数学建模竞赛 钻井布局ppt课件

1、主讲: 廖川荣 一.问题提出 勘探部门在某地域找矿。初步勘探时期已 零散地在假设干位置上钻井，获得了地质资料。 进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进展“撒网式 全面钻探。 由于钻一口井的费用很高，假设新设计的井位与原有井位重合或相当接近，便 可利用旧井的地质资料，不用打这口新井。 (1999)钻井规划 因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以 节约钻探费用。 比如:钻一口新井的费用为500万元 设平面上有n个点Pi，其坐标为ai ,bi i= 1，2，,n,表示已有的个井位。 新布置的井位是一个正方形网格N的一切 结点所谓“正方形网格是指每个格子都是正 方形的网格；结

2、点是指纵线和横线的交点。 , 利用旧井资料的费用为10万元，那么利用一口旧井 就节约费用490万元。 假定每个格子的边长井位的纵横间距 都是1单位比如100米。整个网格是可以 在平面上恣意挪动的。 假设一个知点Pi点与某个网格结点Xi的间隔 不超越给定误差=0.05单位，那么以为Pi处 的旧井资料可以利用，不用在结点Xi处打新井。 为进展辅助决策，勘探部门要求我们研讨 如下问题： 1.假定网格的横向和纵向是固定的比如东 西向和南北向， 并假定间隔误差是沿横向和纵向计算的; 即要求可利用Pi点与相应结点Xi的横坐标之 差(取绝对值)及纵坐标之差(取绝对值)均不超 过.在平面上平行挪动网格N，使可

3、利用的 旧井数尽能够大。 试提供一种数值计算方法，并对下面的数 值例子用计算机进展计算。 2. 在问题1.)的根底上，思索 网格的横向 和纵向不固定可以旋转的情形，给出算 法及计算结果。 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 aI 0.50 1.41 3.00 3.37 3.40 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50 bI 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80 二.名词和符号阐明 1.取整运算. x=不大于x的最大整数. x=INT(X) r(x)=x+ . (

4、x按4舍5入规那么取整) 数值例子: n=12个点的坐标如下表所示12 按4舍5入取整的小数 部分 2.) 间隔概念. 纵横间隔: 给定两点P(a,b)及X(x,y) d(P,X)=max 欧氏间隔: 3.)记号: xxxx的小数部分. f xxr x,xayb22,P Xxayb 代表题设误差,即 0.05 单位 第i口旧井所在的点.其坐标 . 为 代表 附近的网格结点,其 坐标为 . (s , t) 网格离原点最近的结点坐 标. 网格旋转的角度.iP,iia biXiP,iix y 三. 问题分析与要求 假设一个知点 与某个网格 结点 间隔不超越给定误差 (0.05)单位,那么以为 处的旧

5、井资 料可以利用. 因此,在纵横(或欧氏)间隔定义 下, 可采用以下两种处置方法: )以 为中心,2 单位为边长作一iPjXiPiP 个正方形(或半径为 的圆). 假设网格在平移过程中,网格中的 某个结点 落在以 为中心的正方 形(或圆)的闭区域上,那么可以以为 可以利用旧井 的相应资料. )以 为中心,2 单位为边长作一 个正方形(或半径为 的圆).假设网格 在平移过程中, 落在以 为中心的jXiPjXiPjXiPjX 正方形(或圆)的闭区域上,那么可以认 为 可以利用旧井 的相应资料. 注: 这两种方法分别对应于网格挪动 和坐标平移,显然它们是等价的. 对问题1.由于精度要求为 0.01

6、( = 0.05)且网格可上下、左右平行移 动. 因此:可按纵横坐标方向分别平移 jXiP 100次.对区域中的一切12个旧井点 进展搜索,记录可利用的旧井数. 最后比较这100100次平移中 哪一次可利用的旧井数最大,那么该网 格位置为最优. 对问题2. 以某一角度为步长转动 网格,在每一角度下,固定网格方向, 按问题1.的方法检验最多有多少旧 井可以利用. 再比较一切搜索过的角度下可 利用的旧井数,即可得允许转动时可 利用最多的旧井数. 注:)由于两点间的纵横间隔会因转 动而改动,故问题2采用欧氏间隔. )由于方格的对称性,只需从 转 到 即可.00090 ) 为保证旋转小角度后,点的变动

7、 不超越精度 =0.01,取步长 . R为间隔最远点到旋转中心的间隔. 此题中求出 .需求 将0, 分为2,000份,因此,此题要 进展2000次问题一的计算. 标题要求就网格的方向固定或不 固定两种情况,计算可利用的最大R31.04 102 旧井数,并给出相应的算法. 四. 假设. .地形对误差无影响,无须思索地形 这一要素. .网格充分大,给出的旧井均在所定 勘探区域内,旧井位点的坐标可记为 . 网格N的铅垂网线,程度网线分别 与两坐标轴平行. ,iiiP a b 即:网格N可由该网格中的任何一个 结点所独一确定. 五.模型的建立与求解. 设对给定的直角坐标系oxy, 知点pi的坐标为(a

