流体力学习题及答案-第四章

1、精品第四章流体动力学基本定理及其应用4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：(1)欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为:其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。(2)伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流2线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：丫一 卫 gz C ,从左至右方程2每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。4-2设进入汽化器的空气

2、体积流量为Q 0.15m3/S,进气管最狭窄断面直径 D=40mm ,喷油嘴直径d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm ,汽油液面距喷3油嘴高度为50cm，试计算喷油量。汽油的重度7355N/m3。答：(1)求A点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为 Vi,压力为Pi ,则根据流管的连续方程可以得到:D2 d2 ViQ,因此：v14Q_ 22°D2 d2可编辑(2)求真空度Pv选一条流线，流线上一点在无穷远处F, 一点为A点；并且:在 F 点：Pf Po , Vf 0 ；在 A 点：Pa Pi ?, Va Vi。将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：

3、2Po Pi Vi2g0 因此真空度为:Pv PoPi4Q8 Q2若取空气的密度为PvD2d231.226 kg/m ,那么计算得到:28 1.226 0.1523.1420.042 0.012 29.95 103 Pa。(3)求喷油量:设喷油嘴处汽油的速度为V2 ,并设空气的密度为1 ,重度为1 ,汽油的重度为2。选一条流线，流线上一点为上述的在 A 点：Pa Pi Po在 B 点：Pb Po , Vb代入到伯努利方程中，可以得到:1 12V2p07 v1 T-2 22g整理得到：212V2Vi 2gh ;2因此汽油喷出速度为：IV2 JV12 2gh ；,2其中空气重度 11g 12A点，

4、另一点为汽油液面1 7二 V1 , Va V2 ? , Za20, Zb 0 ；B点；并且：h 50cm 0.5m；_39.81 12N/m ； vi彳 2 ，并注意到喷油嘴的D d直径是6mm ,而不是原来的10mm ,则计算得到:：1.226 9.8116 0.152V273553.142 0.042 0.00623.817m/s2 9.81 0.5.24.366 9.81因此汽油流量为:Q2121_2_43_3d2V2 3.14 0.0062 3.817 1.079 10 4m3/s 107.9cm3/s。444-3如图所示，水流流入 U形弯管的体积流量 Q=0.01m 33s ,弯管截

5、面由S1 =50cm 2减小到S2=10cm 2,流速vi和V2均匀，若S2截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的3作用力及作用点的位置。1000 kg/m 。答：(1)求截面Si和S2上的流速V1和V2：由连续方程可知:0.01m3/s50 10 4m22m/s,V230.01m /s10 10 4m210m/s ；(2)求&上的压力P1 :已知S2上的压力p21个工程大气压由伯努利方程：22P! vL £22g 2g得到：P1 P2 1 V12 v20.981 1052(3)求水流对弯管的作用力P:一一一 一 5 0.981 10 Pa ；151000 100 4

6、1.461 105Pa。2由动量定理可以得到:P-P1 -P2v2S1v 2 S2。其中R和P2分别为在&和S2上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管,大气压力对其的作用力合力为 0。因此：S1截面上作用力为：Pp1 p0 sl 1.164 105 0.981 105 50 10 4 240N ,S2截面上作用力为：P2p2 p0 S2 0。因此：2232_42P R v；S,v2S2240 1032250 10 410210 10240 120 360N(4)求作用力P的作用点：设作用点距S1截面中心线的距离为 e,两管中心线之间的距离为 L。由动量矩定理可以得到:_2

7、 一 P e v2 s2 L ；即：2_32-4V2 S2101010 10P3601003600.278 。4-4如图所示，弯管的直径由d 1 =20cm 减小到d2=15cm ,偏转角为60,设粗端表压力p1=7840N/m 2,流过弯管流体的体积流量Q=0.08m 3/s ,求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，S1截面处压力P1和利用伯努利方程得到的S2截面的压力P2的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0,因此在&和$2截面上，均应以相对压力值计算。(1)利用连续方程求截面 S和S2上的流速V1和v 2 ：V1

8、Q _4QS1d；V2QS24Qd2(2)利用伯努利方程求 S2截面的相压力 p2 ：根据伯努利方程：22P1包”2g 2g可以得到：122P2 P1 金 V1 V2 ；(3)求管壁对流体的作用力 Fx和Fy：求x方向作用力分量Fx：由动量定理:FxP2 sinv2 v2 sinS20其中P2FxsinP2V2 S2P22v2 sinS2Pi2Vi2V22v2 sinS2Pi2Vi2V2sin S2Pii6Q2f 4dii6Q2 sin d2S2PiQ2 iT d7id24sinS28 i03 0.0827840 23.i42i0.24i0.i54i23.i42 0.i524P2s2为S2截面

9、上外界对管内流体的作用力；整理得到:326N求y方向作用力分量Fy：由动量定理:Fy PiP2 cosvi v1slv2V2 cosS2 ，其中p, PiSi为Si截面上外界对管内流体的作用力，整理得至kLi22cFy PVi SiP2V2S2 cos22 cPiVi SiP2V2 S2 cos316 0.08217840 1024- 3.1423.1420.240.22326,3450 188 262N(4)求力的作用点:如图所示，设流体对弯管的作用力Fx和Fy与x轴和y轴的距离分别为 ey和ex,由于Si和S2上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知ex e 0,即合力作用点通

