随机过程十四布朗运动PPT课件

1、随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置，则1 /( )()ttX tx XXD D其中1i 1i1(1)(1),()0,var()12iiiiiiXXP XP XE XX 如果第 步向右，相互独立如果第 步向左问：要令Dt和Dx趋于零，X(t)将会具有哪些性质？第1页/共45页首先来看1 /221 /( )()0( )()()() ( /)ttttE X tEx XXVar X tx Var XXxttDDD D DD因此，32,0( )0,( )0a.s.() ,0, ( ),0, ( )txtVar X tX t

2、txtVar X txttVar X ttD DD D DD D DD 若取令，则从而 ，若取令则若取令则第2页/共45页容易证明：（1）X(t)服从均值为0，方差为2t的正态分布；（2）X(t),t0有独立增量（3） X(t),t0有平稳增量第3页/共45页Brown运动的定义随机过程B(t),t0如果满足（1）B(0)0 ；（2）B(t),t0有平稳独立增量;（3） 对每个t0，B(t) 服从正态分布N(0,2t).则称B(t),t0为布朗运动，也称为wiener过程。如果1，则称为标准布朗运动。注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)x，则称B(t),t0为始于x的布朗运动，记为Bx(t

3、) 。第4页/共45页Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程B(t), t0：（1）正态增量性：（2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u), 0us。（3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。( )( ) (0,), B tB sNtsts第5页/共45页Brown的分布性质22/2() /20( 1 ) ( ) (0, ), 1 ( )2 ( ) ( , ), 1 ()2( )xttxy xttdxB tNtf xetB tN x tf yxetBB tx它的密度函数为它的密度函数为空间齐次性第6页/共45页t,0,0, (|) (|)(,

4、0)tt stt stuX tPs tyRP XyP Xy XXut称随机过程是一族定义在（ ， ）上的马氏过程，如果对任意及任意均有其中FFF定义：定义：连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数( , , , )( )|( )P y t x sP X ty X sxBrown的马氏性第7页/共45页2()( )()( )( )()( )( )2( )()( )(|)(|) ()() (|) uB t suB tu B t sB tttuB tu B t sB tu tuB tuB tu B t sB ttE eFeE eFeE eeeeE eBB

5、rown运动满足马氏性,采用条件期望证明如下独立增量性）() (|)uB t stE eF第8页/共45页在Brown运动的情况下，转移概率是正态的()2()( , , , )( ( )|( )( ( )( )12 ()u xyt sP y t x sP B ty B sxP B tB syxeduts转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0 )，即( ( )|( )( ()|(0)P B ty B sxP B tsy Bx这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.第9页/共45页2()2( )()( , ),1 ( , ) ()2( , )sty xt

6、tttB sxB tsp x yp x yef yxtp x y已知，的条件密度记为因此，与 无关。2/2(3)( )() ()|( ) ()( )12y xutB sxB tsP B tsy B sxP B tsB syxedut已知，的条件分布第10页/共45页1111111111 ( ), ( ) ( )|( ),11 ( ),11 ( )|() ()|( ),12 ( ),12 ( )|() ()|(nnnniiiinnnnnniiiinnnnnnnP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB txinP B txinP B txB t

7、xP B txB t 12121122221111111221) ( )|( ) ( ( )(0,)( ,)(,)nnnnxxxtttttnnnxP B txB tx P B txpy dypx y dypxy dy第11页/共45页有限维分布密度112111211, ,111211211( ,)(0,)( ,)(,)()()()nnnnnttntttttnntttttnnfxxpx px xpxxfxfxxfxx第12页/共45页注：由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B(t)=y时，B(s)，ss，则E(B(t)B(s)=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任

8、意有限维分布都是多元正态分布。(5) B(t),t0是均值函数为m(t)=0, 协方差函数(s,t)=min(s,t)高斯过程。?第15页/共45页下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1t2，B(t1)N(0,t1), B(t2) N(t2)，Cov(B(t1), B(t2) )=t1，则利用正态分布的性质111212( ( ), ( ) ( ,),(0,0),ttB tB tNtt 利用数学归纳法可以证明(B(t1), B(t2),B(tn)服从多元正态分布。第16页/共45页例：设B(t),t0是标准布朗运动，1、求P(B(2)0)和P(B(t)0，t0,1,2)

9、。2、求B(1)+ B(2)+ B(3)+ B(4)的分布。3、1112( )( )( )( )6323BBBB求的分布。第17页/共45页解：1、011(2) (0,2), ( (2)0)2( (1)0, (2)0)( (1)0, (1)(2)(1)0) ( (1)0, (2)(1)(1) ( (2)(1) ( ) BNP BP BBP BBBBP BBBBP BBx f x dx 由于所以01100112 () ( ) ( )()( )( )3 8x f x dxx fx dxx dxydy 由条件期望的性质由积分的变量替换公式第18页/共45页2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B

10、(3),B(4),由定理7.2可知，X是多元正态分布，具有零均值和协方差矩阵令A=(1,1,1,1),则1111122212331234 1234(1)(2)(3)(4)AXXXXXBBBB是均值为0，方差为AA30的正态分布。请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少？第19页/共45页Brown 运动的鞅性定理1)B(t)是鞅；2)B(t)2t是鞅；3)对任何实数u， 是鞅。2exp( )2uuB tt第20页/共45页1）的证明 可积性。由Brown运动的定义，B(t)N(0, t), 所以B(t)可积，且EB(t)=0. 鞅性 ()| ( )()( )| ( )| ()( )| ( )

