八年级数学直角三角形

1、学习必备欢迎下载直角三角形一、直角三角形的性质重点 ：直角三角形的性质定理及其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;推论：（ 1）在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，就它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30° .难点：1. 性质定理的证明方法.2. 性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判定重点： 把握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（ hl ）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题；三、角

2、平分线的性质定理1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.b d定理的数学表示：如图4，e oe 是 aob的平分线， f 是 oe上一点，且cfoa于点 c， df ob于点 d，f cf df.定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2. 关于三角形三条角平分线的定理：（ 1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示： 如图 6，假如 ap、bq、cr分别是 abc的内角 bac、 abc 、 acb的平分线，那么：b ap、bq、 cr相

3、交于一点i ；o图4caar fiqe图 6pdc 如 id 、ie 、if 分别垂直于bc、ca、 ab于点 d、e、f，就 di ei fi.定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（ 2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形外形的关系：三角形三个内角角平分线的交点肯定在三角形的内部. 这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3. 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（ 1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（ 3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简洁综合问题的图形.学习必备欢迎下载四、勾股定理的证明及应用勾股定理内容：直角三角形两直

4、角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式

5、，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4sss， 41 ab2ba 2cc ，化简可证正方形 efgh正方形 abcdd2heg方法二：fba四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方acbba122222形面积的和为s4abc 22abc大正方形面积为saba2abbaccb所以222abc 方法三：s梯形1 ab ab ，2s梯形2s ades abe2 1 ab1 c222，化简得证bccaab .勾股定理的适用范畴aad勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形cb和钝角三角形的三边就不具有这一特

6、点，因而在应用勾股定理时，必需明白所考察的对象是直角三角形cea .勾 股 定 理 的 应 用 已知直角 三 角 形的 任 意两 边长 ， 求 第 三边 在abc 中 ，c90， 就bbcca2b 2 ， bc 2a 2 ， ac 2b2 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理假如三角形三边长a ， b ， c 满意 a2b2c2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边222勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能外形，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和ab 与较长

7、边的平方c 作比较，如它们相等时，以a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；如a2b2c2 ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是钝角三角形；如a2b2c 2 ，时，以 a ，b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a ，b ，c 及 a2b2c 2 只是一种表现形式，不行认为是唯独的， 如如三角形三边长a ，b ，c 满意 a2c2b2 ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，

8、即一组勾股数a2b 2c 2 中， a ， b ， c 为正整数时，称a ， b ， c 为记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：22n1,2n,n1（ n2, n 为正整数）；学习必备欢迎下载2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 为正整数）m2n 2 ,2 mn,m2n2 （ mn,m ， n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必需把握直角三角形的前提条件，明白直角三角形中，斜边和直角边各是

9、什么，以便运用勾股定理进行运算，应设法添加帮助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形，在详细推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中，是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：ccc30°abadbbda1

10、0、互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段勾股定理经典例题透析c类型一：勾股定理的直接用法1、在 rt abc 中， c=90 °bda1已知 a=6， c=10，求 b， 2 已知 a=40， b=9，求 c； 3 已知 c=25， b=15，求 a.思路点拨 : 写解的过程中，肯定要先写上在哪个直角三角形中

11、，留意勾股定理的变形使用；解析： 1 在 abc 中， c=90 °， a=6， c=10,b=2 在 abc 中， c=90°， a=40， b=9,c= 3 在 abc 中， c=90°， c=25， b=15,a=举一反三【变式】 :如图 b= acd=90 ° , ad =13,cd =12, bc=3,就 ab 的长是多少 .【答案】 acd =90 ° ad = 13, cd=12 ac 2 =ad 2cd 2=13 2 122=25 ac=5又 abc=90 °且 bc=3由勾股定理可得学习必备欢迎下载ab 2= ac

12、2bc2=52 32=16 ab= 4 ab 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： bc 的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 d，就有，再由勾股定理运算出ad 、dc 的长，进而求出bc 的长.解析 ：作于 d，就因，（的两个锐角互余）（在中，假如一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理，在中，.依据勾股定理，在中，.举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 p.求证：.解析 ：连结 bm ，依据勾股定理，在中，.而在中，就依据勾股定理有.又（已知），.在中，依据勾股定理有，学习必备欢迎下载.【变式 2】已知：如图

