零基础线性代数基础班讲义1

1、ch1 行列式1. 二阶行列式（1）用消元法求解二元一次方程组，从解的形式中引入二阶行列式（2）定义：是一个算式，形式，元素，行，列，主对角线与次（副）对角线，算法口诀。注：可推广到更高阶的行列式。例 13516（3）用二阶行列式来表示所给二元一次方程组的解，并分析规律。该规律推广便是克莱姆（ cramer）法则。例 2 解方程组121235214729xxxx2. 三阶行列式（1）从三元一次方程组的解的形式中引入三阶行列式（2）定义：相关概念同二阶行列式，算法遵循对角线法则（记忆方法）。注：特点是来自不同行不同列元素乘积的代数和。例 3 abcbcacab（3）寻找项数的奥秘。?观察每一项行

2、标的变化：1,2,3 ?观察每一项的列标变换：1,2,3 2,3,1 3,1,2 3,2,1 1,3,2 2,1,3 发现规律： 列标构成了 1,2,3 的全排列，共 3！种，3！正好是三阶行列式展开式的项数。（4）寻找符号的奥秘。为什么三阶行列式展开式中有的项是正的，而有的项是负的？这与排列的逆序数有关。? 排列的逆序数? 求出三阶行列式中各项列标的逆序数（奇排列与偶排列）? 揭示各项符号的奥秘3. n 阶行列式（1）定义：来源于行列式的项数与符号的规律（2）记忆： n 阶行列式等于来自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和。特点： 每一项行标按自然数的顺序排列，列标的逆序数决定着该项的符号。

3、（3）结论：?1212.nnaaa aaa例 412_.34?1(1)221 21.n nnnbbb bbb例 5 12_.3?112212*,*nnnaaaaa aaaa11(1)22212*1.*n nnnnbbbbb bbbb例 6 297800030111310050_,_.00370137000441193154例 7 请写出五阶行列式的展开式中含有411352a a a且带正号的项。用定义来计算复杂一点的高阶行列式是无聊且繁琐的，进一步寻找规律是关键。4. 余子式与代数余子式（1）引入：回到三阶行列式的定义式中，按第一行的元素提取公因式，找到 规律。此规律可推广到更高阶行列式。（2

4、）余子式? 定义?3111112121313da ma ma m（3）代数余子式? 定义?3111112121313da aa aa a （美感十足 ） ，称为三阶行列式按第一行展开。（4）重要结论? 行列式可按任何一行（列）展开。? 元素的代数余子式与该元素的大小无关，只与该元素的位置有关。例 8 按下列要求计算行列式130004.115（1） 按第一行展开计算（2） 按第 3 列展开计算（3） 按第二行展开计算注：按含零较多的行或者列展开计算更容易。例 9 已知41102211303021050d，用一个四阶行列式表示下列各式之和：（1）1112131423aaaa（2）132333433

5、2mmmm5行列式的性质（1）行列式的转置与原行列式相等。意义：对行成立的性质对列也成立举例说明（2）行列式中互换两行（列） ，行列式要变号。例 10 已知111213212223313233aaadaaaaaa，313233111213212223aaadaaaaaa，则,d d有何关系？推论：行列式中有两行（列）的元素对应相等，则其值为零。（？）（3）行列式中某行（列）的元素与另一行（列）元素对应的代数余子式乘积之和为零。（原因？见例 9（1） ）（4）行列式可按行（列）提取公因式。举例说明推论： ?行列式中某行或列元素全为零，则其值为零。? 行列式中有两行或两列对应元素成比例，则其值为零

6、。（5）行列式中若有一行（列）为两数之和的形式，则可将行列式按下例的方式拆分为两个行列式之和的形式。如111121311121311213212222321222322223313323331323333233abaaaaabaaabaaaaabaaabaaaaabaa（6）将行列式某行（列）的元素分别乘以常数k 加至另一行（列）对应元素上行列式的值不变。 （由性质（ 4）和（ 5）可以推出（ 6） ）意义： 利用该性质可以将行列式某行 （列） 化出更多的零来，再按照该行（列）展开，达到轻松降阶的目的。例 11 计算11122113.0332d-10-20注：这就是例 9（2）的结果。6. 克莱姆法则（1）定义（上面提到的二元一次方程组解的形式的推广）