等差数列的前n项和1.PPT

1、等差数列的前n项和 1.等差数列的定义：等差数列的定义： 1(2)nnnaaad n 是是等等差差数数列列2.通项公式：通项公式：1(1) .naand 3.重要性质重要性质:() .nmaanm d .mnpqmnpqaaaa 复习复习 nnnnnaaaaSSnaaaaa.321321表示，即项和，用的前为数列称练习?1163SSSSn11aS Sn-1=a1+a2+a3+-+an-1(n1)Sn-Sn-1=?an思考思考对于一个一般的等差数列，我们应该如何求前对于一个一般的等差数列，我们应该如何求前n项呢？项呢？ 高斯出生于一个工高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，匠家庭，幼时家境贫困，

2、但聪敏异常。上小学四但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置年级时，一次老师布置了一道数学习题：了一道数学习题：“把把从从1 1到到100100的自然数加起的自然数加起来，和是多少？来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索岁的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，这使，这使老师非常吃惊。那么高老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？巧妙地计算出来的呢？ 高斯（高斯（1777-18551777-1855），）， 德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的

3、三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :首项与末项的和：首项与末项的和： 1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和： 299 =101， 第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和： 398 101， 第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa 怎样求

4、一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？ 12,.nnnnanSSaaa 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为即即12.nnSaaa11.nnnSaaa12112()()()nnnnSaaaaaa1().nn aa1211nnnaaaaaa1().2nnn aaS 新课新课倒序倒序相加相加等差数列的前n项和公式1(1)naand2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （公式1公式2dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 思考： na1, , ,nna a n d S项和公式求该数列的前项的和是，前项的和是已知一个等差数列的前例n.12202031010. 2法

5、一12202192020310291010120110daSdaS6, 41da解得nnnnnSn2362) 1(4法二12202)(203102102012010110aaSaaS12262201101aaaannSaddn21346,6010代入，例3.2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”的通知。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“

6、校校通”工程中的总投入是多少？解： 由题意，该市每年在“校校通”上的投入构成首项a1=500，公差d=50的等差数列。所以，到2010年（n=10）投入的资金总额为S10=10*500+10*9/2=7250(万元)答：从2001到2010年，该市在“校校通”的总投入是7250万元差分别是什么？首项和公等差数列吗？如果是，通项公式。这个数列是求这个数列的项和的前已知数列例,21Sna. 42nnnn 分析an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2解：) 1(21) 1(, 121212nnnSnnnSn-，得)1(212)1(21)1(2122nnnnnnann=1时，a1=S1=12+1/2=3

7、/2满足式所以an=2n-1/2题型一）已知前题型一）已知前n n项和项和S Sn n，求通项，求通项a an n的值最大的序号求使得项和为的前已知等差数列例nSSnnn,- ,743 ,724,5.5（1）当数列2n-24前n项之和取得最小值时，n=？练习（2）等差数列an，|a3|=|a9|，d0,S3=S11,则数列的前几项的和最大？7等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：21111222nddSnan ndnan12,22nSAnddABaABnB设则是常数2200,.nnAdSnSAnBnyAxBx当即时是关于 的二次函数式,即的图象是抛物线上的一群孤立的

8、点特征：特征： 2( ,)nnnanSAnBn ABa数列的前 项和为常数 ，则数列是不是一定是等差数列？思考：思考： 22( ,)nnaASAnBn A B是公差为的等差数列为常数结论：结论：2nnanSpnqnr问:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列一定是等差数列吗？2nnanSpnqnr结论:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列是等差数列当且仅当r=0例例1、计算：、计算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462(4)1 23456(21)2 .nnnnn ；(4)1 3 5(21) (2 4 62 ).nn

9、解：原式(1 2) (3 4) (5 6)(21) 2 .nn又解：原式(1)2n n 2n(1)n n11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 举例举例例例2、10, 6, 2,2,54 等差数列前多少项的和是 ？ 1212,10,6( 10)4,54.( -1)-10454262709,3-10 -6 -2 2954nnnanSadSn nnnnnn 设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （ （舍舍去去）因因此此，等等差差数数列列， ， ， ， 前前 项项的的和和是是注：本题体现了方程的思想注

10、：本题体现了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aaSn nSnad（ 123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求 例3、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2Sad又解：1101011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即5 29145. 1102938aaaaaa，整体运算整体运算的思想的思想! !11)21)2nnnn aaSn nSnad（例例4、 2512151636,.naaaaa

