初一几何——三角形内外角平分线模型

1、初一几何双角平分线模型1在 abc 中， bo， co 分别平分 abc 和 acb， 1+2 50°，就 a 的度数为（）a 80 度b 50 度c 100 度d 110 度2如图， abc 中， a 50°，d 是 bc 延长线上一点， abc 和 acd 的平分线交于点e，就 e 的度数为（）a 40°b 20°c 25°d 30°第 1 题图第 2 题图第 3 题图第 4 题图 3如图在 abc 中， bo，co 分别平分 abc， acb，交于 o，ce 为外角 acd 的平分线， bo 的延长线交ce于点 e，记 bac

2、1， bec 2，就以下结论 1 2 2， boc 3 2， boc 90° + 1， boc 90° + 2 正确选项（）a b c d 4如图， abd 、 acd 的角平分线交于点p，如 a 60°， d 20°，就 p 的度数为（）a 15°b 20°c 25°d 30°5如图，在abc 中， abc 与 acd 的平分线交于点a1，得 a1； a1bc 与 a1cd 的平分线相交于点a2， 得 a2； a2021bc 与 a2021cd 的平分线相交于点a2021，得 a2021假如 a80°，

3、就 a2021 的度数2是（） a 80b 802021c40d 80 × 1 20216已知 abc，以下说法正确选项（只填序号） 如图（ 1），如点 p 是 abc 和 acb 的角平分线的交点，就p 90°+ 1 a；22 如图（ 2），如点 p 是外角 cbf 和 bce 的角平分线的交点，就p 90° - 1 a；1 如图（ 3），如点 p 是 abc 和外角 ace 的角平分线的交点，就p= 2 a7已知：如图，o 是 abc 内一点，且ob、 oc 分别平分 abc、 acb，如 a 46°，求 boc第 7 题图第 8 题图第 9 题图8

4、如图，在 abc 中， abc 40°， acd 76°，be 平分 abc，ce 平分 abc 的外角 acd ，就 e9如图， abc 中，c 104°，bf 平分 abc 与 abc 的外角平分线ae 所在的直线交于点f ，就 f第1页（共 15页）10如图，在 abc 中， b 90°， acb、 caf 的平分线所在的直线交于点h ，求 h 的度数11如图 ， acd 是 abc 的外角， be 平分 abc， ce 平分 acd ，且 be、ce 交于点 e（ 1）假如 a 60°， abc 50°，求 e 的度数；（ 2

5、）猜想： e 与 a 有什么数量关系； （写出结论即可）（ 3）如图 ，点 e 是 abc 两外角平分线be、ce 的交点，探究e 与 a 之间的数量关系，并说明理由12甲乙两同学对同一个图形进行讨论，如图 ，在 abc 中，点 o 是 abc 和 acb 平分线的交点， 如 a ，就 boc（说明：此题中角的大小均可用á表示）；（ 1）甲同学不断调整图中射线bo、co 的位置，如图 ， cbo = 1 abc， bco = 1 acb， a ，就33boc ，并请你帮他说明理由（ 2）由（ 1）方法，甲同学猜想：如图 ，当 cbo=1 abc ， bco = 1 acb， a ，

6、boc .（ 3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形，探究角平分线组成的o 与多边形其他角的关系如图 ，在四边形abcd 中， bo、co 分别平分 abc 和 bcd，摸索究 o 与 a、 d 的数量关系，并说明理由（ 4）仿照（ 3）的方法，如图 ，在六边形abcdef 中， bo、co 分别平分 abc 和 bcd，请直接写出o与 a、 d、 e、 f 的数量关系：第2页（共 15页）13（ 1）如图 1，已知 abc，bf 平格外角 cbp ， cf 平格外角 bcq 试确定 a 和 f 的数量关系；（ 2）如图 2，已知 abc， bf 和 bd 三等格外角