13、，b= d=90 °， a=60 °， ab=4 ，cd=2 ；求：四边形abcd 的面积；分析 ：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结ac ，或延长ab 、dc 交于 f，或延长ad 、bc 交于点 e，依据此题给定的角应选后两种，进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁；解析 ：延长 ad 、 bc 交于 e； a= 60°， b=90 °， e=30 °； ae=2ab=8 ，ce=2cd=4 ， be2=ae 2-ab 2=8 2-42=48 ， be=； de2= ce 2-cd 2=42-22=12， de=； s 四边形 ab

14、cd =s abe -s cde =ab · be-cd · de=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下列图， 在一次夏令营活动中，小明从营地a 点动身， 沿北偏东 60°方向走了到达 b 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地c 点；（ 1）求 a 、c 两点之间的距离；（ 2）确定目的地c 在营地 a 的什么方向；解析 ：（ 1）过 b 点作 be/ad dab= abe=60 ° 30° + cba+ abe=180 ° cba=90 °即 abc 为直角三角形

15、由已知可得：bc=500m ， ab=由勾股定理可得：所以（ 2）在 rt abc 中， bc=500m ，ac=1000m cab=30 ° dab=60 ° dac=30 °即点 c 在点 a 的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门外形如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 .学习必备欢迎下载【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于ch 如下列图，点d在离厂门中线0.8 米处，且cd ，与地面交于h 解： oc 1 米 大门宽度一半，od 0

16、.8 米 （卡车宽度一半） 在 rt ocd 中，由勾股定理得：cd .米， c . . .（米） .（米） 因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄a、b、c、d，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮忙运算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理运算线路长，然后进行比较，得出结论解析 ：设正方形的边长为1，就图（ 1）、图（ 2）中的总

17、线路长分别为 ab+bc+cd 3，ab+bc+cd 3图（ 3）中，在rtabc 中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长ef 交 bc 于 h，就 fh bc， bh ch由 fbh 及勾股定理得：ea ed fb fc学习必备欢迎下载 ef 1 2fh 1此图中总线路的长为4ea+ef 3 2.828>2.732图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点a 动身，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最短路程解：如图，在rt中，底面周长的一半cm， 依据勾股定理得（提问：勾股

18、定理） ac （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段；思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作；作法 ：如下列图（ 1）作直角边为1（单位长）的等腰直角acb ，使 ab 为斜边；（ 2）以 ab 为一条直角边，作另始终角边为1 的直角；斜边为；（ 3）顺次这样做下去，最终做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、；举一反三【变式】在数轴上表示的点；解析： 可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，学习必备欢迎下载而 10 又是 9 和 1

19、这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1 ；作法 ：如下列图在数轴上找到a 点，使 oa=3 ，作 ac oa 且截取 ac=1 ，以 oc 为半径，以 o 为圆心做弧，弧与数轴的交点b 即为；类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判定是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相

20、等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 此题是为了学习勾股定理的逆命题做预备；7、假如 abc 的三边分别为a、b、c，且满意a2+b2+c 2+50=6a+8b+10c ，判定 abc 的外形；思路点拨 ：要判定 abc 的外形，需要找到a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件入手，解决问题；解析 ：由 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ，得：a2-6a+9+b2 -8b+16+c 2-10c+25=0, a-3 2+b-4 2+c-5 2=0 ；

21、 a-3 2 0, b-4 2 0, c-5 2 0； a=3， b=4， c=5 ； 32+42=52, a2+b2=c2 ；由勾股定理的逆定理，得abc 是直角三角形；总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来讨论图形的位置关系的,在证明中也常要用到；举一反三 【变式 1】四边形 abcd中， b=90 °， ab=3 ， bc=4 ， cd=12 ， ad=13 ，求四边形abcd的面积；【答案】：连结 ac b=90 °， ab=3 ， bc=4 ac 2=ab 2+bc 2=25 （勾股定理） ac=5 ac 2+cd 2=169 ，ad 2=169 ac 2+

22、cd 2=ad 2 acd=90 °（勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : abc 的三边分别为m2 n2,2mn,m2+n2m,n 为正整数 ,且 m n,判定 abc 是否为直角三角形.分析 :此题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a2+b2 =c2 即可学习必备欢迎下载证明：所以 abc 是直角三角形.【变式 3】如图正方形abcd ， e 为 bc 中点， f 为 ab 上一点，且bf=ab ；请问 fe 与 de 是否垂直 .请说明；【答案】答： de ef；证明：设bf=a，就 be=ec=2a, af=3a ， ab=4a, ef2=bf 2+be 2=a2+4a2

23、=5a2 ；de 2=ce 2+cd 2=4a2+16a2=20a2；连接 df（如图）df 2=af 2+ad 2=9a2+16a2=25a2； df 2=ef 2+de 2, fe de ；勾股定理经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、如直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积；思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再依据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积；解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，依据题意得：（ 3x） 2+（ 4x） 2 202化简得 x216；直角三角形的面积&#

24、215; 3x×4x 6x296总结升华： 直角三角形边的有关运算中，经常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解；举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积；【答案 】如图，等边abc ，作 ad bc 于 d就： bd bc （等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合） ab ac bc 2（等边三角形各边都相等） bd 1在直角三角形abd 中， ab 2ad 2+bd 2，即： ad 2 ab 2 bd 2 4 13 ad sabc bc ·ad 注：等边三角形面积公式：如等边三角形边长为a，就其面积为a；【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为

25、5cm，求直角三角形的面积；【答案 】设此直角三角形两直角边长分别是x， y，依据题意得：由（ 1）得： x+y 7，（ x+y ） 2 49， x2+2xy+y 2 49 3 3 2，得： xy 12学习必备欢迎下载直角三角形的面积是xy × 12 6（ cm2）【变式 3】如直角三角形的三边长分别是n+1， n+2 ，n+3 ，求 n；思路点拨： 第一要确定斜边（最长的边）长n+3 ，然后利用勾股定理列方程求解；解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1 ） 2+（ n+2） 2（ n+3） 2化简得： n2 4n± 2，但当 n 2 时， n+1 1&

26、lt;0， n 2总结升华： 留意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情形下，第一要先确定斜边，直角边；【变式 4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（） a 、8， 15， 17b 、4， 5， 6c、5，8， 10d、8， 39，40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定，对数据较大的可以用c2 a2+b2 的变形： b2 c2 a2（ c a）（ c+a）来判定；例如：对于挑选d， 82（ 40+39）×（ 40 39），以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形；同理可以判定其它选项；【答案】：a类型二

27、：勾股定理的应用2、如图，大路mn 和大路 pq 在点 p 处交汇，且 qpn 30°，点 a 处有一所中学，ap 160m；假设拖拉机行驶时， 四周 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时， 学校是否会受到噪声影响？请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判定拖拉机的噪音是否影响学校a ，实质上是看a 到大路的距离是否小于100m, 小 于 100m 就受影响，大于100m 就不受影响，故作垂线段ab 并运算其长度； （ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 a 的

28、影响所行驶的路程；因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校，行至哪一点后终止影响学校；解析 ：作 ab mn ，垂足为b；在 rt abp 中， abp 90°， apb 30°，ap 160， ab ap 80； （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）点a 到直线 mn 的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响；如图，假设拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶到点c 处学校开头受到影响，那么ac 100m ，由勾股定理得：bc 2 1002-802 3600, bc60；同理，拖拉机行驶到点d 处学校开头脱离影响，那么，ad 100m ， bd

29、 60m, cd 120m ；拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24s；答：拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒；总结升华 : 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,如图形缺少直角条件,就可以通过作帮助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理；举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了躲开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”；他们仅仅少走了 步路（假设2 步为 1m），却踩伤了花草；学习必备欢迎下载解析：他们原先走的路为3+4 7m设走“捷径”的路长为xm ，就故少走的

