高等数学课件：2-6函数的微分

1、 2 21 1 导数的概念导数的概念 2 22 2 函数的求导法则函数的求导法则 2 23 3 高阶导数高阶导数 2 24 4 隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数2 25 5 导数的简单应用导数的简单应用2 26 6 函数的微分函数的微分2.6 2.6 函数的微分函数的微分一、微分的定义一、微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、微分基本公式三、微分基本公式四、微分的运算法则四、微分的运算法则五、微分的简单应用五、微分的简单应用一、微分的定义一、微分的定义实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA

2、 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算

3、又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :1 1. 是否对于所有函数，是否对于所有函数，y都可以表示为都可以表示为x的的线性函数线性函数 A x与与x的高阶无穷小的和的高阶无穷小的和?)( xoxAy 2. 如何求如何求x的系数的系数 A ?.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)

4、4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA (5)().xydy 当很小时,线性主部当很小时,线性主部可微的条件可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理1证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性0().Afx 可可导导可可微微. .由定理由定理1有有),()(0 xxxfy 从而从而,)(

5、0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx 0 (0),x ),()(0 xoxxf 00( ),().f xxfxA函数在点可微且例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy.,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0

6、 例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 二、微分的几何意义二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 Q三、微分基本公式三、微分基本公式基本初等函数

7、的微分公式基本初等函数的微分公式122( )0()(sin )cos(cos )sin(tan )sec(cot )csc(sec )sectan(csc )csccotd Cd xxdxdxxdx dxxdxdxxdx dxxdxdxxxdx dxxxdx dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(arc11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 1.微分的四则运算法则微分的四则运算法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduv

8、ud 四、微分的运算法则四、微分的运算法则例例3 3解解1 3cos ,.xyexdy 设求设求)(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 2.2.复合函数的微分法则复合函数的微分法则-一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若(2),( ),xtxg t 若若 是是中中间间变变量量时时即即另另一一变变量量 的的可可微微函函数数则则),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数.)(dxxfdy 结论

9、结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性dxxfdy)( ,;,()(0)xdxxxxdxott 若若 是是自自变变量量时时若若 是是中中间间变变量量时时则则注注意意例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx cos()sin()axaxebxd bxbx edaxdxaebxbdxbxeaxax)(sincos .

10、)sincos(dxbxabxbeax (sin)sin()axaxdyedbxbx d e例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 例例7 7 设由设由 确定确定y为为x的函数的函数, ,求求dy. .22lnarct

11、anyxxy 解解2222)(11)(arctanyxydxxdyxydxxdyxyxyd 2222222221)(lnyxydyxdxyxydyxdxyxd 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性, ,有有)(ln)(arctan22yxdxyd xdyydxxdxydyxydydxxy()()xy dyxy dx1 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值, 0)()(00很很小小时时且且处处的的导导数数在在点点若若xxfxxfy 例例8 8?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆

12、圆片片加加热热后后半半径径解解.)(0 xxf 00 xxxxdyy 五、微分的简单应用五、微分的简单应用,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rr05. 0102 ).(2厘米厘米 2A dArr 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值;)().10附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例9 9.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx;0)().2附附近近的的近近似似值值在在

13、点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例1010.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解

14、解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 小结小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.且且的的线线性性函函数数是是而而微微分分处处的的导导数数是是一一个个定定数数在在点点函函数数,)(),()(. 1000 xxxfdyxfxxf xxfdyxx )(limlim000. 0 导数与微分的区别导数与微分的区别:导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.)()(,. 300而而得得到到的的主主部部是是从从函函数数增增量