7、cbp，cf 和 ce 三等格外角bcq试确定 a 和 f 的数量关系；（ 3）如图 3，已知 abc，bf 、bd 和 bm 四等格外角cbp，cf 、ce 和 cn 四等格外角bcq试确定 a和 f 的数量关系；（ 4）如图 4，已知 abc，将外角 cbp 进行 n 等分， bf 是接近 bc 边的等分线，将外角bcq 进行 n 等分，cf 是接近 bc 边的等分线，试确定a 和 f 的数量关系14（ 1）如图 1， o 是 abc 内一点，且bo，co 分别平分 abc， acb 、如 a 46°，就 boc ；如 a n°，就 boc；（ 2）如图 2， o 是

8、abc 外一点， bo， co 分别平分 abc 的外角 cbe， bcf 如 a n°，求 boc；（ 3）如图 3， o 是 abc 外一点， bo， co 分别平分 abc， acd 如 a n°，求 boc第3页（共 15页）第4页（共 15页）初一几何双角平分线模型一挑选题（共5 小题）参考答案与试题解析1在 abc 中， bo， co 分别平分 abc 和 acb， 1+2 50°，就 a 的度数为（）a 80 度b 50 度c 100 度d 110 度【解答】 解： bo， co 分别平分 abc 和 acb， 1+ 250°， abc 2

9、 1， acb 22， abc+ acb 2（ 1+ 2） 100°， abc 中， a+ abc+ acb 180°， a 180° 100° 80° 应选： a2如图， abc 中， a 50°，d 是 bc 延长线上一点， abc 和 acd 的平分线交于点e，就 e 的度数为（）a 40°b 20°c 25°d 30°【解答】 解：由三角形的外角的性质可知，e ecd ebd ， abc 的平分线与acd 的平分线交于点e， ebc= 1 abc， ecd= 1 acd，22 acd a

10、bc a 50°，1（ acd abc） 25°，2 e ecd ebd 25°， 应选： c3如图在 abc 中， bo，co 分别平分 abc， acb，交于 o，ce 为外角 acd 的平分线， bo 的延长线交ce于点 e，记 bac 1， bec 2，就以下结论 1 2 2， boc 3 2， boc 90° + 1， boc 90° + 2 正确选项（）第5页（共 15页）a b c d 【解答】 解： ce 为外角 acd 的平分线， be 平分 abc， dce = 1acd ， dbe = 1 abc，22又 dce 是 bc

11、e 的外角， 2 dce dbe ，1= 2 （ acd abc）=1 1，故 正确；2 bo， co 分别平分 abc ， obc= 1abc， ocb= 1 acb，22 boc 180°（ obc + ocb） 180° -1（ abc+ acb）2 180° -1（ 180° 1）2 90°+ 1 1，故 、 错误；2 oc 平分 acb ， ce 平分 acd， aco= 1acb ， ace= 1 acd，22 oce= 1（ acb+ acd） = 1×180° 90°，22 boc 是 coe 的外

12、角， boc oce+ 2 90° + 2，故 正确； 应选： c4如图， abd 、 acd 的角平分线交于点p，如 a 60°， d 20°，就 p 的度数为（）第6页（共 15页）a 15°b 20°c 25°d 30°【解答】 解：延长ac 交 bd 于点 e，设 abp， bp 平分 abd ， abe2， aed abe+ a 2+60°， acd aed+ d 2+80 °， cp 平分 acd ， acp= 1 acd +40 °，2 afp abp+a +60 °，

13、afp p+ acp +60 ° p+40 °， p 20°， 应选： b5如图，在 abc 中， abc 与 acd 的平分线交于点 a1，得 a1； a1bc 与 a1cd 的平分线相交于点 a2， 得 a2； ； a2021bc 与 a2021cd 的平分线相交于点 a2021，得 a2021假如 a80°，就 a2021 的度数是 （ ）a 80b 8020211c 40d 80 ×2021 2【解答】 解： abc 与 acd 的平分线交于点a1， a1bc= 1 abc， a1cd = 1 acd，22由三角形的外角性质，acd a

14、+ abc， a1cd a1+ a1bc，1（ a+ abc） a1+ a1bc a1+ 1 abc，22整理得， a1= 1 a= 1 ×80° 40°；22同理可得 an1 .= 2应选： d ×80二填空题（共4 小题）第7页（共 15页）6已知 abc，以下说法正确选项（只填序号） 如图（ 1），如点 p 是 abc 和 acb 的角平分线的交点，就p 90°+ 1 a；22 如图（ 2），如点 p 是外角 cbf 和 bce 的角平分线的交点，就p 90° - 1 a；1 如图（ 3），如点 p 是 abc 和外角 ace

