概率论复习题及答案

1、For pers onal use only in study and research; not forcommercial useFor pers onal use only in study and research; not forcommercial use概率论与数理统计复习题一事件及其概率1. 设A, B,C为三个事件，试写出下列事件的表达式： A, B, C都不发生；(2)代B, C不都发生；(3) A, B, C至少有一个发生；(4) A, B, C至多有一个发生。解：(1) ABC ha-GE(2) ABC = A - B - C(3) A _ B _ C(4) BC 一

2、AC 一 AB2. 设 A , B为两相互独立的随机事件 ，P(A) =0.4 , P(B) =0.6,求 P(A _ B), P(A - B), P(A| B)。解: P(A 一 B)二 P(A) P(B) -P(AB) = P(A) P(B) - P(A)P(B) = 0.76 ；P(A-B)二 P(AB)二 P(A)P(B) =0.16, P(A|B)二 P(A) =0.4。3. 设 A, B互斥，P(A) =0.5，P(A_ B)=0.9，求 P(B), P(A-B)。解: P(B)二 P(A B) - P(A)二 0.4, P(A - B)二 P( A)二 0.5。4. 设 P(A)

3、 =0.5, P(B) =0.6, P(A| B) =0.5，求 P(A - B), P(aB)。解：P(AB)二 P(B)P(A| B) =0.3, P(A B)二 P(A) P(B) - P(AB) = 0.8,P(A_B= F( A B= P A P AB。0. 25. 设 A, B,C 独立且 P(A) =0.9, P(B)二 0.8, P(C) =0.7,求 P(A B C)。解:P(A B C) =1 一卩(瓦_.目_.) =1 一 P(ABC) =1 _P(A)P(B)P(C)=0.994。6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到

4、一个黄球、一个白球的概率。解:(1)-；(2) P =15c4c16157.从09十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解:128.从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。1-0.8 0.8解：P=20.32。19. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有 4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中， 再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设人=从甲袋中取出的是红球 ”，B = 从乙袋中取出的是红球”，则：1-31-2P( A) , P(A 匕,P (B |A-) P B Ac),4425由全概率公式得：17P(B)二 P(A)

5、P(B| A) P(A)P(B | A厂4010. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%,而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设A,A2 ,A3分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则P(A)=0. 5PA=) 0.F44=( ) P).B, & |)P0B95,(| P B0.A85,(|)3由全概率公式得 P(B)=v P(A)P(B| A) =0.895 ；i =1P(A 丨 B) - P(AB) 一 P

6、(AJP(B|A) 0.475 一 95P(B)P(B)0.895179二一维随机变量及其数字特征工 kx 1,1.已知X的概率密度函数 f (x)弋10,0 x 2else1】求 k, P X , EX。I.2j解： f (x)dx = ：(kx 1)dx =2k 2 =1 二1f 1 、2 ( 192P2 X>-i=n i x 1| d x=，EX = xI 2JU 2丿1 6l0 V1x 1 dx，。22.设 X B(3,0.1)，求 P：X =2、PX _1。= 0.271。223解：PX =2 =C3(0.1) (0.9) =0.027, PX _1 =1 - PX =0 =1

7、 0.9-43.设三次独立随机试验中事件 A出现的概率相同，已知事件A至少出现一次的概率为37，求A在一次试64验中出现的概率 p 。解：三次试验中 A出现的次数X B(3, p)，由题意:4.PX _1 =1 _p1x =0丄1 -Cfp0。_ p)3=1 - (1 - p)337=641000 某种灯管的寿命 X (单位：小时)的概率密度函数为f(x)二I0,x2x 1000else(1)求 PX 1500;任取5只灯管，求其中至少有 2只寿命大于1500的概率。鈕10002解: PX>1500 = J1500hdx = § ；设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y 

8、9;则YB5,f，5.6.7.PY 一2 =1PY =0 PY =1 =1 一 1-5 2设 X B(n, p), EX -1.6, DX -1.28,求 n, p。解：EX = np =1.6, DX =np(1 - p) =1.28= n = 8, p = 0.2。设 X 二(2)，求 PX -2, E(X2 2X -3)。解：PX_2=1-3e°,14232243°2 2 2E(X 2X -3) =E(X ) 2EX YpEXDX 2EX -3=4 2 4-3 = 7。设 X U1,6，求 P4 ： X 乞 2。解：f(x)W7'0,一1'%'

