数学分析教案_(华东师大版)第一章实数集与函数

1、学习必备欢迎下载第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2学时 )一、数学分析 (mathematical analysis)简介 :1. 背景 : 从切线、面积、计算 sin 32 、实数定义等问题引入 .2. 极限 ( limit ) 变量数学的基本运算：3. 数学分析的基本内容： 数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数 . 主要研究微分 (differential)和积分 (integration)两种特殊的极限运算 ,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数 .数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学

2、分析与微积分 (calculus)的区别 .二、数学分析的形成过程：1. 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想 . 纪元前三世纪 , Archimedes 就有了积分思想 .2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期 , 是微积分思想的发展、成果的积累时期 .3. 十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 微积分的创建时期 .4. 十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点 :学习必备欢迎下载逻辑性很强 , 很细致 , 很深刻 ;先难后易 , 是说开头四章有一定的难度 ,倘能努力学懂前四章 ( 或前四章的),后面的学习就会容易一些 ; 只要在课堂上专心听讲 ,

3、一般是可以听得懂的,但即便能听懂 , 习题还是难以顺利完成 . 这是因为数学分析技巧性很强 ,只了解基本的理论和方法 , 不辅以相应的技巧 , 是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的 , 也是重要的内容之一 , 也是最难的内容之一 .一般懂得了证明后 , 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来， 似乎是更难的一件事 . 因此 , 理解证明的思维方式 , 学习基本的证明方法 , 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式 , 是数学分析教学贯穿始终的一项任务 .有鉴于此 , 建议的学习方法是 : 预习 , 课堂上认真听讲 , 必须记笔记 , 但要注意以听为主 , 力争在课堂

4、上能听懂七、八成 . 课后不要急于完成作业 , 先认真整理笔记 , 补充课堂讲授中太简或跳过的推导 , 阅读教科书 , 学习证明或推导的叙述和书写 . 基本掌握了课堂教学内容后 , 再去做作业 . 在学习中 , 要养成多想问题的习惯 .四、课堂讲授方法 :1. 关于教材及参考书 : 这是大学与中学教学不同的地方 , 本课程主要从以下教科书中取材 :1 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；2 刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社， 1992；3 谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社， 2003；4 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版

5、社， 1999；5 林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社， 2003.2. 本课程按 1 的逻辑顺序并在其中取材 . 本课程为适应教学改革的要求， 只介绍数学分析最基本的内容， 并加强实践环节， 注重学生的创新能力的培养。 带学习必备欢迎下载星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3. 内容多 , 课时紧 : 大学课堂教学与中学不同的是 , 这里每次课介绍的内容很多 , 因此 , 内容重复的次数少 , 讲课只注重思想性与基本思路 , 具体内容或推导 , 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算 , 可能讲得很简 , 留给课后的学习任务一般很重 .4. 讲解的

6、重点 : 概念的意义与理解 , 几何直观 , 理论的体系 , 定理的意义、条件、结论 . 定理证明的分析与思路 , 具有代表性的证明方法 , 解题的方法与技巧 .某些精细概念之间的本质差别.五. 要求、辅导及考试：1. 学习方法 : 尽快适应大学的学习方法 , 尽快进入角色 . 课堂上以听为主 ,但要做课堂笔记 . 课后一定要认真复习消化 , 补充笔记 . 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3 。对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说 , 课堂听讲的内容应该更为丰富 : 要认真评价教师的课堂教学 , 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验 . 这对未来的教学工作是很有用的 .2.

7、 作业 : 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容 . 大体上每周收一次作业 , 一次收清 . 每次重点检查作业总数的三分之一 . 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记 , 缺交作业将直接影响学期总评成绩 . 作业要按数学排版格式书写工整 .3. 辅导 : 大体每周一次 , 第一学期要求辅导时不缺席 .4. 考试 : 按教学大纲的要求 , 只以最基本的内容进行考试 , 大体上考课堂教学和所布置作业的内容 , 包括 1 中的典型例题 . 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多 .第一章实数集与函数学习必备欢迎下载教学目的：1. 使学生掌握实数的概念， 建立起实数集确界的清晰概念； 2.

