数列求和的方法总结教案

1、学习必备欢迎下载授课教案学员姓名：学员年级：_ _授课教师：上课时间：_所授科目：_年 _月 _日 _时 _分至 _时 _分共 _小时教学标题教学目标熟练掌握：专题数列求和的方法总结教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：一 复习上次课内容：二 梳理知识（新课内容）数列求和的常用方法：(1) 公式法 ：必须记住几个常见数列前n 项和等差数列：n(a1an )na1n(n1)d；Sn22na1q1等比数列： Sna1 (1q n )q；1q1(2) 分组求和 ：如：求 1+1, 14 ,17, ,132, 的前 n 项和aa 2a n1n可进行分组即： 11

2、1111473n2aa 2a3a n1前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和(3n1)na12（注： Sn）(3n1)na12(3) 裂项法 ：如 an1，求 Sn，常用的裂项111，n(n2)1)nnn(n11111) ；1111n( n2) 2(n 21)(n2) 2(n1)(nnn(nn(n 1)2)(4) 错位相减法： 其特点是 cn=anbn 其中 a n 是等差， b n 是等比 如：求和Sn=1+3x+5x 2+7x3+ +(2n 1)x n 1注意讨论 x，n2x1Sn(2n1) xn 1( 2n 1)x n(1 x)(1 x) 2x 1(5) 倒序求和： 等差数列的求和公式

3、就是用这种方法推导出来的。如求证：012Cn+3Cn +5Cn +nn+(2n 1) C n=(n+1)2学习必备欢迎下载三 典型例题典型题（一）公式法求和如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前 n 项和的公式来求 .等差数列求和公式： Snn a1anna1nn122dna1 q1等比数列求和公式： Sna11qna1anqq 11q1q常见的数列的前 n 项和： 123 +n= n(n1) ， 1+3+5+ +(2n-1)=n2232 +n2 = n(n1)(2n1) ，13n(n 1)212222333 +n3=等.62题 1：等

4、比数列 an 的前项和 S 2，则 a12a22a32an2 4n13题：若22n2 an3 bn2cn，则a,b,c=21+2+( -1) = + +=.解： 原式 = (n1)n(2n1)2n33n2n .答案： 1;1;166326典型题（二）倒序相加法求和：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。 如果一个数列an ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.题 1：已知函数 f2xx22x（ 1）证明： f xf 1 x1；1289的值 .（ 2）求 ffff10101010解：（ 1）

5、先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（ 2）利用第（ 1）小题已经证明的结论可知，学习必备欢迎下载19285f5fffff1101010101010令 S1289ffff10101010则 S9821ffff10101010两式相加得：2S 91999ff所以S.10102小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和 .针对训练 :求值： S122232102102229232821021212典型题（三）错位相减法求数列的前N 项和：类似于等比数列的前 n 项和的公式的推导方法。 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差

6、·比”数列，则采用错位相减法 .若 anbncn ，其中bn是等差数列，cn 是公比为 q 等比数列，令Snb1c1 b2 c2bn 1cn 1 bn cn则 qSnb1c2b2c3bn 1cn bn cn 1两式相减并整理即得题 1： 已知 ann 2n 1，求数列 an的前 n 项和 Sn.解： Sn1 202 21(n 1) 2n 2n 2n 12Sn 1 212 22( n 1) 2n 1n 2n得Snn 2n1 20212n 1n 2n2n1学习必备欢迎下载题外音：错位相减法的求解步骤： 在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q ；将两个等式相减；利用等比数列的前n 项和的公

7、式求和 .题 2：1 , 3, 5 , 2n 1,; 的前 n 项和为 _Sn32n 32 22232 n2n题 3：S x 2x23x3nxn x 0, x 1n典型题（四）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差， 在求和时一些正负项相互抵消， 于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和， 这一求c和方法称为裂项相消法。适用于类似（其中an是各项不为零的等差数anan 1列， c 为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：（ 1）1111，特别地当 k1时，111n n kk n n kn n 1 n n 1（ 2）11

8、nkn特别地当 k1时1n1nn knk1nn题 1: 数列 an的通项公式为 an1，求它的前 n 项和 Snn( n1)解： Sna1a2a3an 1an11111122334n 1 n n n 1= 111111111122 33 4n 1 nn n 111nn1n1题 2：111n.1 447(3n2)(3n1)3n1学习必备欢迎下载题 3：111.1=、1 11112435 46(n 1)(n 3)2 23 n 2 n 3题 4 ：数列 an满足： a1 1，且对任意的m， n N* 都有： amn aman mn，则 1111()a1a2a3a2008A 4016B 2008C 2

9、007D 20072009200910042008解：先用叠加法得到： ann(n1) ，122( 11) ，2ann(n1)nn1 11112(111111 )2(11)4016 a1a2a3a20082232008200920092009题外音裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.1111, ,针对训练：求数列 1 2 233 2nn 1的前 n 项和 Sn .典型题（五）拆分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列 .若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然

10、后分别求和，再将其合并即可.题 1：求和： S23 5 1435 263 5 32n 3 5 nn解： Sn2351435263532n 3 5 n2462n3 5 15 25 35 nn111n55n n 1n2n311311455题 2： 数列 1,(1 2),(1222 ),(12222n 1 ),的通项公式 an，前 n 项学习必备欢迎下载和 Sn2n1; 2 n 12 n题 3：设 m=1× 2+2× 3+3×4+ +(n-1)·n，则 m 等于 ( A)A. n(n 21)B. 1 n(n+4)C.1 n(n+5)D. 1 n(n+7)322

11、2题4：数列11,31,51,71 ,前 n 项和为 （ A）24816（ A ）n211（B）n211（ ）n211（D）2 n2n 12Cn2nn 2n112n 12题 外 音这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解 .针对训练：求和：Sna1a22a33ann典型题（六）奇偶并项求和法题 1：设 Sn1357( 1)n (2n 1) ，则 Sn _ 2( 1)nn .题 2：若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1·n，则 S17+S33 50 等于()A.1B.-1C.0D .2n 1 (n为奇 )解：对前 n 项和要分奇偶分别解决，即：Sn=2答案： An为偶)( n2题 3 ：1002-992+982 -97