10、过坐标原点。4-5如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为vo=30m/s ,水柱的体积流量Q=294m 3/s ,分流量Qi=118 m 3/s。试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。答：(1)由伯努利方程可知 Vi V2 Vo ；(2)设流束宽度分别为bo,“和b2,则有boQ/Vo,bQi/ViQi/v0；又由连续方程可知：Q2 Q-Qi因此：b2Q-Qi /V2Q-Qi /Vo；(3)应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角：o,即:求偏转角度 ：在y方向，平板对流体的作用力Fyovi V| biv2 v2 sin

11、b2 ；整理得到：2,2vi biv2 sin b2 oii8将Vi V2 Vo代入，可以得到：o.67 ,biQi/VoQi294 ii8sin - b2Q Qi /Vo Q Qi即： 4i.8 。求x方向作用力分量Fx：由动量定理得到：Fxvo v0bov2 v2 cos b2整理得到：L2 .2 Q Q Qic c cFx vo bo b2 cosvo一 cos vo QQ QicosVoVoio3 3o 294294118cos4i.84.88io6(N)4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为hi ,水箱2中的

12、水位高度为h2,两孔口中心重合，而且直径di =d2/2。若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当已知hi和水的密度 时，求保持平板封盖住水箱 2的孔口是h 2最大值。答：(1 )求水箱1出口处速度V1 :在水箱1的自由液面上选取 A点，在出口截面上选取 B点；A 点：PaPo ,Va0 ,hAhi,其中B 点：PbPo,VbV1?,hB 0。由过A、B两点的伯努利方程：1 2 Pa1 2 Pb二 Va ghA -Vb 坨 ghB2 2得到：1 Po1/2Po-0 gh1-V1g 0 ；2 2因此：2V2gh

13、1, V1 V2ghi ；(2)求水流对封板的作用力P:由动量定理，沿垂直于封板的方向：P 0 ( Vb) Vb； d2 1 d；vB 1 444(3)求水箱2的最大高度hmax：在封板右侧，水箱2形心处的静压力为 pP P J d； 1 ghmaxd；。 44当封板左右两侧压力相同时，即P P时：1212一 ghidi - ghmaxd2 24、一.1,也一注意到di -d2,整理可得：2Po为大气压力;di2 2gh 2 g'di2；ghmax,因此封板受到水箱2的静水压力:hmax-hi o即水箱2液面最大高度为-hl o224-7工程中常用文丘里（Venturi ）管测量管路中

14、水的流量。管路和收缩管段截面积分别为Si、S2,水的密度和U形测压计中液体的密度分别为m O若不计水的粘性,试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。答：设正常管路截面 1-1和收缩段截面2-2的流速分别为v1和v2,则由连续方程可知:V1 G v2s2 ；又设管路的流量为Q,则:viQ/S , V2Q/S2；选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到:PiZiZ2P2整理得到：Pi P2取U形测压计内液体的左侧g 4 Z2 ；A点处水平面为等压面，则有:（i）Pa Pig(Zi hi),PbP2g(Z2hhi) mgh ；由于Pa Pb ,则可得到：Pig zih

15、iP2 gZ h hi)mgh;（2）整理可得：Pi P2g zi Z2 gh m ;i Q Q2 版. gZiZ2；将(2)代入到(i)中，可得：gZ2 gh m再经整理得到：Q2 MSS2。2m ghjGSS2-S1S2 °4-8圆管内不可压缩定常流动如图所示。入口处流速U均匀，在某截面X处为抛物形速度分布：u r22cr° r U ,其中r为离管轴的径向距离，c为一未知常数。入口处和 x处管截面压力均匀分布， 分别为Po和Px,流体密度为，不计重力。(1)试确定常数c； (2), ,_.、，、I1 .212证明作用在o至X间，管壁上总的摩擦阻力Dro PoPx - U

16、322 一 一答：(1)入口处流量为： Qr0U ；由连续方程可知，x处截面的流量也是 Q r°U。又由于通过x截面半径r处环形微元面积ds 2 rdr上的流量为:dQ 2 ru r dr对其积分可得到:r0Q 023rdrr02 2 .2 0 r cr0 r Udrr022 CU 0 r。2r2 dr cr04U ；2即:因此得到：2"2"； r0则速度分布为：u r -2 r02 产 U 2U 1 °0r°(2)入口处流体的动量为:22. . 2 一一 .r°U Ur°U； x截面上，通过半径为r处的环形面积流体的动量为

17、：2,dM 2 rdr u r u r 2 ru (r)dr ;将上式积分得到：2 2ro2- r02 r42 2M 2 ru2(r)dr 2 r 4U2 1 dr - r02U 2 ；00r03由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此:2 222r°Ur°U Po2roPx2ro其中D为圆管对流体的摩擦阻力,整理得到:22Dpo ropx ro222ro Uro poPx4-9 一马蹄形旋涡如图所示，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、P、Q三点的诱导速度。cos 2 cos 1 ;答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为:(1)求涡线对R点的诱导速度:诱导速度由3部分涡线产生，即涡线 1、2和3:涡线1 :方向垂直纸面向外:Vricos 24 lcos 1其中21 ； cosd2，因此:VR114 ld_l 厂d2涡线2:方向垂直纸面向内:coscoscosc