尖子生数列提高之通项公式的求法

1、尖子生数列提高之通项公式的求法因为数列在课本上的内容和习题相对都比较简单，而在考试尤其是高考中数列题目大多数又比较难，有的题目很难、很复杂，显示出很大的反差。使得在学习数列时感到很困难。同时，数列题目种类繁多，很难归类。为了便于研究数列问题，找出其中某些常见数列题目的解题思路、规律、方法，现把一些常见的数列通项公式的求法作以下归类。.一、作差求和法m w.w.w.k.s.5.u.c.o例1 在数列中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则 ，逐项相加得：.故.二、作商求和法例2 设数列是首项为1的正项数列，且（n=1,2,3），则它的通项公式是=（2000年高考15题）解：原递推式可化为： =

2、0 0， 则 ， 逐项相乘得：，即=.三、换元法例3 已知数列，其中，且当n3时，求通项公式（1986年高考文科第八题改编）.解：设，原递推式可化为： 是一个等比数列，公比为.故推荐精选.故.由逐差法可得：. 例4已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。解 由得：，令，则上式为，因此是一个等差数列，公差为1.故.。由于又所以，即 四、积差相消法 例5设正数列，满足= 且，求的通项公式.解 将递推式两边同除以整理得：设=，则=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐项相乘得：=，考虑到，故 . 五、取倒数法推荐精选例6 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个

3、等差数列，首项是，公差为2，所以，即.六、取对数法例7 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=（2002年上海高考题）.解 由题意知0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.七、平方（开方）法例8 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.解 将两边平方整理得。数列是以=4为首项，3为公差的等差数列。因为0，所以。八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例9 若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.解 递推

4、式可变形为 （1）设（1）式可化为 （2）推荐精选比较（1）式与（2）式的系数可得，则有。故数列是以为首项，3为公比的等比数列。=。所以。当n，。数列的通项公式是 。2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例10 在数列中，求通项公式。解：原递推式可化为： 比较系数得=-4，式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2. 即.3、型，可化为的形式。例11 在数列中，当， 求通项公式.解：式可化为：比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化为：推荐精选则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.利用上题结果有：.4、型，可化为的形式。例12 在数列中，=6 求通项公

5、式.解 式可化为： 比较系数可得：=-6， 式为是一个等比数列，首项，公比为.即 故.九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。十、特征方程法（形如是常数）的数列） 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例13已知数列满足，求数列的通项推荐精选解：其特征方程为，解得，令，由，得， 例14已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得， 十一、不动点法（形如的数列） 对于数列，是

6、常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得此方法又称不动点法推荐精选例15已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例16已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，推荐精选强化训练1. 设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求证数列

7、an为等比数列2 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1（）写出求数列an的前3项a1,a2,a3；（）求数列an的通项公式；（）证明：对任意的整数m>4，有.3. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m推荐精选4. 若数列满足：求证：； 是偶数 5. 已知数列，且, 其中k=1,2,3,.（I） 求；（II）求 an的通项公式. 6. 设是常数，且，（）证明：7. 已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式推荐精选

8、8. 已知数列满足，求数列的通项公式。9. 已知数列满足，求数列的通项公式。10. 已知数列满足，求数列的通项公式。11. 已知数列满足，求数列的通项公式。12. 已知数列满足，求数列的通项公式。推荐精选13. 已知数列满足，则的通项14. 已知数列满足，求数列的通项公式。15. 已知数列满足，求数列的通项公式。16. 已知数列满足，求数列的通项公式。17. 已知数列满足，求数列的通项公式。推荐精选18. 已知数列满足，求数列的通项公式。19. 已知数列满足，求数列的通项公式。20. 已知数列满足，求数列的通项公式。21. 已知数列满足，求数列的通项公式。22. 已知数列满足，求数列的通项公式

9、。推荐精选答案：1. 解: ()由,得 又,即,得. ()当n>1时, 得所以是首项,公比为的等比数列2. 解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.由已知得：推荐精选.故( m>4).3. 解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 ,

10、b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）.（2006年安徽卷）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和解：由得：，即，所以，对成立由，相加得：，又，所以，当时，也成立（）由，得而，推荐精选4. 证明：由已知可得：又=而=所以，而为偶数5. 解（）（略） (II) 所以 ，为差型 故=所以an的通项公式为：当n为奇数时，；当n为偶数时， 6. 方法（1）：构造公比为2的等比数列，用待定系数法

11、可知方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从而可以用累加的方法处理方法（3）：直接用迭代的方法处理：7. 分析：-推荐精选由得-由得，得-由得，得 -用代得 -：即- 8. 解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。9. 解：由得则所以数列的通项公式为10. 解：由得则推荐精选所以11. 解：两边除以，得，则，故因此，则12. 解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为推荐精选13. 解：因为所以所以式式得则则所以由，取n=2得，则，又知，则，代入得。14. 解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，

12、代入式，得由0及式，得，则，则数列推荐精选是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。15. 解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式，得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。16. 解：设将代入式，得，则推荐精选等式两边消去，得，则得方程组，则，代入式，得由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。17. 解：因为，所以。在式两边取常用对数得设将式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得推荐精选由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此，则。18. 解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。推荐精选19. 解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当n=1时，所以等式成立。（2）假设当n=k时等式成立，即，则当时，推荐精选由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何20. 解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则+3，即，得。21. 解：