8、使学生深刻理解函数的概念， 熟悉与函数性态有关的一些常见术语。 要求学生： 理解并熟练运用实数的有序性、 稠密性与封闭性； 掌握邻域的概念； 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式； 理解实数确界的定义及确界原理， 并在有关命题证明中正确地加以应用； 深刻理解函数的定义以及复合函数、 反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义， 熟悉函数的各种表示方法； 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。教学重点： 函数、确界的概念及其有关性质。教学时数： 10 学时§ 1 实数 （2 学时）教学目的： 使学生掌握实数的基本性质教学重点：1

9、. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点： 实数集的概念及其应用教学方法： 讲授（部分内容自学）一复习引新：1. 实数集：回顾中学中关于实数集的定义.2. 四则运算封闭性 :学习必备欢迎下载3. 三歧性 ( 即有序性 ):4.Rrchimedes 性 :5. 稠密性 : 有理数和无理数的稠密性 , 给出稠密性的定义 .6. 实数集的几何表示 数轴 :7. 两实数相等的充要条件 :8. 区间和邻域 :二.讲授新课：（一） .几个重要不等式 :1.绝对值不等式 :定义1P3的六个不等式.2.其他

10、不等式:均值不等式:对记(算术平均值几何平均值调和平均值 )学习必备欢迎下载有平均值不等式 :等号当且仅当时成立 . Bernoulli不等式 : ( 在中学已用数学归纳法证明过 )有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项 .作业： （）（）、（）§ 2数集确界原理（4 时）教学目的 ：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：1. 掌握邻域的概念；2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点 ：确界的概念及其有关性质（确界原理） 。教学难点 ：确界的定义及其应用。学习必备欢

11、迎下载教学方法 ：讲授为主。一、区间与邻域二、有界数集与确界原理:1.有界数集 :定义 ( 上、下有界 ,有界 ) ， 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集 .无界数集 :定义 ,等都是无界数集 ,集合也是无界数集 .2. 确界 : 给出直观和刻画两种定义 .例1则则例 2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的 .例 3设和是非空数集，且有则有.例 4设和是非空数集 . 若对和都有则有证是的上界,是的下界,学习必备欢迎下载例 5和为非空数集 ,试证明:证有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界 ,又的下界就是的下界 ,是的下界 ,是的下界 ,同理有于是有.综上,有.3. 数

12、集与确界的关系 : 确界不一定属于原集合 . 以例 1为例做解释.4. 确界与最值的关系 : 设 为数集 . 的最值必属于 , 但确界未必 , 确界是一种临界点 .非空有界数集必有确界 ( 见下面的确界原理 ),但未必有最值 .若存在 ,必有对下确界有类似的结论 .三、确界原理 :Th1.1( 确界原理 )设 S 为非空数集。若 S 有上界，则 S 必有上确界；若 S 有下界，则 S 必有下确界。作业：；§3函数概念(2学时)学习必备欢迎下载教学目的 ：使学生深刻理解函数概念。教学要求 ：1. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；2. 牢记

13、基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点 ：函数的概念。教学难点 ：初等函数复合关系的分析。一、函数 :1. 函数 : 1P10 11 的四点说明 .2. 定义域 : 定义域和存在域 .3. 函数的表示法 :4. 反函数 :一一对应 , 反函数存在定理 .5. 函数的代数运算 :二、分段函数 :以函数和为例介绍概念 .例 1去掉绝对值符号 .例 2求例3设求(答案为8)三、函数的复合 :学习必备欢迎下载例4求并求定义域 .例 5 则A.B.C.D.4P407 E62.四、初等函数 :1. 基本初等函数 :2. 初等函数 :3.初等函数的几个特例 :设函数和都是初等函数 ,则是初等函数 ,因为和都是初等函数 ,因为,.幂指函数是初等函数 , 因为学习必备欢迎下载作业：P153；4.(2)(3)； 5. (2)； 7: (3)；11§ 4 具有某些特性的函数( 2 学时 )教