15、的角平分线的交点，就p= 2 a【解答】 解： 正确 p 点是 abc 和 acb 的角平分线的交点， pbc+ pcb= 1（ abc+acb ） = 1（ 180° a） 90° - 1 a，222 p 180°-1（ abc+ acb） 180° 90° + 1a 90° + 1 a；222 正确 bp、cp 为 abc 两外角的平分线， bcp= 1 bce= 1（ a+ abc）， pbc= 1 cbf = 1（ a+ acb），2222由三角形内角和定理得： bpc180° bcp pbc2 180°

16、-1 a+（ a+ abc+ acb） 180° -1（ a+180°）2 90°-1 a2 正确 bp 是 abc 中 abc 的平分线， cp 是 acb 的外角的平分线， pbc= 1 abc， pce= 1 ace，22 ace 是 abc 的外角， pce 是 bpc 的外角， ace abc+ a， pce pbc+ p，1ace=2112 abc+112 a，abc+2a pbc+ p，2 p= 1 a； 2故答案为 7已知：如图， o 是 abc 内一点，且ob、oc 分别平分 abc、 acb，如 a46°，求 boc 113°

17、;第8页（共 15页）【解答】 解： ob、 oc 分别是 abc 和 acb 的角平分线， obc+ ocb = 1 abc+ 1 acb= 1（ abc+ acb），222 a 46°， obc+ ocb = 1（ 180° 46°） 67°，2 boc 180°（ obc + ocb） 180° 67° 113°故 答 案 为 ： 113° 8如图，在 abc 中， abc 40°， acd 76°，be 平分 abc，ce 平分 abc 的外角 acd ，就 e18°

18、【解答】 解： be 平分 abc，ce 平分 abc 的外角 acd ， ebc= 1 abc 20°， ecd = 1 acd 38°，22 ecd ebc+ e， e 38° 20° 18°， 故答案为18°9如图， abc 中， c 104°，bf 平分 abc 与 abc 的外角平分线ae 所在的直线交于点f ，就 f 52°【解答】 解： bf 平分 abc，ae 平分 dab ， abf= 1 abc， eab= 1 dab ，22 dab abc c 104°， f eab abf = 1

19、（ dab abc） 52°，2故答案为： 52°第9页（共 15页）三解答题（共5 小题）10如图，在 abc 中， b 90°， acb、 caf 的平分线所在的直线交于点h ，求 h 的度数【解答】 解： ch 、 ad 分别为 acb、 caf 的平分线， cad = 1caf h+ 1acb （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），22又 caf b+ acb 90° + acb（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），1即caf -212 acb 45°， h= 1 caf - 1 acb 45°2211

20、如图 ， acd 是 abc 的外角， be 平分 abc， ce 平分 acd ，且 be、ce 交于点 e（ 1）假如 a 60°， abc 50°，求 e 的度数；（ 2）猜想： e 与 a 有什么数量关系； （写出结论即可）（ 3）如图 ，点 e 是 abc 两外角平分线be、ce 的交点，探究e 与 a 之间的数量关系，并说明理由【解答】 解：（ 1）依据外角的性质得acd a+ abc 60°+50 ° 110°， be 平分 abc， ce 平分 acd ， 1= 1 acd 55°， 2= 1 abc 25°

21、22 e+ 2 1， e 1 2 30°；（ 2）猜想： e= 1 a；2第10页（共 15页）（ 3） be、ce 是两外角的平分线， 2= 1 cbd ， 4= 1 bcf ，22而 cbd a+ acb， bcf a+ abc， 2= 1（ a+ acb ）， 4= 1（ a+ abc）22 e+ 2+ 4 180°， e+ 1 （ a+ acb ）+ 1（ a+ abc） 180°，22即 e+ 1 a+ 1（ a+ acb+ abc） 180°22 a+ acb+ abc 180°， e+ 1 a 90°212甲乙两同学对同

