数列通项公式求法大全(配练习及答案)

1、优秀教案欢迎下载数列通项公式的十种求法一、公式法ana1(n1)ddna1d( nN * )n 1a1n*ana1 qq (nN )二、累加法an 1anf ( n)例 1已知数列 an 满足 an 1 an2n1， a11 ，求数列 an 的通项公式。a n2n例 2已 知 数 列 an 满 足 an 1an2 3n1， a13 ， 求 数 列 an 的 通 项 公 式 。（ an 3n n 1. ）三、累乘法an 1f (n)an例 3已知数列 an 满足 an 12( n1)5nan， a13，求数列 an 的通项公式。3 2n 1n (n1)（ an5 2n!. ）评注：本题解题的关键

2、是把递推关系an 12(n 1)5nan 转化为 an 12(n 1)5n ，进而求an出 anan 1a3a2 a1 ，即得数列 an 的通项公式。an1 an 2a2a1例 4 已知数列 an 满足 a1 1， ana12a2 3a3(n 1)an 1(n2) ，求 an 的通项n!. ）公式。（ an2优秀教案欢迎下载评注：本题解题的关键是把递推关系式an1( n1)an (n2) 转化为an 1n1(n 2) ，an进而求出anan 1a3 a2 ，从而可得当 n2时， an 的表达式，最后再求出数列 an 的an 1an 2a2通项公式。四、待定系数法an 1pan qan 1pan

3、f nan2pan 1 qan（其中 p，q 均为常数）。例 5已 知 数 列 an 满 足 an 12an3 5n ， a16 ， 求 数 列 an的通项公式。（ an2n15n ）评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n 转化为 an 15n 12(an 5n ) ，从而可知数列 an 5n 是等比数列，进而求出数列 an5n 的通项公式，最后再求出数列 an 的通项公式。例 6已知数列 an 满足 an 13an52n4， a11，求数列 an 的通项公式。（ an133n 152n2 ）评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an 13an52n

4、4 转 化 为an 1 5 2n 123(an 5 2n2) ，从而可知数列 an 5 2n2 是等比数列，进而求出数列 an 52n2 的通项公式，最后再求数列 an 的通项公式。例 7已知数列 n 满足 an 12an 3n24n 5， a11，求数列n的通项公式。a a （ an2n 43n2 10 n 18 ）评注：本题解题的关键是把递推关系式an 12an3n24n 5 转化为an 13(n1)210(n 1) 18 2( an3n210 n18)，从而可知数列优秀教案欢迎下载 an3n210n18 是等比数列， 进而求出数列 an3n210n18 的通项公式， 最后再求出数列 an

5、 的通项公式。五、递推公式为 Sn 与 an 的关系式 (或 Snf ( an ) )解法：这种类型一般利用anS1(n1)SnSn 1( n2)例 8 已知数列an前 n 项和 Sn4an11 与 an 的关系；（ 2）求通项公2n 2 .（ 1）求 an式 an .六例 9 已知数列 an 满足 an13an23n1， a13，求数列 an 的通项公式。解： an 13an23n1两边除以3n1 ，得 an 1an21，3n 13n33n1an 1an21则 n 1n3n 1 ，故333ananan 1)an 1an 2)an 2an 3(a2a1a1n( n(n 2(n 2n 3 )21

6、 )333 an 1an 13333 3( 2 1n ) ( 2n11) (2n12 )(2 12)33333333332(n1)1111113(nnn 13n22 )33331n1因此an2(n1)3n (13)12n11，3n3133223n则 an2 n 3n1 3n1 .322评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an23n1 转化为 an 1an21，3n 13n33n1进而求出anan 1an 1an 2)(an 2an 3)(a2a1a1，即得数列an( nn1 ) (n1n2n2n 321 )33n33333333的通项公式，最后再求数列 an 的通项公式。优秀教案欢迎下载

7、七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）例 10已知数列 an 满足 an 123na5n ， a17 ，求数列 an 的通项公式。解：因为an 123nan5， a17 ，所以an0， an 10 。在an 123nan5 式两边取常用对数得lg an15lg ann lg3lg 2设x(n 1) y 5(lg axn y)11lg ann 1nnlg 3 lg 2 x n(1)yny将式代入11 式，得5 lg a5(lga xn，两边消去5 lg an 并整理，得 (lg3x)nxylg 25xn 5 y ，则lg3lg3x5xx，故4xylg 25ylg3lg 2y416lg31)

