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文档简介

1、随机游动设一个粒子在直线上做随机游动,每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置,则1 /( )()ttX tx XXD D其中1i 1i1(1)(1),()0,var()12iiiiiiXXP XP XE XX 如果第 步向右,相互独立如果第 步向左问:要令Dt和Dx趋于零,X(t)将会具有哪些性质?第1页/共45页首先来看1 /221 /( )()0( )()()() ( /)ttttE X tEx XXVar X tx Var XXxttDDD D DD因此,32,0( )0,( )0a.s.() ,0, ( ),0, ( )txtVar X tX t

2、txtVar X txttVar X ttD DD D DD D DD 若取令,则从而 ,若取令则若取令则第2页/共45页容易证明:(1)X(t)服从均值为0,方差为2t的正态分布;(2)X(t),t0有独立增量(3) X(t),t0有平稳增量第3页/共45页Brown运动的定义随机过程B(t),t0如果满足(1)B(0)0 ;(2)B(t),t0有平稳独立增量;(3) 对每个t0,B(t) 服从正态分布N(0,2t).则称B(t),t0为布朗运动,也称为wiener过程。如果1,则称为标准布朗运动。注:第(1)条并不是必须的。如果B(0)x,则称B(t),t0为始于x的布朗运动,记为Bx(t

3、) 。第4页/共45页Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程B(t), t0:(1)正态增量性:(2)独立增量性:B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u), 0us。(3)路径的连续性: B(t)是t的连续函数。( )( ) (0,), B tB sNtsts第5页/共45页Brown的分布性质22/2() /20( 1 ) ( ) (0, ), 1 ( )2 ( ) ( , ), 1 ()2( )xttxy xttdxB tNtf xetB tN x tf yxetBB tx它的密度函数为它的密度函数为空间齐次性第6页/共45页t,0,0, (|) (|)(,

4、0)tt stt stuX tPs tyRP XyP Xy XXut称随机过程是一族定义在( , )上的马氏过程,如果对任意及任意均有其中FFF定义:定义:连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下,过程在时刻t的分布函数( , , , )( )|( )P y t x sP X ty X sxBrown的马氏性第7页/共45页2()( )()( )( )()( )( )2( )()( )(|)(|) ()() (|) uB t suB tu B t sB tttuB tu B t sB tu tuB tuB tu B t sB ttE eFeE eFeE eeeeE eBB

5、rown运动满足马氏性,采用条件期望证明如下独立增量性)() (|)uB t stE eF第8页/共45页在Brown运动的情况下,转移概率是正态的()2()( , , , )( ( )|( )( ( )( )12 ()u xyt sP y t x sP B ty B sxP B tB syxeduts转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0 ),即( ( )|( )( ()|(0)P B ty B sxP B tsy Bx这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.第9页/共45页2()2( )()( , ),1 ( , ) ()2( , )sty xt

6、tttB sxB tsp x yp x yef yxtp x y已知,的条件密度记为因此,与 无关。2/2(3)( )() ()|( ) ()( )12y xutB sxB tsP B tsy B sxP B tsB syxedut已知,的条件分布第10页/共45页1111111111 ( ), ( ) ( )|( ),11 ( ),11 ( )|() ()|( ),12 ( ),12 ( )|() ()|(nnnniiiinnnnnniiiinnnnnnnP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB txinP B txinP B txB t

7、xP B txB t 12121122221111111221) ( )|( ) ( ( )(0,)( ,)(,)nnnnxxxtttttnnnxP B txB tx P B txpy dypx y dypxy dy第11页/共45页有限维分布密度112111211, ,111211211( ,)(0,)( ,)(,)()()()nnnnnttntttttnntttttnnfxxpx px xpxxfxfxxfxx第12页/共45页注:由有限维分布,可以计算任何想求的条件概率。例如,求给定B(t)=y时,B(s),ss,则E(B(t)B(s)=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任

8、意有限维分布都是多元正态分布。(5) B(t),t0是均值函数为m(t)=0, 协方差函数(s,t)=min(s,t)高斯过程。?第15页/共45页下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1t2,B(t1)N(0,t1), B(t2) N(t2),Cov(B(t1), B(t2) )=t1,则利用正态分布的性质111212( ( ), ( ) ( ,),(0,0),ttB tB tNtt 利用数学归纳法可以证明(B(t1), B(t2),B(tn)服从多元正态分布。第16页/共45页例:设B(t),t0是标准布朗运动,1、求P(B(2)0)和P(B(t)0,t0,1,2)

9、。2、求B(1)+ B(2)+ B(3)+ B(4)的分布。3、1112( )( )( )( )6323BBBB求的分布。第17页/共45页解:1、011(2) (0,2), ( (2)0)2( (1)0, (2)0)( (1)0, (1)(2)(1)0) ( (1)0, (2)(1)(1) ( (2)(1) ( ) BNP BP BBP BBBBP BBBBP BBx f x dx 由于所以01100112 () ( ) ( )()( )( )3 8x f x dxx fx dxx dxydy 由条件期望的性质由积分的变量替换公式第18页/共45页2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B

10、(3),B(4),由定理7.2可知,X是多元正态分布,具有零均值和协方差矩阵令A=(1,1,1,1),则1111122212331234 1234(1)(2)(3)(4)AXXXXXBBBB是均值为0,方差为AA30的正态分布。请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少?第19页/共45页Brown 运动的鞅性定理1)B(t)是鞅;2)B(t)2t是鞅;3)对任何实数u, 是鞅。2exp( )2uuB tt第20页/共45页1)的证明 可积性。由Brown运动的定义,B(t)N(0, t), 所以B(t)可积,且EB(t)=0. 鞅性 ()| ( )()( )| ( )| ()( )| ( )