11、()( ) ( )ttttE B tsE B tB tsB tE B tE B tsB tB tE B tsB tB tFFFF2）和3）的证明参见教材P165第21页/共45页2）的证明：由于E(B2(t)=t=0使得是连续鞅，则是brown运动。222()() |( )()( )tEBtstsFsB ttsB tt2( ),0X tt t第23页/共45页(3) 由于B(t)N(0,t),由正态分布的矩母函数知这说明 可积，并且 2( )/2()B t utuE ee ( )B t ue( )B t ue2( )2()1uuB ttE e第24页/共45页由于布朗运动具有独立增量性，对任何

12、函数g(x)有，令 则 ( )xug xe()()()( ) |()( )tE g B tsB tFE g B tsB t()2()( )( )()()( )( )()( )( )( )2(|)(|) (|) u B t sB tB tuB t sttu B t sB tuB ttu B t sB tuB tusuB tE eFE eFeE eFeE eee第25页/共45页 将上式两边同时乘以 2()2ut se2222()()()( )( )2222(|)uuuut sst stuB t suB tuB ttE eeFeeeee第26页/共45页Brown运动的路径性质（1）B(t),t0

13、是t的几乎处处连续函数；（2）在任何区间（无论区间有多小）都不是单调的；（3）几乎处处不可微；（4）在任何区间（无论区间有多小）都是无限变差的，例：在区间0,t上的变差（5）对任何t，在0,t上的二次变差等于t，即在几乎处处收敛的意义下12100lim ()( ), . . , ( ), . .nnnniiiB tB tt aeB B tt ae通常记为110010 lim|()( )| max()nnnniiinnniiii nB tB tttt n这里是0,t上的分割，第27页/共45页（3）的简要证明：由Brown运动的性质知22()( )1B thB thEhhh取极限得20()( )

14、limhB thB tEh 假设B(t)是可微的，其导数为B(t)存在，则20()( )lim( )0hB thB tEB th从而220()( )lim( )hB thB tEE B th与（1）式矛盾（1）第28页/共45页（4）的证明：利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见实变函数论徐森林著，P319）即可得证。第29页/共45页01210112110042 , ()( ) () ()( )()4E(X )=3(| )() nniinnnnnniiinnnnnnniiiiiinntSB tB tE SE B tB ttttE StVar SV 取区间0,t的分割使得记则再由标准正态

15、分布的 阶矩公式()得1122110012110( ()( ) )( ()( ) 3()3max()3nnnnnniiiiiinnnnniiiiniarB tB tVar B tB ttttttt证明 (5)第30页/共45页取n使得 则 ,12121 () (- ) ) (- ). ., . ., , ( ).nnnnnnnnnVar StEStSta sSta sB B tt 由单调收敛定理，得因此，于是（n）故1nni 第31页/共45页例：求概率解：首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径，即对每个w，B(t)(w)是t的几乎处处连续函数，因此Rieman积分 存在。因此随

16、机变量 是有意义的。 下面来求 的分布。由Rieman积分的定义知，102( )3PB t dt 10( )( )B tdtw10( )B t dt10( )B t dt10|0011 ( )lim( )010 1,| maxniiniiiniB t dtB tttttttttD DD DD+是 ， 上的一个划分，第32页/共45页其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此 是均值为零的正态分布。下面计算 的方差。10( )B t dt10( )B t dt111000110011001100var( )cov( ),( ) ( )( ) ( ) ( ) cov ( ), ( ) minB t

17、 dtB t dtB s dsEB t dtB s dsE B t B s dtdsB tB s dtds 1100( , )t s dtds 第33页/共45页1110001100var( )min( , )1 ()3ttB t dtt s dtdssdstds dt 因此， ，101( )(0, )3B t dtN11002( ) 3( )23 1(2)0.025PB t dtPB t dt 第34页/共45页Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻，即inf0:( )xTtB tx下面计算PTxt。1、对于x0，若Txt，则B(t)在0, t内的某个点击中x，由于

18、对称性，显然有1( ( )|)( ( )|)2xxP B tx TtP B tx Tt第35页/共45页因此，由全概率公式 ( ) ( )| ( )| xxxxP B txP B tx Tt P TtP B tx Tt P Tt因为x0，由Brown运动的连续性，B(t)不可能还未击中x，就大于x，因此上式的第二项为零。于是22/2/2/2 ( )22 22xytyxxtP TtP B txedyedyt第36页/共45页对于x0, 根据Brown运动的连续性第40页/共45页 利用类似的方法，可以得到Brown运动的最小值的分布为0( )min( )s tm tB s 2/2/02(min( )(),02yxxts tPB sxP Ttedy x 证明做习题。第41页/共45页Brown运动的零点定义：如果时间t使得B(t)=0，则称t是Brown运动的零点。下面计算PB(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点的概率。对B(t1)取条件得21211B(t)1B(t)( )2xtPPB tx edxt1212在区间(t ,t )至少有一个零点在区间(t ,t )至少有一个零点|第42页/共45页所以1| |21B(t)( )xPB txP Ttt12在区间(t ,t )至少有一个零点|因此