30、路长为7 5 2m又由于 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路；【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形， 这样的三角形称为单位正三角形；（ 1）直接写出单位正三角形的高与面积；（ 2）图中的平行四边形abcd含有多少个单位正三角形？平行四边形abcd的面积是多少？（ 3）求出图中线段ac 的长（可作帮助线） ；【答案】（ 1）单位正三角形的高为，面积是；（ 2）如图可直接得出平行四边形abcd 含有 24 个单位正三角形，因此其面积；（ 3）过 a 作 ak bc 于点 k （如下列图） ，就在 rt ack 中，故类型

31、三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，经常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决3、如下列图，abc 是等腰直角三角形，ab=ac ， d 是斜边 bc 的中点， e、f 分别是 ab 、ac 边上的点，且de df，如 be=12 ， cf=5 求线段ef 的长；思路点拨： 现已知 be 、cf，要求 ef，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，依据直角三角形的特点，三角形的中线有特别的性质，不妨先连接ad 解：连接 ad 由于 bac=90 °， ab=ac 又由于 ad 为 abc 的中线， 所以 ad=d

32、c=db ad bc且 bad= c=45 °由于 eda+ adf=90 ° 又由于 cdf+ adf=90 ° 所以 eda= cdf 所以 aed cfd （ asa ）所 以 ae=fc=5 同理： af=be=12 在 rt aef 中，依据勾股定理得：学习必备欢迎下载，所以 ef=13 ；总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等学问；通过此题，我们可以明白：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同始终角三角形中求解；（二）方程的思想方法4、如下列图，已知abc 中， c=90°， a=60

33、76;，求、的值；思路点拨： 由，再找出、的关系即可求出和的值；解：在 rt abc 中， a=60 °， b=90 ° -a=30 °，就，由勾股定理，得；由于，所以，；总结升华： 在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半；举一反三：【变式 】如下列图，折叠矩形的一边ad ，使点 d 落在 bc 边的点 f 处，已知 ab=8cm ，bc=10cm ，求 ef的长；解： 由于 ade 与 afe 关于 ae 对称，所以ad=af ， de=ef ；由于四边形abcd 是矩形，所以b= c=90 °，在 rt abf 中，af=a

34、d=bc=10cm， ab=8cm ，所以； 所以；设，就；在 rt ecf 中，即，解得；即 ef 的长为 5cm；直角三角形的性质经典例题透析例 1：已知：如图abc 中， bd ac ， ce ab ， bd、ce 交于 o 点，且 bd=ce求证： ob=oc.分析 ：欲证 ob=oc 可证明 1= 2，由已知发觉，1， 2 均在直角三角形中，因此证明bce 与 cbd 全等即可证明 ： ce ab ，bd ac ，就 bec= cdb=90 °cebd在 rt bce 与 rt cbd 中bcbc学习必备欢迎下载 rtbce rtcbdhl 1= 2， ob=oc例 2：已

35、知： rt abc 中， acb 是直角， d 是 ab 上一点， bd=bc ，过 d 作 ab 的垂线交ac 于 e，求证： cd be分析： 由已知可以得到dbe 与 bce 全等即可证明de=ec 又 bd=bc ，可知 b、 e 在线段 cd 的中垂线上，故cd be ；证明 ： de ab bde=90 °， acb=90 °在 rt deb 中与 rtceb 中bd=bc be=be rtdeb rt ceb （ hl ） de=ec 又 bd=bc e、b 在 cd 的垂直平分线上即 be cd.例 3：已知 abc 中， cd ab 于 d，过 d 作 d

36、e ac ， f 为 bc 中点，过f 作 fgdc 求证： dg=eg ；分析： 在 rt dec 中，如能够证明g 为 dc 中点就有dg=eg因此此题转化为证明dg 与 gc 相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到；证明：作fq bd 于 q， fqb=90 ° de ac dec=90 ° fg cd cd bd bd/fg ， bdc= fgc=90 ° qf/cd qf=dg ， b= gfc f 为 bc 中点 bf=fc在 rt bqf 与 rt fgc 中bqf bfgc gfcbffc bqf fgc（ aas ） qf=g