11、()( ) ( )ttttE B tsE B tB tsB tE B tE B tsB tB tE B tsB tB tFFFF2)和3)的证明参见教材P165第21页/共45页2)的证明:由于E(B2(t)=t=0使得是连续鞅,则是brown运动。222()() |( )()( )tEBtstsFsB ttsB tt2( ),0X tt t第23页/共45页(3) 由于B(t)N(0,t),由正态分布的矩母函数知这说明 可积,并且 2( )/2()B t utuE ee ( )B t ue( )B t ue2( )2()1uuB ttE e第24页/共45页由于布朗运动具有独立增量性,对任何

12、函数g(x)有,令 则 ( )xug xe()()()( ) |()( )tE g B tsB tFE g B tsB t()2()( )( )()()( )( )()( )( )( )2(|)(|) (|) u B t sB tB tuB t sttu B t sB tuB ttu B t sB tuB tusuB tE eFE eFeE eFeE eee第25页/共45页 将上式两边同时乘以 2()2ut se2222()()()( )( )2222(|)uuuut sst stuB t suB tuB ttE eeFeeeee第26页/共45页Brown运动的路径性质(1)B(t),t0

13、是t的几乎处处连续函数;(2)在任何区间(无论区间有多小)都不是单调的;(3)几乎处处不可微;(4)在任何区间(无论区间有多小)都是无限变差的,例:在区间0,t上的变差(5)对任何t,在0,t上的二次变差等于t,即在几乎处处收敛的意义下12100lim ()( ), . . , ( ), . .nnnniiiB tB tt aeB B tt ae通常记为110010 lim|()( )| max()nnnniiinnniiii nB tB tttt n这里是0,t上的分割,第27页/共45页(3)的简要证明:由Brown运动的性质知22()( )1B thB thEhhh取极限得20()( )

14、limhB thB tEh 假设B(t)是可微的,其导数为B(t)存在,则20()( )lim( )0hB thB tEB th从而220()( )lim( )hB thB tEE B th与(1)式矛盾(1)第28页/共45页(4)的证明:利用有界变差函数几乎处处可导的性质(证明参见实变函数论徐森林著,P319)即可得证。第29页/共45页01210112110042 , ()( ) () ()( )()4E(X )=3(| )() nniinnnnnniiinnnnnnniiiiiinntSB tB tE SE B tB ttttE StVar SV 取区间0,t的分割使得记则再由标准正态

15、分布的 阶矩公式()得1122110012110( ()( ) )( ()( ) 3()3max()3nnnnnniiiiiinnnnniiiiniarB tB tVar B tB ttttttt证明 (5)第30页/共45页取n使得 则 ,12121 () (- ) ) (- ). ., . ., , ( ).nnnnnnnnnVar StEStSta sSta sB B tt 由单调收敛定理,得因此,于是(n)故1nni 第31页/共45页例:求概率解:首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径,即对每个w,B(t)(w)是t的几乎处处连续函数,因此Rieman积分 存在。因此随

16、机变量 是有意义的。 下面来求 的分布。由Rieman积分的定义知,102( )3PB t dt 10( )( )B tdtw10( )B t dt10( )B t dt10|0011 ( )lim( )010 1,| maxniiniiiniB t dtB tttttttttD DD DD+是 , 上的一个划分,第32页/共45页其中每个求和项都是均值为0的正态分布,因此 是均值为零的正态分布。下面计算 的方差。10( )B t dt10( )B t dt111000110011001100var( )cov( ),( ) ( )( ) ( ) ( ) cov ( ), ( ) minB t

17、 dtB t dtB s dsEB t dtB s dsE B t B s dtdsB tB s dtds 1100( , )t s dtds 第33页/共45页1110001100var( )min( , )1 ()3ttB t dtt s dtdssdstds dt 因此, ,101( )(0, )3B t dtN11002( ) 3( )23 1(2)0.025PB t dtPB t dt 第34页/共45页Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻,即inf0:( )xTtB tx下面计算PTxt。1、对于x0,若Txt,则B(t)在0, t内的某个点击中x,由于

18、对称性,显然有1( ( )|)( ( )|)2xxP B tx TtP B tx Tt第35页/共45页因此,由全概率公式 ( ) ( )| ( )| xxxxP B txP B tx Tt P TtP B tx Tt P Tt因为x0,由Brown运动的连续性,B(t)不可能还未击中x,就大于x,因此上式的第二项为零。于是22/2/2/2 ( )22 22xytyxxtP TtP B txedyedyt第36页/共45页对于x0, 根据Brown运动的连续性第40页/共45页 利用类似的方法,可以得到Brown运动的最小值的分布为0( )min( )s tm tB s 2/2/02(min( )(),02yxxts tPB sxP Ttedy x 证明做习题。第41页/共45页Brown运动的零点定义:如果时间t使得B(t)=0,则称t是Brown运动的零点。下面计算PB(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点的概率。对B(t1)取条件得21211B(t)1B(t)( )2xtPPB tx edxt1212在区间(t ,t )至少有一个零点在区间(t ,t )至少有一个零点|第42页/共45页所以1| |21B(t)( )xPB txP Ttt12在区间(t ,t )至少有一个零点|因此

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