9、6， p一4：X 空 2丄 2 f(x)dx-J匚斗0dxelse8.设X服从(-1,5)上的均匀分布，求方程t2Xt 0有实根的概率。1_1<x <525 11解：f(x)=6，- - , PA 启 0 =PX2 _4Z0= J2 一 dx=。0, else9.设 X U1,3，求 EX, DX, E解:EX =2, DX =(3-1)21210.设某机器生产的螺丝长度1_Lf (x) = 20,1 _x _3131 11,E f = dx = ln 3.IX 丿1 x 22elseX N (10.05,0.0036)。规定长度在范围10.05 _0.12内为合格，求螺丝不合格的

10、概率。解：螺丝合格的概率为P10.05 -0.12X £10.05 + 0.12= P-0.120.06X -10.05<0.060.120.06-门(2) _：(一2)二2：(2) _1 =0.9544故螺丝不合格的概率为 1 -0.9544 =0.0456。11. 设 X N(0,4)，Y = -2X 3000，求 EY、DY 及 Y 的分布。解：EY - -2EX 3000 =3000, DY =4DX =16,Y N(3000,16)。12. 设 X 与 Y 独立，且 X N(1,1), Y N(1,3),求 E(2X -Y), D(2X -Y)。解：E(2X Y) =

11、2EX - EY =1, D(2X Y) =4DX DY = 7。f 1,13. 设 X -：(4), Y B 4, , :y =0.6,求 D(3X -2Y)。I 2 J解：D(3X-2Y)=9DX 4DY-12匚丫 DX DY =25.6。14.设X U T ,2，求Y = X的概率密度函数。解：FY(y) =P& Ey=P X 兰 y(1)当 y : 0时，Fy(y)二 0 ；(2) 当0乞y乞1时,(3) 当 1 ： y - 2 时,八12FY(y"W ；FyW)二4y 1.严当 y 2时，Fy(y) =1 ；23y, 故 Fv(y) = 3“y +131,y：00乞

12、y乞11：y岂 2y 21fY(y)二 FY(y) =3,0,0乞y空11 ： y _ 2。else三二维随机变量及其数字特征1. 已知（X,Y）的联合分布律为:*-112-50.10.4050.2a0.2(1) 求 a ；(2) 求 PX0,Y <1PY =1|X =5；求X ,Y的边缘分布律；求XY ；(5)判断X,Y是否独立。解：(1) a = 0.1;(2) 0.3, 0.2 ；(3) X :0.5, 0.5;Y: 0.3, 0.5, 0.2 ； EX =0, EY 二 0.6, E(XY)二 0= cov(X,Y)二 0, 二 0 ；0d _ 0.40.2 0.1，不独立。2.

13、 已知（X,Y）的联合分布律为:且X与Y相互独立，求:（1） a,b 的值； PXY =0；(3) X, Y的边缘分布律;EX, EY, DX, DYz =XY的分布律。解:L,b±189PXY =0=1 _PXY =0 =19'V 1 1 1 V 1 26 3 2-5 2EX , EX63 3 'DX = EX263.已知(X,Y)的概率密度函数为 f (x, y)=c(x y),°,0兰x兰2,0兰y兰1，求:else(1)常数c ；关于变量X的边缘概率密度函数fx(X)；53(EX) , EY ,EY , DY = EY -(EY)36339-1PZ

14、1,PZ =0, PZ =2993E(X Y)o解:ffJ -oO(1)2=0c xdx = 2c c =3c = 1= c =-; 3fx(X)二二 f(x,y)dy 二 0310，11.-(x y)dy斗x+T3 I 2丿0 ： x 2elseE( X Y)(x y) f (x, y)dxdy =-dx11 2 16 03(x y) dr。4.设(X,Y)的概率密度函数为：f(x,y)二 Axy,0空x空1,0空y< x else(1) 求 A ;(2) 求 fx(x), fY(y);(3)判断X,Y是否独立；求 P Y -1 , PX Y ：1?;I 2 J求 cov(X,Y) o

