线性代数第10讲PPT课件

1、1第十讲第十讲 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组第1页/共55页2 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念, ,并提出求秩的有效方法并提出求秩的有效方法 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大富，难度较大. . 第2页/共55页3引例引例

2、)1(求解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程2 第3页/共55页4解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342第4页/共55页5)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321x

3、xxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第5页/共55页6于是解得于是解得 33443231xxxxx.3为任意取值为任意取值其中其中x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为任意常数为任意常数其中其中c 30340111cx即即（2）第6页/共55页7小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如（1）交换方程次序

4、；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍下三种变换：下三种变换：i（与相互替换）（与相互替换）j（以替换）（以替换）ik i（以替换）（以替换）iijk 第7页/共55页83上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(

5、Aik )(B则则).(Ak ji第8页/共55页9因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记 97963422644121121112)(bAB则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方方程组（程组（1）的增广矩阵）的增广矩阵）的变换）的变换这样的变换叫矩阵的初等行变换这样的变换叫矩阵的初等行变换第9页/共55页10定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（

6、对调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 第10页/共55页11定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jir

7、r kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或第11页/共55页12 rc 第12页/共55页13矩阵等价关系的性质：矩阵等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对对称称性性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价第13页/共55页14用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）： 9

8、7963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r第14页/共55页15331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 第15页/共55页165 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 21rr 32rr (行阶梯形矩阵行阶

9、梯形矩阵)（行最简形矩阵行最简形矩阵）第16页/共55页17对对应应的的方方程程组组为为5B 33443231xxxxx方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.为为任任意意常常数数其其中中c第17页/共55页18.54都称为行阶梯形矩阵都称为行阶梯形矩阵和和矩阵矩阵BB4 00000310000111041211B 5 00000310003011040101B 行阶梯形矩阵的特点：行阶梯形矩阵的特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台

10、阶数即是非零台阶数即是非零行的行数，行的行数，非零元，即非零行的第一个非零元非零元，即非零行的第一个非零元阶梯线的竖线后面的第一个元素为阶梯线的竖线后面的第一个元素为第18页/共55页195B行阶梯形矩阵行行阶梯形矩阵行 还称为最简形还称为最简形矩阵矩阵5 00000310003011040101B 行最简形行最简形矩阵矩阵的特点：的特点：（1 1）、行最简形）、行最简形矩阵矩阵是行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵 第19页/共55页20由引例可见：由引例可见：.,A nm和行最简形和行最简形变换把他变为行阶梯形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行总可经过有限次初等行对于任何矩阵对于任何矩阵 注意

11、：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的由引例可知：由引例可知： 要解方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩要解方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵阵第20页/共55页21 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形FEAr 0000000000000001000001000001A的等价标准形的等价标准形特点：特点：.为为零零阵阵，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩F第21页/共55页22 000003100030

12、110401015 B214ccc 3215334cccc 例如例如F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF第22页/共55页23标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行就就是是三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm 所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标

13、准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.AF进一步有：进一步有：（1） mn 矩阵矩阵 A B 的充要条件是的充要条件是 A与与 B 有相同有相同的标准形的标准形.（2）第23页/共55页24矩阵初等变换的一个基本性质矩阵初等变换的一个基本性质矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍为探讨它的应用，需要研究它的性质，下面介绍它的一个最基本的性质它的一个最基本的性质.第24页/共55页25rc为了证明定理为了证明定理 1 1，需引进初等矩阵的知识，需引进初等矩阵的知识. .第25页/共5

14、5页26初等矩阵初等矩阵 定义定义4 4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵. .三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵: :Ejirr )(jicc 或或 行行第第行行第第jijiE 1101111011,第26页/共55页27 0ki11k11kiE ,)(行行第第 行行第第行行第第jikikjE 1111),(EEikrjikrr ikc或或ijkcc 或或第27页/共55页28初等矩阵的性质初等矩阵的性质; 01),( jiE; 0)( kkiE. 01),( ikjE初等矩阵都可逆初等矩阵都可逆. 容易验

15、证，容易验证，初等矩阵的逆初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的矩阵仍为同类型的初等矩阵初等矩阵. .即有：即有：);,(),(1jiEjiE );1()(1kiEkiE . ),(),(1ikjEikjE 第28页/共55页29初等矩阵与初等变换之间的关系初等矩阵与初等变换之间的关系先看一个例子先看一个例子 212121ccbbaa100010k01 21212211ccbbkcakca相当于相当于 212121ccbbaa31krr 21212211ccbbkcakca第29页/共55页30 101212121kccbbaa 211211211ckccbkbbakaa相当于相当于 212121ccb

16、baa12kcc 211211211ckccbkbbakaa第30页/共55页31 性质性质1 1 对对 mn 矩阵矩阵A 施行一次初等行施行一次初等行( (列列) )变变换，相当于在换，相当于在 A 的左的左( (右右) )边乘以相应的边乘以相应的m (n)阶阶初等矩阵初等矩阵. .一般地，有：一般地，有：证明证明 设设 A 是是 mn 矩阵矩阵,记记 mjiA 1第31页/共55页32其中其中 ., 2 , 1,21miaaainiii 用初等矩阵用初等矩阵 E( i , j ) 左乘矩阵左乘矩阵 A ,得得 1101111011AjiE, mji1aaaa行行第第行行第第jiaaaami

17、j1 第32页/共55页33 同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也同样可以得到，定理对其它两种初等行变换也成立成立.类似的，可以得到初等列变换的情形类似的，可以得到初等列变换的情形.性质性质2:2: n 阶矩阵阶矩阵A 可逆的充要条件是存在有限可逆的充要条件是存在有限P1 , P2 , , Pl ，使，使 A = P1P2 Pl .个个n 阶初等矩阵阶初等矩阵 证证 A 可逆可逆 A 的标准形为的标准形为EA E存在有限个存在有限个 n 阶初等矩阵阶初等矩阵E A即即 A = P1P2 Pl .P1, P2 , , Pl，使，使P1P2 P3EP4 Pl E = A.第33页/共55页34

18、类似可证明类似可证明(ii)和和(iii).(i) 由由A Br的定义和初等行变换的性质，有的定义和初等行变换的性质，有A BrA 经有限次初等行变换变成经有限次初等行变换变成 B存在有限个存在有限个 m 阶初等矩阵阶初等矩阵P1, P2 , , Pl，使，使P1P2 Pl A = B存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使，使 PA = B .第34页/共55页35 证证 存在存在可逆可逆矩阵矩阵P，使使 PA = E推论推论1 : 方阵方阵 A 可逆的充要条件可逆的充要条件 A E.r A 可逆可逆A E.r第35页/共55页36定理定理1表明，如果表明，如果 A B，r即即 A 经一系

19、列经一系列初等行变换变为初等行变换变为 B，则有可逆矩阵，则有可逆矩阵 P，使，使 PA = B .那么，如何去求出这个可逆矩阵那么，如何去求出这个可逆矩阵 P 呢呢?由于由于 PA = BPA = BPE = PP(A, E) = (B, P) ( A, E ) ( B, P )， r因此，如果对矩阵因此，如果对矩阵 (A, E) 作初等行变换，那么，当作初等行变换，那么，当把把 A 变为变为 B 时，时，E 就变为就变为 P .求逆矩阵的初等行变换法求逆矩阵的初等行变换法第36页/共55页37 特别地，如果特别地，如果 B = E，则由，则由 PA = E，知知 A 可可逆，且逆，且 P

20、= A- -1 ， 得得( A, E ) ( E, A- -1 ) r这便是这便是用初等行变换求逆矩阵的方法用初等行变换求逆矩阵的方法。因此，如果对矩阵因此，如果对矩阵 ( A, E ) 作初等行变换，作初等行变换，那么，当把那么，当把 A 变为变为 E 时，时，E 就变为就变为 A-1 .第37页/共55页38 设设 264211112A的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 F,求求 F，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵 P，使，使 PA = F . 解解 100264010211001112EA23212rrrr 122rr 1024400213300102112132rrrr 234rr

21、3810000123110133101第38页/共55页39 故故 000110101F为为A的行最简形矩阵的行最简形矩阵,而使而使 PA = F 的可逆矩阵的可逆矩阵 .3810123133 P注注：行最简形矩阵行最简形矩阵 F 是是唯一确定的，但唯一确定的，但使使 PA = F 的的可逆矩阵可逆矩阵P 一般一般是不唯一的是不唯一的但当但当 F = E 时，时， P = A-1 是唯一的是唯一的第39页/共55页40. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例2 2 103620012520001321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23r

22、r 111100012520011201第40页/共55页41 111100563020231001312rr 325rr .111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r第41页/共55页42用初等行变换求解矩阵方程用初等行变换求解矩阵方程AX = B的方法的方法设有可逆矩阵设有可逆矩阵 P，使，使 PA = F 为行最简形，则为行最简形，则),(),(PBFBAP 即即( A, B ) ( F , PB ) r 特别地，如果特别地，如果 F = E，则由，则由 PA = E，知知 A 可逆可逆， 且且 P = A- -1 ，得得( A, B

23、) ( E , A-1B ) r这便是这便是用初等行变换求解矩阵方程用初等行变换求解矩阵方程AX = B的方法的方法。第42页/共55页43就是把方程就是把方程 AX = B 的增广矩阵的增广矩阵 (A , B) 化为行化为行最简形，从而求得方程的解最简形，从而求得方程的解. . (A , b)化为行最简形的方法是一样的化为行最简形的方法是一样的.求求A- -1 也就是求方程也就是求方程 AX = E 的解的解.这与求解线性方程组这与求解线性方程组 Ax = b 时，把增广矩阵时，把增广矩阵具体说来：具体说来：第43页/共55页44例例3 3.341352,343122321 , BABAXX

24、，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解122rr 133rr 21rr 23rr 311009152041201 1226209152052321 343431312252321)(BA第44页/共55页45.313223 X）（22 r）（13 r312rr 325rr 311006402023001， 311003201023001第45页/共55页46习题二习题二P56 第第15题题.,2,321011330BBAABA求求矩矩阵阵且且设设 解法二解法二: 由由 AB = A + 2B，得得 (A 2E)B = A , 3211210110113303322AEA由于由于第46页/共55页47 33011001101135231021232rrrr 33011001101102220031rr 0222003301100110112132rrrr 01110032101001101121332rrr 01110032101033000121rr 011321330B第47页/共55页48.1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果