8、lg3lg 25(lg anlg3lg3lg 2) 12代入 11式，得 lg an 1( n164n16444由 lg alg31lg3lg 2lg 7lg31lg3lg 20及 12 式，141644164得 lg anlg3lg3 lg 20，4n164lg an 1lg3 (n 1)lg3lg 2则41645 ，lg3lg3lg 2lg an4n416所以数列 lg alg3 nlg3lg 2 是以 lg 7lg3lg3lg 2为首项，以5 为公比的等n41644164比数列，则 lg anlg3 nlg3lg 2(lg 7lg3lg3lg 2 )5n 1 ，因此41644164优秀教

9、案欢迎下载lg an (lg 7lg 3lg 3 lg 2)5n 1lg 3 nlg 3lg 24164464111n11(lg 7lg 34lg 36lg 24 )5n1lg 34lg 316lg 24111n11lg(73431624 )5n1lg(3 431624 )111n11lg(73431624 )5n 1lg(3 43162 4 )lg(7lg(75 n 15n 1 n5n 1 15n 1 1343 162 4 )5 n 15n4n15n 1131624)75n 15n4n 15n 11则 an3 162 4。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an 123nan5 转

10、化为lg anlg3(n1)lg3lg 2lg3lg3lg 2) ，从而可知数列14165(lg ann16444lg anlg3nlg3lg 2 是等比数列，进而求出数列 lg alg3 nlg3lg 2 的通项4164n4164公式，最后再求出数列 an 的通项公式。八、迭代法例 11 已知数列 an 满足 an 1 an3( n 1)2 n，a15 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 an 1an3( n1)2n，所以 aa3n 2n 1 a3( n 1) 2n 23n 2n 1nn1n 2an32 (2n 1) n 2( n 2) ( n 1) an3( n32) 2n 3 32 (

11、 n 1) n 2(n 2) (n 1)an33 (3n2)( n 1) n 2(n 3)(n 2)( n 1)a13n 1 2 3( n 2) (n 1) n 21 2( n 3) ( n 2) ( n 1)n1n ( n 1)2a13n! 2n 1n ( n1)2又 a1 5，所以数列 an 的通项公式为 an 53 n! 2。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 an 1 an3( n 1)2 n优秀教案欢迎下载两边取常用对数得 lg an 13(n1) 2nlg an ，即 lg an13(n 1)2n ，再由累乘法可推知lg anlg anlg an

12、1lg a3lg a2n ( n 1)3n 1n( n1)n 1n! 22n ! 2lg anlg a1 lg53，从而 an 52。lg an 1lg an 2lg a2lg a1九、数学归纳法例 12 已知数列 an 满足 an 1an8(n 1)， a18，求数列 an 的通项公式。(2n1)2 (2 n 3) 29解：由 an 18(n1)及 a18an2 (2 n 3)2，得(2n 1)9a2a18(11)8822411)2 (213)2992525(2a3a28(21)24834821)2 (223)225254949(2a4a38(31)48848031)2 (233)24949

13、8181(2由此可猜测 a(2n1)21 ，往下用数学归纳法证明这个结论。n(2n1)2（1）当 n1 时， a1(211)2 18 ，所以等式成立。(211)29（2）假设当 nk 时等式成立，即 ak(2 k1)2 1，则当 nk 1 时，(2k1)2ak 18(k1)ak(2k 1)2 (2 k 3)2优秀教案欢迎下载(2k1)218( k1)(2 k1)2(2k1)2 (2 k 3)2(2 k1)21(2k3)28(k1)(2k1)2 (2k3)2(2k1)2 (2k3)2(2k3)28(k1)(2k1)2 (2k3)2(2k1)2 (2k3)2(2k1)2(2k1)2 (2k3)2(

14、2k3)21(2 k3)22( k1)1212( k 1)12由此可知，当 nk1时等式也成立。根据（ 1），（ 2）可知，等式对任何nN * 都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法例 13已知数列 an 满足 an 11(14an 124an )， a11 ，求数列 an 的通项公式。16解：令 bn124an ，则 an1 (bn21)24故 an11(bn211) ，代入 an 11(14an1 24an ) 得24161211224 (bn 11)161 424(bn1)bn 即 4bn2 1 (bn 3)2因为 bn124an0 ，故 bn 11 24an 1 0则 2bn 1bn3 ，即 bn 113bn，22可化为 bn 131 (bn3) ，2优秀教案欢迎下载所以 b