15、解：i xa°dx ° Axydy 二§=1= A = 8 ；fx(x)(x,y)dyX3! !.° 8xydy =4x , 二,0 _ x _1else28xydx =4y(1 - y2), 0_y_1 fY(y) = . f (x,y)dx =二 y.,else(3) f (x, y) = fx(x) fY(y)= X, Y 不独立； 门 1315”2)1 P X14x3dx, PIX Y : 1 dy 8xydx 二I 2J打160八y ，64844(5) EX 飞，EY 二齐，E(XY) =9,cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)=亦

16、WIQKZ厶厶O四中心极限定理1.某种电器元件的寿命服从指数分布E(0.01)(单位：小时)，现随机抽取16只，求其寿命之和大于1920小时的概率。16解：设第i只电器元件的寿命为 Xi (i =1,2,川,16),则E(XJ =100, D(XJ =10000。令* =' Xx，iT则EX =1600, DX =160000。由中心极限定理得理口00”®)400J= 0.2119。pfx 1920 ； = P B(100,0.2), EX =100 0.2 =20, DX =100 0.2 0.8 =16 ； 1600&1600002. 生产灯泡的合格率为 0.8，

17、记10000个灯泡中合格灯泡数为 X，求(1) E(X)与 D(X)； 合格灯泡数在7960 8040之间的概率。解：(1) X B(10000,0,8), E(X) =10000 0.8 = 8000, D(X) =10000 0.8 0.2 =1600 ；(2) 由中心极限定理得p7960 兰 X 兰8040p；Z968000 兰8000 兰8048000；山一日)l 404040= 2(1) -1 =0.6826。3. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取 100根，问至少有30 根短于3m的概率是多少？解：设这100根木柱中短于3m的个数为X，则

18、X _ EX 3n _ 20由中心极限定理得 P!X_30l = P 二 _ 二 =2.5 /-门(2.5) =0.0062。VdX716j4. 某单位设置一电话总机，共有 200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻 每个分机有0.05的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于0.9的概率保证每个分机要使用外线时可供使用 ？解：设至少需要k条外线。使用外线的分机数X B(200,0.05)，EX =200 0.05 =10, DX =200 0.05 0.95 =9.5。由中心极限定理得:PH = P X占 PI VDx屁 JV _0.9. 9.5- k!

19、0 _1.28 二 k -13.9452。 .9.5五.抽样分布1.从一批零件中抽取 6个样本，测得其直径为21.522.3,1.7,2.5,1.8，求 X, S。_ 1 6 2 1 6 _解：xxi =1.9667, s(Xi 'X)= 0.1427。6 i =15 i =12.设Xi,X2是来自正态总体 N(0,9)的简单随机样本，已知 Yaa, X2)2服从2分布，求a。2&xx2(xx2)解：X1 X2 N(0,18)= 1 2N(0,1)= 1 2V18182(1AaT。3.总体 X N(72,100),(1)对容量n =50的样本，求样本均值 X大于70的概率;为使

20、X大于70的概率不小于0.95，样本容量至少应为多少?解:i70_72(1) X N 72,2 , P(X 70) =1 - ：I 72丿=1 _：(-.2)=0.92;XN 72迴i n曲"i T00：0.9554.-_ 1.645二 n _ 67.65 。 5-10设 X1,X2，川,X10取自正态总体 N (0,0.09),求 P ' Xi21.44 。I?# JnZ (Xi 門2 解：由于v2c102(n),故 P' X"1.44 = P 2(10) 16 = 0.1。i 二5.设 Xi，X2，|)|,Xn 来自总体 X N(.L,；2), S 为样

21、本方差，求 ES2, DS2。解：(n-?S 沪(n_i),E(S2) =E厂(n1)= (n 1)"2,ern-1- n-1D(S2) = D 二| n -12(n-1)2 2( n-1) =(n-1)2 4。n1六参数估计1.设随机变量XB(n, p)，其中n已知。X为样本均值,求p的矩估计量。X解：EX =np=X = ? 。n2.设总体X的概率密度函数为：f(x)=刁八：x : 1，其中r是未知参数,二的矩估计量。else1+9-解：EXX = ? = 2X '1。23. 设总体X的分布律为X123P6612日现有样本：1,1,1,3,1,2,3,2,2,1,2,2,