8、i,bi), (1in) 在网格N中离原点o最近的结点为(s,t),那么 |S|1/2, |t|1/2, 且网格N的任一结点可表示为(s+m,t+n),其m,n 均为整数. 结点 (s,t) 可看作网格N上的一个参 照点,它可以在单位正方形 内挪动.11,22xyxy于是网格N的设计参数为s,t. 1. 问题1的求解. 我们要弄清楚,对给定的s及t,如何 计算可利用的旧井数目f(s,t). 由于只需两个变量,我们可以用数 值计算方法,并借助计算机,用列表法 把二元函数f(s,t)的值计算出来,然后 求其最大值.下面是一种计算方案. 知点pi与结点xi的间隔误差是 沿坐标轴方向的，即要求pi与x

9、i的横纵坐标之差的绝对值. 0, s t112233121iPiX,iia b,iix y,m nstixsmiytn ,iia biPiX,iix y网格挪动坐标平移 即: 当且仅当正方形邻域 中存在结点 (s+m,t+n) 时, 是可 利用的.,iiiU Px y xaybiPiiamsaiibntb iiiiasmasbtnbt 1 当 (1) 时布尔变量 否那么 可利用的旧井数: iiiiasasbtbt,1ius t ,0ius t 1,niifs tus t 问题1可归结为如下的最优化问题: 目的函数: = s.t.max,f s t1max,niius t0iiiasasu 1,

10、2,in0iiibtbtu 1,2,in1122s1122t ,0,1iu 1,2,in 以上模型可用计算机求其数值解. 比如取0.01为步长,将s及t的取 值 范围各自等分为100份,然后在 100100个点中求出f(s,t)的值,并 从 中直接比较求出最优解来. 在计算f(s,t)时只需对满足不等 式 的i进展计数. iiiiasasbtbt 对给出的数值例子,其计算结果为: max f(s,t)=4, 其中: s=0.4 , t=0.5, 可利用的井号为 2, 4, 5, 10. 2.问题2的求解. 首先思索用欧氏间隔表示误差而 网格N不旋转的情形. 显然,当且仅当园形邻域 222,ii

11、iU Px yxayb2 内存在结点 (s+m,t+n) 时,知点 是可利用的. 此时,记布尔变量 由于网格N不旋转,且正方形邻 域 包含了园形邻域 即:iP,1ius t 否那么 ,0ius t 1,iUP2,iUP2,iUP1,iUPiP唯 一 可 能 含 于 正 方 形 邻 域 中 的结 点 是 :isasixiiytbt.,iix y.iiiiasmasbtnbt 我们可以进一步检验该结点是 否落入园形邻域中. 因此,当且仅当 时,布尔变量 即:当且仅当 (2)222iiiaybix,1ius t ,0ius t否那么 222iiiiiiiiasasbtbtsasatbtb 是可利用的

12、. 注: 用这种方法计算出一切的 ( ). (此例:n=12) 由 f(s,t)= 得到 s , t 给定 时的函数值 f(s,t). 由此可得以上问题的数学模型: 目的函数 =max iP,ius t1,2,in1,niius tmax,f s t1,niius t s.t. 0iiiasasu 1,2,in0iiibtbtu 1,2,in1122s,1122t 0,1iu 1,2,iniiytbt isasix结点:2220iiiiisasatbtbu 思索用欧氏间隔表示误差而网格 N 可以旋转的情形. 欲求的网格N的横向和纵向可 用新坐标系0 xy的横轴和纵轴表 示,其中ox轴与ox轴的

13、夹角为 , 02 根据坐标变换公式,点pi在新坐标系下的坐标为 sinbcosabsinbcosaaiiiiii (3) 注: 坐标原点o不一定是网格N的结点. 我们设计在坐标系oxy中,网格N中离原点最近的结点为(s,t), 其中: |s|21,|t|21这样一来,网格N的设计参数为, s , t. 由于方格的对称性， 只需从000转到90即可，为保证旋转小角度后，点的变动不超越精度 0.01,取步长 R为间隔最远点到旋转中心的间隔.此题中求出R31.04 10 .需求将 分为2000等份.0 ,2 步骤:将的取值范围离散化,将 分为2000等份.0 ,2 对每一个值,运用坐标变换公式: 计算出各点cossincossiniiiiiiaabbab .iP在新坐标系 0 xy 中的坐标,iia biP. 运用上述的算法进展搜索,本问 题要进展2000100100= 次数 值计算. 对 次计算结果进展比较,求 出最大值.72 1072 10 0iP,iia biaibiaibxy x y,iia biPcossincossiniiiiiiaabbab 当=/