第1次课第81向量及线性运算

1、返回返回 第八章第一节第八章第一节课堂练习：课堂练习：指导书指导书 p149-150 (三三) 3，7，10，18向量及其线性运算 返回返回 数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 返回返回 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的

2、模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第八八章 教 学 目 的教 学 目 的：使学生使学生理解向量的有关理解向量的有关概念概念及空间直角坐标系的及空间直角坐标系的概念，概念，掌握掌握( (单位单位) )向量、向量的方向余弦的坐标表达式，向量、向量的方向余弦的坐标表达式，会用向量的坐标表达式进行线性运算会用向量的坐标表达式进行线性运算. .返回返回 一、向量的概念一、向量的概念.a或或表示法表示法:向量的模向量的模 :即向量的大小即向量的大小,21mm记作1、向量、向量:(又称又称矢量矢量). 1m2m既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为向量的量称为向量2、自由向

3、量、自由向量: 与起点无关的向量与起点无关的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量.零向量零向量: 模为模为 0 的向量的向量,0.0记作， 或记作记作 m1 m2 ,或或 a ,a或.a或或数学上常用有向线段来表示向量，数学上常用有向线段来表示向量，12mm以为起点，为终点的向量，3 3、两个特殊向量：、两个特殊向量：返回返回 设有两非零向量设有两非零向量 ,ba任取空间一点任取空间一点 o ,aoa作,boboab称称 =aob (0 ) 为向量为向量 ,a b的夹角.),(ab或记作记作),(ba4.4.两向量夹角的定义：两向量夹角的定义：注记：注记：若若,ab中有一个为零向

4、量，中有一个为零向量，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0,中任意取值中任意取值.5.5.向量间的几种特殊关系：向量间的几种特殊关系：ab若与大小相等且方向相同若与大小相等且方向相同. .abab：（1 1）相等相等返回返回 （2 2）平行平行：ba/若与方向相同或相反若与方向相同或相反. .ab（两向量平行也称两向量共线）（两向量平行也称两向量共线）（3）垂直垂直(3)kk k当把个向量的起点放在同一点时，或或 k (3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上.ab若与的夹角为的夹角为0.或或或ab：( , ).2a b若（4）个向量共面个向量共面：k若个终点与起点在同一

5、个平面上在同一个平面上.返回返回 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律 : 交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .babbacba)()(cbacbaacba cb )(cbacba)(aaba ba bb返回返回 s3a4a5a2a1a54321aaaaas返回返回 向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa)( aababaab abab a0babaaa负向量向量 的记作：abbaa即与的模相等但方向相反的向量.

6、返回返回 2.2.向量与数的乘法向量与数的乘法(1)a是一个向量；(2) | |aa0000 (3)aaaa 时时与与反反向向时时与与同同向向时时与与的的方方向向a向量aa2a21 , a与实数与实数 的乘积，的乘积，记作记作规定如下：规定如下：1.1.定义：定义：返回返回 0(2)0aa设为与 （）同方向的单位向量，0|aa a 运算律运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba.aaea有些书用或表示与同方向的单位向量01|aaa从而则0/.ababa设，则存在唯一的实数 ，使定理定理1.（3 3）两个向量的平行关系）两个向量的平行关系( (书上书上p5)p5)证明：证明：

7、(略略)返回返回 定理定理1 1是建立数轴的理论依据。是建立数轴的理论依据。 给定一个点、一个方向及单位长度，一条数轴就确定了；给定一个点、一个方向及单位长度，一条数轴就确定了； 给定一个点及一个单位向量给定一个点及一个单位向量易见：易见： op xi xp实数向量点ipxxo1 px即轴上点与实数一一对应，ixopxp 的的坐坐标标为为轴轴上上点点 （它既确定了一个方向，它既确定了一个方向，又确定了长度单位又确定了长度单位），）， 就确定了一条数轴。就确定了一条数轴。注记注记： xp据此定义 为轴上点的坐标.返回返回 设设 m 为为mbacd解解:abcd 对角线的交点对角线的交点,ba,a

8、ab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2.,mdmcmbmaba表示与试用 ba ab1()2maab 1()2mbba 1()2mcab 1()2mdba 例例1. 返回返回 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)过空间一定点过空间一定点 o ,o 坐标面坐标面 卦限卦限(八个八个)面xoy面yozzox面面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念返回返回 在直角坐标系下在直角

9、坐标系下, ,xyzo向径向径 11坐标轴上的点坐标轴上的点 p, q , r ;坐标面上的点坐标面上的点 a , b , c点点 m特殊点的坐标特殊点的坐标 : :有序数组有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb( ,0, )c xz(称为点称为点 m 的的坐标坐标)原点原点 o(0,0,0) ;rrm向径向径 (矢径矢径): 起点为原点的向量起点为原点的向量.坐标面及坐标轴上的点的坐标有何特征？坐标面及坐标轴上的点的坐标有何特征？返回返回 坐标轴坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面坐标面 :

10、面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo返回返回 2. 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,设点设点 m , ),(zyxm则则沿三个坐标轴方向的沿三个坐标轴方向的分向量分向量.rxiy jz kxoyzmnbcijka,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量任意向量 r 可用向径可用向径 om 表示表示.nmonomocoboa, ixoa, jyobkzoc返回返回 m点, , roxxyzy z向量在坐有序数标系中称为的坐标, (, )r

11、x y z记作，( ) rx,y,z有些教材记为向量的坐标表达式向量的坐标表达式据此定义： romxiyjzk ( , , )x y z返回返回 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 则则ab(,)xxyyzzabababa(,)xyzaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:，为实数返回返回 已知两点已知两点例例3.在在ab直线上求一点直线上求一点 m , 使使设设 m 的坐标为的坐标为, ),(zyx如图所示如图所示abmo11mab, ),(

12、111zyxa),(222zyxb及实数及实数,1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.mbamammbamoaom mbomob aoom )(omob omoboa(解解:返回返回 说明说明:得得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点点 m 为为 ab 的中点的中点 , 于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz abmomab),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:由由返回返回 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222z

13、yx),(zyxr 设则有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得,rom作omr oroqop),(zyx qrkhnomxyz r向量的模的坐标表达式p返回返回 ),(111zyxa因因ab得得两点间的距离公式两点间的距离公式:),(121212zzyyxx222212121()()()xxyyzz对两点对两点与与, ),(222zyxbbabaoaobba已知向量的起点和已知向量的起点和终点坐标，写出向终点坐标，写出向量的坐标公式量的坐标公式222111(,)(,)xyzxyz返回返回 空间任意一点空间任意一点 m(x,y,z)22:yydxz到轴的距离为oyxzm22:

14、zzdyx到轴的距离为22:xxdyz到轴的距离为注记：注记：返回返回 例例4. ,2,mijnjkm n 设求以向量为边的平行四边形的对角线的长度.解：311.故该平行四边形的对角线的长度各为，11mn3mn，(1,3,1)mn(1,1,1)mn，,mnmn由向量加法知，平行四边形的对角线的长为，返回返回 在 z 轴上求与两点例例5.5.)7,1 ,4(a等距解解: 设该点为, ),0,0(zm,bmam因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得14,9z 故所求点为及)2,5,3(b14(0,0,) .9m离的点 . 思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与a , b 等距离

15、之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与a , b 等距离之点的轨迹方程 ?返回返回 提示提示:(1) 设动点为, )0,(yxm利用,bmam得,028814yx(2) 设动点为, ),(zyxm利用,bmam得014947zyx且0z返回返回 已知两点已知两点例例6.6.)5,0,4(a和和, )3,1 ,7(b解解:141)2,1,3(142,141,143.bababaab 求与同方向的单位向量ab (74,1 0,35)(3,1,2),ab 22231( 2) 14因因则则于是于是1|ab 返回返回 2 2、向量的方向角与方向余弦、向量的方向角与方向余弦oyzx,0),(zyxr给定与

16、三坐标轴与三坐标轴rr称的夹角的夹角 , , 为其为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. cos,xrcos,yrcosrz222coscoscos1方向余弦的性质方向余弦的性质:r与向量同方向的单位向量1rerr)cos,cos,(cos返回返回 设点设点 a a 位于第一卦限位于第一卦限, ,例例7.7.解解: 已知已知角依次为角依次为,34求点求点 a 的坐标的坐标 . ,34则则222coscos1cos41因点因点 a 在第一卦限在第一卦限 ,故故1cos,2于是于是(61,22,21)2)3,23,3(故点故点 a 的坐标为的坐标为 . )3,23,3(向径向径 oa 与与 x 轴轴 y 轴的夹轴的夹 ,6ao且oaoaao返回返回 3.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影,um轴垂直的平面作与过点 um交轴于点， oeu设点及单位向量决定轴，ommu,ome 设 omru称为在轴上的分向量. mmu 称为点在点轴上的投影， pr j