22、3,1,1,2，求的矩估计值与最大似然估计值。3 _ X7c 5解：(1) EX -2二 3(1 -2旳=3 -3 - X = ?，将 x 代入得 仝二一；3412(2)似然函数 L = PX1 = 1, X2 = 1j H,= 2-PX1 =1PX2 =1II|PX16 = 2 - Jr6(1 -2对3"丄q创n L 136 门/曰山13对数似然函数ln L =13ln " 3ln(1 -2旳，令0，得= 一。1 _ 2寸234. 设总体X的概率密度函数为f(x)”10,0 x 1。else现测得X的8个数据：0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8,0.7, 0.

23、6, 0.6，求二的矩估计值和最大似然估计值。乂1 a eu日-解：(1) E(X) xf (x)dxxx' dx，令 E(X) =X，得0 1畀£= 0.63751.76 ；1 -X 1 -0.6375n(2)似然函数L =舀f (x) - 松严 7n qxn，对数似然函数In L二n In二- 1厂In x ,令75.叽,：严=0，得亠c9n8/ . 一一 -3.7626 ' ln xii 4:2.13。设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布 N(»0.42)。现在从中抽取20只内环，其平均高度X = 32.3毫米，求内环平均高度的置信度为95%的

24、置信区间。2解：二已知，置信区间为- (J-X - z：, Xn2。将X = 32.3 坊=0.4 n=20,z 0025 1.96 代入,得所求置信区间为(32.125, 32.475)。6.为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/平方米)，从中随机地选取了10个样品作实验，由实验所得数据算得：X = 6720,s = 220 ,设钢索所能承受的张应力服从正态分布，试在置信水平95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。2解：匚未知，置信区间为_1)+孕如(n 1)。Vn 2)将 X =6720,s =220, n =10,t°.°25(9) =2.26

25、22代入，得所求置信区间为 (6562.6, 6877.4)。7.冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10根，测试折断力，得数据为568, 572, 570, 570, 596, 584, 572(2)方差的置信区间(0.05 )。求:(1)578, 572, 570, 样本均值和样本方差；解:(1)_ 1 10x = x =575.2, s10 y102 I2(Xi - x)75.73 ；9心丄未知，置信区间为2 2(n -1)s (n _ 1)s2 ( n-1)"_：( n -1)2一 2©75.73 9 汇 75.73 '119.0228 '

26、2.7004=(35.83, 252.40)。七.假设检验1.某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量(单位:千克)服从正态总体分布 N(i , 4 )，今随机地抽50, 5050千克?查了 9袋，称出它们的重量如下：50, 48, 49, 52, 51, 47, 49,问在显著性水平- -0.05下能否认为袋装糖的平均重量为z丄=1.96，将2解：由题意需检验H。：=50,已：、50。二2已知，拒绝域为 Ux =49.5556,% = 50, ；=2, n=9代入，得U =-0.6667。未落入拒绝域中，故接受 H。，即可以认为袋装糖的平均重量为 50千克。2.某批矿砂的5个样本的含金量为:

27、3.25, 3.27, 3.24, 3.26,3.24设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平:-=0.1下能否认为这批矿砂的金含量的均值为3.25 ？解：由题意需检验2H0 :卩=3.25,H, : 4 H3.25。未知，拒绝域为TX0S/ _'nt.( n- 1) = 2.1318，"2将x =3.252, % =3.25, s =0.013,n = 5代入得T = 0.344。未落入拒绝域中，故接受 H。，即可以认为这批矿砂的含金量的均值为3.25 。3.某种螺丝的直径 XN (叫64)，先从一批螺丝中抽取 10个测量其直径，其样本均值x = 575.2，方差2s =68.16。问能否认为这批螺丝直径的方差仍为64 (： =0.05)？解：由题意需检验 H0 : ；2 =64,已：匚2 =64。丄未知，拒绝域为 22(n - 1)S以* n1)=2.7 或_2(n-1)S2> - -；(n -1) = 0.02 (25) = 41.566。将 n = 26, s = 9200代入得 ？ = 46，落入拒绝域中，故拒绝H。，即能推断这批电池寿命的波动性较以前有显著增大。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial u