第8章梁的应力1mc

1、第第8 8章章 弯曲应力弯曲应力 8-1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力8-2 弯曲正应力的强度条件弯曲正应力的强度条件8-3 梁横截面的剪应力和剪应力强度条件梁横截面的剪应力和剪应力强度条件8-4 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施(1) (1) 纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“”(2) (2) 横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。1. 纯弯曲和横力弯曲的

2、概念纯弯曲和横力弯曲的概念第一节 梁横截面的正应力2. 纯弯曲梁横截面上的正应力公式纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：(1)变形几何方面(2)物理关系方面(3)静力学方面abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设

3、：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层 。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向

4、纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。Aabcdyxd A4 4、线应变的变化规律：、线应变的变化规律：(1) . ydxyoo1在弹性范围内，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理关系：（二）物理关系：由纵向线应变的变化由纵向线应变的变化规律规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。(2) . EyEabcd EyE应力的分布图：应力的分布图：MZymaxmax中性轴的位置？中性轴的

5、位置？中中性性层层的的曲曲率率 1为梁弯曲变形后的曲率1yxMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性轴（中性轴Z轴为形心轴）轴为形心轴）AydAzM) 2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足轴为对称轴，自然满足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力学关系：（三）、静力学关系： 由横截面上的弯矩和正应由横截面上的弯矩和正应力的关系力的关系正应力的计算公正应力的计算公式。式。zIMy弯曲正应力计算公式。弯曲正应力计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变

6、形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当M 0时，下拉上压；时，下拉上压； 当当M 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径

7、FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2. C 截面上截面上K点正应力点正应力例例BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 51

8、0218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .1

9、94106010832. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql M例：例： 已知已知 l=1m，q=6kN/m，10号槽号槽钢。求最大拉应力和压应力。钢。求最大拉应力和压应力。解：解：（1）作弯矩图）作弯矩图 mN3000212maxqlM（2）由型钢表查得，）由型钢表查得，10号槽钢号槽钢4cm6 .25zIcm8 . 4bcm52. 11y（3）求最大应力）求最大应力 zIyM1maxmax, tzIyM2maxmax, c48-2m1025.6)m1052. 1)(mN3000(MPa1 .17848-2m1025.6m10)52. 18 . 4()mN300

10、0(MPa4 .384Wz 称称为为弯曲截面模量。弯曲截面模量。它与它与截面的几何形状有关，单位为截面的几何形状有关，单位为m3。zIyMmaxmaxmax maxyIWzzzWMmaxmax横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应力力 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即 max引用记号引用记号 则则 8-2 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件第二节 弯曲正应力的强度条件几种常见截面的几种常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面

11、空心矩形截面maxZZyIW 644ZdI323ZdW)1 (6444ZDI)1 (3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就是安全的。因此，是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件梁弯曲时的正应力强度条件为为 zWMmaxmax对于抗拉和抗压强度相等的材料对于抗拉和抗压强度相等的材料 ( (如低碳钢如低碳钢) )，只要绝对值最，只要绝对值最大的正应力不超过许用弯曲应力即可。大的正应力不超过许用弯曲应力即可。对于抗拉和

12、抗压不等的材料对于抗拉和抗压不等的材料 ( (如铸铁如铸铁) )，则最大的拉应力和最，则最大的拉应力和最大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。例：例：20a工字钢梁。若工字钢梁。若 ，试求许可荷载，试求许可荷载 F 。 MPa160FAFB解：解：（1）计算支反力）计算支反力 N3FFFBA（2）作弯矩图）作弯矩图 mN32maxFFaM（3）确定许可荷载）确定许可荷载 zzWFWM32maxmax zWF23N)10160)(10237(2366kN9 .56例：例：T字形截面铸铁梁如图。铸铁许用拉应力字形截面铸铁梁如图。铸铁许用拉应力 =30MPa

13、, 许用压许用压应力应力 =160 MPa。已知中性轴位置。已知中性轴位置 y1 = 52 mm，截面对形心轴，截面对形心轴 z 的惯性矩为的惯性矩为 Iz=763 cm4。试校核梁的强度。试校核梁的强度。tc解：解： 1.1.计算支反力计算支反力 kN5 . 2AFkN5 .10BF2.2.绘弯矩图绘弯矩图 mkN4BMmkN5 . 2CMFBFAmkN4BMmkN5 . 2CM3.3.强度校核强度校核 B截面：截面： C截面：截面： zBIyM1max, t4833m10763m)1088)(mN104(zCIyM2max, t故该梁满足强度条件。故该梁满足强度条件。 tMPa1 .46M

14、Pa8 .284833m10763m)1052)(mN104(MPa3 .27zBIyM2max, cc4833m10763m)1088)(mN105 . 2(tzybh1. 矩形截面梁横截面上的剪应力矩形截面梁横截面上的剪应力(1)(1)假设：假设： 横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。 剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点剪应力大小相等）。点剪应力大小相等）。(2)(2)公式推导公式推导xd x图图ayFs第三节 梁的剪应力和剪应力强度条件0)(11dxbNNXzzAzAIMSydAIMd

15、ANzzISdMMN)(1zzszzbISFbISdxdM1A Zyy由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知bISFzzssFMhdMM ssdFF dx注意注意：Fs为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截为整个横截面对面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b为所求点对应位置为所求点对应位置截面的宽度；截面的宽度； 为所求点对应位置以外为所求点对应位置以外的面积对的面积对Z轴的静矩。轴的静矩。*zS5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩(3) (3) 矩形截面剪应力的分布：矩形截面剪应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz bISFzzs zyhbBsF)

16、2(*yhbA*cymaxsF11 沿截面高度按二次抛物线规律变化；沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力 max在中性轴处在中性轴处( y=0 )；(3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应力为零切应力为零。2. 非矩形截面梁非矩形截面梁圆截面梁圆截面梁剪应力的分布特征：剪应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切切应力分布与应力分布与 y 轴对称；与轴对称；与 y轴相交各点处轴相交各点处的切应力其方向与的切应力其方向与y轴一致。轴一致。)(*SybISFzzy关于其切应力分布的假设：关于其切应力

17、分布的假设：1 1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ；2 2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿宽度相沿宽度相等。等。zyOmaxkkOd最大切应力最大切应力 max 在中性轴处在中性轴处dISFzz*SmaxAFdF34434S2SddddF643242142SzyOmaxkkOdyzOC2d /33. 梁的剪应力强度条件梁的剪应力强度条件 一般一般 maxmax发生在发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压，所在截面的中性轴处。不计挤压，则则 maxmax所在点处于所在点处于纯

18、剪切应力纯剪切应力状态状态。梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 max bISFzz*maxmaxS材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力对等直梁，有对等直梁，有E maxF maxEmml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2弯曲切应力的强度条件弯曲切应力的强度条件 bISQzzmaxmaxmax1 1、校核强度、校核强度2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3 3、确定外荷载。、确定外荷载。 需要校核剪应力的几种特殊情况：需要校核剪应力的几种特殊情况：(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力相应比值时，要校核剪应力(1)梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而 Q 较大时，要校核剪应力较大时，要校核剪应力。(3)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力要校核剪应力。 zWMmaxmax bISQzzmaxmaxmax一、合理安排梁的受力，减小弯矩。一、合理安排梁的受力，减小弯矩。ABF/LMmax = FL / 8P/LMmax =FL / 400.2L