22、一个图形进行讨论，如图 ，在 abc 中，点 o 是 abc 和 acb 平分线的交点， 如 a ，）°就 boc（90+ .2（说明：此题中角的大小均可用á表示）；（ 1）甲同学不断调整图中射线bo、co 的位置，如图 ， cbo = 1 abc， bco = 1 acb， a ，就331boc 120°+ 3 ，并请你帮他说明理由（ 2）由（1）方法，甲同学猜想： 如图 ，当 cbo= 1 abc， bco= 1 acb，a ， boc .-1180° + .（ 3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形，探究角平分线组成的o

23、与多边形其他角的关系如图 ，在四边形abcd 中， bo、co 分别平分 abc 和 bcd，摸索究 o 与 a、 d 的数量关系 o= 1（ a+d ），并说明理由2（ 4）仿照（ 3）的方法，如图 ，在六边形abcdef 中， bo、co 分别平分 abc 和 bcd ，请直接写出o与 a 、 d 、 e 、 f的 数 量 关 系 ： o = 12（ a+ d+ e+ f ） 第11页（共 15页）180°【解答】 解： a， abc+ acb 180° ， ob、co 分别平分 abc 和 acb， obc= 1abc ， ocb= 1 acb，22， obc+ oc

24、b = 1（ abc+ acb） 90°-.22= （ 90+ o 180°（ obc + ocb ） 180° 90° + .2.）°； 2）°；故答案为：（ 90+ .2（ 1）依据 cbo= 1 abc， bco = 1 acb， a ，运用三角形内角和定理，即可得到 boc 120°+ 1333；（ 2 ）依据cbo = 1 abc ， bco = 1 acb ， a ，运用三角形内角和定理，即可得到boc =.-1180° + .；（ 3）四边形边形abcdef 的内角和为： （ 4 2）.180

25、6; 360°， ob、oc 分别平分 abc 和 bcd， obc= 1abc ， ocb= 1 bcd ，22 o 180° pdc pcd 180° -1 abc-1 bcd22 180° -1（ abc+ bcd）2 180° -1（ 360° a d）2=1 （ a+d ）°，2第12页（共 15页）（ 4）六边形abcdef 的内角和为： （6 2）.180° 720°， ob、oc 分别平分 abc 和 bcd， obc= 1abc ， ocb= 1 bcd ，22 o 180°

26、obc ocd 180° -1 abc-1 bcd22 180° -1（ abc+ bcd）2 180° -1（ 720° a b e f ）2= 1 （ a+b+ e+ f ） 180°，2故答案为：1（ a+b+ e+ f） 180°213（ 1）如图 1，已知 abc，bf 平格外角 cbp ， cf 平格外角 bcq 试确定 a 和 f 的数量关系；（ 2）如图 2，已知 abc， bf 和 bd 三等格外角cbp，cf 和 ce 三等格外角bcq试确定 a 和 f 的数量关系；（ 3）如图 3，已知 abc，bf 、bd 和

27、 bm 四等格外角cbp，cf 、ce 和 cn 四等格外角bcq试确定 a和 f 的数量关系；（ 4）如图 4，已知 abc，将外角 cbp 进行 n 等分， bf 是接近 bc 边的等分线，将外角bcq 进行 n 等分，cf 是接近 bc 边的等分线，试确定a 和 f 的数量关系2【解答】 解：（ 1）由已知得 .=.1 .，.=.1 .，.2第13页（共 15页） cbp a+ acb， bcp a+ abc，.+.=.1 .+.21 .+. 180 °= 90 °-1 . .+. .+. .= 1.2 .+. 180 ° =.180 °- .+.

28、 .=.180 °-2213（ 2）由已知得 .=. .，.=.1 .，.3 cbp a+ acb， bcp a+ abc，13.+.=. .+.1 .+. 180 °= 120 °-1 . .+. .+.1 .=.3 .+. 180 ° =.180 °- .+. .=.180 °-334（ 3）由已知得 .=.1 .，.=.1 .，.4 cbp a+ acb， bcp a+ abc，.+.=.1 .+.4 .+. .+. .= 1.4 .+. 180 ° =.180 °- .+. .=.180 °-14 .+. 180 °= 135 °-14 .（ 4）由已知得 .=.1 .，.= 1 .，. cbp a