37、cqf=dg dg=gc在 rt dec 中， g 为 dc 中点 dg=eg例 4： 已知如图， ac bc ， ad bd ， ad=bc ， ce ab ，df ab ，垂足分别是e、f求证： ce=df.分析： 在 rt acb 与 rt abd 中bcadabab rtacb rt bdf （hl ） cab= dba ，ac=bd在 rt cae 与 rt bdf 中cea caedfb dbf学习必备欢迎下载acbd cae bdf （ aas ） ce=df.例 5： 已知：如图ab bd ，cd bd ， ab=dc 求证： ad/bc.分析： ab bdcd bd abd=

38、 bdc=90 °abdc在 rt abd 与 rt cdb 中abdbdcbdbd abd cdb （sas） adb= dbc ad/bc例 6： 已知，如图 5，在 abc中， bac>90°， bd、ce分别为 ac、ab上的高， f 为 bc的中点，求证：fed= fde；分析：由于 bd、ce分别为 ac、ab上的高， 所以 bdc=bec=90°；在 rt bdc中 df为斜边上中线，所以；同理在 rtbec中，所以 df=ef，所以 fed=fde；学习必备欢迎下载例 7： （20xx年上海市中考题）已知：如图6，在 abc中， ad是高，

39、ce是中线； dc=b，e垂足；求证：（ 1） g是 ce的中点；（ 2） b=2bce；分析：（ 1） e 是 rt adb斜边上中点，连de，就，所以 de=dc；又由于 dgce，所以 g为 ce的中点；（2）由于 de=d，c 所以 1=2；由于 edb=1+2，所以 edb=22；由性质拓展知： b= edb， 所以 b=2 2，即 b=2 bce；dgce，g为例 8： （20xx年呼和浩特市中考）如图7，在 abc中， c=2b， d是 bc上的一点，且 adab，点 e是 bd的中点，连 ae；求证：（ 1） aec=c；（ 2）求证： bd=2ac；分析：（ 1）由于 ae是

40、 rt bad斜边 bd上中线，由性质拓展可知：aec=2b；又由于 c=2b， 所以 aec=c；（2）由（ 1） aec= c，所以 ae=ac，ae是 rt bad斜边上中线；由性质可得：学习必备欢迎下载，所以，故 bd=2ac；例 9： （第四届“祖冲之杯”初二竞赛）如图8，在梯形 abcd中， ab cd， a+b=90°， e、f 分别是ab、cd的中点；求证：；分析：延长 ad、bc交于 g，连 ge、gf；由于 a+b=90°，所以 g=90°；e、f 分别为 dc、ab中点；由性质可得：；由性质拓展可得：gde= age， gaf=agf；由于

41、cdab，所以 gde= gaf，所以 age=agf，所以 g、e、f 三点在同始终线上，所以；例 10： 如图 9，在四边形 abcd中， acbc， bdad，且 ac=bd，m、n 分别是 ab、dc边上的中点；求证： mndc；学习必备欢迎下载分析： m是 rt adb与 rtacb斜边上中点，连 dm、cm，由性质可得：，所以 dmc为等腰三角形；又由于 n为 cd的中点， 所以 mndc；经典习题精讲1、如下列图，已知be ac， df ac，垂足分别为e， f，o是 ac与 bd的交点且是bd的中点，求证be=df；2、如下列图， ad 是 abc 中 bac 的平分线， abc=2 c，求证： ab+bd=ac ；abcde3、如下列图，在abc 中， b=90 0 ， cae 和 acf 的平分线相交于d ，求 d 的度数；学习必备欢迎下载dabcf4、如下列图，在rt abc 中， acb=90 0 ，d 为 ab 的中点， d ebc于 e，求证 cde= a；6、如下列图， ab/cd ， ad=ab=bc ， dc=2ab ，求证 bd bc；7、在等腰三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形的顶角的度数；8、如下列图，在abc 中， ab=ac ，d a ac，