11、S 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144. 11)21)2nnnn aaSn nSnad（*5|7 ,100.Mm mn nNm例 、求集合且的元素，并求些元素的和1、一个等差数列前、一个等差数列前4项的和是项的和是24，前，前5项的和项的和与前与前2项的和的差是项的和的差是27，求这个等差数列的通项，求这个等差数列的通项公式。公式。415211124462427(510 )(2)27332(1)21.2nSadSSadadaannd ，解解： 巩固巩固练习练习 61120,

12、.naaS 2 2、 已已 知知 等等 差差 数数 列列中中 ，求求解解:61116202aaaa 11111611()11220.2aaSa 11)21)2nnnn aaSn nSnad（1、用倒序相加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;1n1( ) ()2(1)S2nnn aaSn nnad 2 2、求求和和公公式式 小结小结3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、末项用公式已知首项、末项用公式；已知首项、公差用公式；已知首项、公差用公式.应用求和公式时一定弄清项数应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出

13、当已知条件不足以求出a1和和d时，要认真观察，时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值的值.nn4a nanS、已知数列前 项和 ，求通项公式 的方法； 作业作业P45T1,T2（书上）（书上）P46A：T1-T4；，；，B1-B2（通用练习本）（通用练习本）完成作业本等差数列前完成作业本等差数列前n项和（一）项和（一）nnna对于一般数列前 项和S 与 间的关系：1nnn-1n1an1.S，；SS ，2.3 2.3 等差数列的前等差数列的前n项和项和性质及其应用（上）性质及其应用（上）1.若一个等差数列前若一个等差数列

14、前3项和为项和为34，最，最后三项和为后三项和为146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则这个数列共有，则这个数列共有_项。项。2.已知两个等差数列已知两个等差数列an,bn，它们的前它们的前n项和分别是项和分别是Sn,Tn，若，若.,133299bannTSnn求热身练习热身练习比值问题比值问题整体思想整体思想方法一：方法一：方程思想方程思想10S ，2010SS，3020SS方法二：方法二：成等差数列成等差数列等差数列前等差数列前n项和性质：项和性质：(等差数列等分若干段后等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列各段和依序成等差数列) 12n11221223212233: , ,a

15、,kkkkkkkb bbaaabaaabaaabkd1.已知是公差为d的等差数列，若，则成等差数列公差为: 2nnannAB数列是公差为d的等差数列，则SnSA nBnnSn是等差数列，公差为A. nnn2.aan2nSSdn已知是公差为d的等差数列， 为数列的前 项和，则是等差数列，公差为 .等差数列前项和的最值问题：等差数列前项和的最值问题： 47137 ,0aaa且练习1、已知一个等差数列中满足 .nnnSannS是数列的前 项和，求 为何值时 取最大值9.n解：方法一471437033aada11437(1)()0334naanan 111433()0 .334naanan，练习练习n

16、nSa是数列的前解：方法二471437033aada 11(1)4()233 nn nSnaa21123 5,3 33 3a na n 对称轴 且更接近9，所以n=9.358,94n 47137,0aaa且练习1、已知一个等差数列中满足 nnnS项和，求 为何值时取最大值 n471n2.a3a7aa0,annnnSS练习 已知一个等差数列中满足，且是的前 项和，求 为何值时 取最大值。 n248n1aa0,0n.SSS变式 ：等差数列中，求使得成立的最大自然数 n389n2aaa0,0.SnS变式 ：等差数列中，为何值时 最小？作业 P45 练习T3 （书本） P46 T5-T6，P68 T9

17、 （通用练习本） 完成作业本等差数列前n项和（二）周末别忘了温习哦性质以及应用（下）性质以及应用（下）等差数列奇，偶项和问题等差数列奇，偶项和问题1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差分析：方法一：直接套用公式； 方法二：利用奇数项与偶数项的关系解：方法一： 12112 1112354,26 55.62322,6 527622addadad 练习练习1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差解：方法二： 354,162,32,192,27SSSSSS奇偶奇奇偶偶3065.SSdd偶奇2、已知

18、一个等差数列中d=05， 100145,S1359 9 .aaaa求的 值分析：还是利用奇数项和偶数项之间 的关系，相差一个公差d.解：设13599,aaaax24610050 ,aaaaxd则225145,60.xx1(1)1111 22 3(1)n nn nn例 1： 求 数 列的 前 n项 和S13,2nnaadS12n变式：等差数列中，111为前n项和，求SSS求数列前求数列前n项和方法之一：项和方法之一：裂项相消法裂项相消法设设an是公差为是公差为d的等差数列，则有的等差数列，则有特别地，以下等式都是式的具体应用：特别地，以下等式都是式的具体应用：121121231111nnn-na aaaaa aaa aa(裂项相消法裂项相消法)11nn 11111111n nnn+nn+ 121111212121212121112121nnnnnnnn；1111122112n nnnn n nnn；求和公式：求和公式：所给数列的通项是关