号：引入符号： 频率比；频率比； 振动系统零频率挠度，即在常力振动系统零频率挠度，即在常力f0f0作用下的静挠度作用下的静挠度( (注意不要与注意不要与 混淆混淆) )； 放大因子。放大因子。可以将下式写成无量纲的形式可以将下式写成无量纲的形式 以以为横坐标，为横坐标，和和为纵坐标，对于不同为纵坐标，对于不同的的值，可以得到幅频特性

10、曲线和相频特性曲线。值，可以得到幅频特性曲线和相频特性曲线。 从图可以看出：当频率比从图可以看出：当频率比1 1时，放大因时，放大因子很接近于子很接近于1 1，即振幅，即振幅x x几乎与激励幅值引起的静几乎与激励幅值引起的静变形变形x0x0差不多。当频率比差不多。当频率比1 1时，时，趋于零，趋于零，振幅可能非常小。当激励频率与振动系统频率很振幅可能非常小。当激励频率与振动系统频率很接近，即接近，即11时，强迫振动的振幅可能很大，时，强迫振动的振幅可能很大，比比x0x0大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。由式可大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。由式可见，在见，在=1=1时，有时，有 可见如果没有阻尼

11、，即可见如果没有阻尼，即=0=0的情况下，振幅的情况下，振幅x x为无穷大。通常把激励频率为无穷大。通常把激励频率与系统固有频率与系统固有频率nn相等时称为共振。相等时称为共振。 实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n=n处，而发生在处，而发生在 从 图 中 同 样 可 以 看 出 振 幅 最 大 的 峰 点 在从 图 中 同 样 可 以 看 出 振 幅 最 大 的 峰 点 在=/n=1=/n=1的左面，为了确定曲线峰点的位置，的左面，为了确定曲线峰点的位置，可以采用计算极值的标准数学方法，即将方程对可以采用计算极值的标准数学方法，即将方程对(或或)进

12、行微分，并令其结果等于零。即进行微分，并令其结果等于零。即 有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。据此，放大因子与振幅象称为共振。据此，放大因子与振幅 从图可以看出，相位差从图可以看出，相位差与频率比与频率比有很大关有很大关系。在系。在l11时，相位差时，相位差，即在高频范围内，响应与激励接近于反相位。在即在高频范围内，响应与激励接近于反相位。在=1=1，即共振时，相位差，即共振时，相位差/2/2，此时，此时与阻尼与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征

13、。大小无关，这是共振时的一个重要特征。 再研究当激励频率再研究当激励频率与系统固有频率与系统固有频率nn相等相等( (即共振即共振) )时的响应情况。在方程时的响应情况。在方程令令c=0c=0，=n=n，有，有根据微分方程理论可知：当根据微分方程理论可知：当=n=n时，其特解为时，其特解为 这就说明在共振时，如这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限无阻尼，振幅将随时间无限地增大，如图所示。共振时，地增大，如图所示。共振时，响应滞后激励的相位角为响应滞后激励的相位角为/2/2。 共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程中通常取中通常取0.751.25

14、0.751.25的区间为共振区，在共振区的区间为共振区，在共振区内振动都很强烈，会导致机器或结构的过大变形，内振动都很强烈，会导致机器或结构的过大变形，造成破坏。造成破坏。例例31-1 31-1 在一质量在一质量弹簧系统上弹簧系统上作用一简谐力作用一简谐力f=ff=f0 0sintsint如图所示。如图所示。初始瞬时初始瞬时x(0)=xx(0)=x0 0， ，试，试求系统的响应。求系统的响应。 解：系统的振动微分方程为解：系统的振动微分方程为其解为其解为式中式中a1a1和和a2a2是由初始条件确定的常数。代入初始条是由初始条件确定的常数。代入初始条件件x(0)=x0 x(0)=x0， ，得，得

15、把把a1a1和和a2a2值代入解中，得值代入解中，得上式表明，强迫振动初始阶段的解由三部分组成：上式表明，强迫振动初始阶段的解由三部分组成：第一项是初始条件产生的自由振动；第二项是简谐第一项是初始条件产生的自由振动；第二项是简谐激励产生的强迫振动；第三项是不论初始条件如何激励产生的强迫振动；第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当t=0t=0时，时， ，上式简化为，上式简化为 在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时在有阻尼的情况下，后

16、一种自由振动在一段时间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如图所示。图所示。 例例3.12 3.12 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端距铰支端l l处有一质量为处有一质量为m m的质点；距的质点；距2l2l处有一阻尼处有一阻尼器，阻尼系数为器，阻尼系数为c c；距；距3131处有一刚度为处有一刚度为k k的弹簧，并的弹簧，并作用一简谐激励作用一简谐激励f=f0sintf=f0sint。刚杆在水平位置平衡，。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率等等于固有频率于固有频率nn时质点的振幅。时质点的振幅。解：设刚杆在振动解：设刚杆在振动时的摆角为时的摆角为，由，由刚杆转动微分方程