第二章误差与测量不确定度

1、第二章 误差与测量不确定度2.9 用图 2.23中（ a）、（b）两种电路测电阻 Rx，若电压表的内阻为 RV，电流表的内阻为 RI， 求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。解： (a) R'x VIR=RxR rR=RX(b)Rx图 2.23(Rx/Rv)IRx100Rx题 2.9 图RxRvRvRXb）R2XRX RV00RXRXRV1000011 100 1 RVRX在 Rv 一定时被测电阻 RX 越小，其相对误差越小, 故当RX相对 Rv很小时 , 选此方法测量。' V I (Rx RI ) RxIRx RIR R x RxRIrRR 100 00

2、RI 100 00RXRX在 RI 一定时，被测电阻RX 越大 .其相对误差越小 , 故当 RX相对RI 很大时 , 选此方法测量。2.10 用一内阻为 RI 的万用表测量图示电路 A、B 两点间电压， 设 E12V ，R15k ，R220k，求：（1）如 E、R1、R2都是标准的，不接万用表时 A、B 两点间 的电压实际值 UA 为多大 ?（2）如果万用表内阻 RI20k，则电压 UA 的示值相对误差 和实际相对误差各为多大？3）如果万用表内阻 RI lM ，则电压 UA 的示值相对误差和实际相对误差各为多大？解：（1）A、B 两点间的电压实际值 UAER1 R2R21220k 9.6V5k

3、 20k2）UA测量值为： U AR1R2 / RIR2 / RI20k/20k5k 20k/ 20k10k 8.0V5k 10k所以 UA 的示值相对误差Ux8.0 9.68.020%UA 的实际相对误差为U 8.0 9.6U A 9.617%3）UA测量值为： U AR1ERE2 / RI R2 / RI1220k/1M5k 20k / 1M19.6k 9.56V5k 19.6k所以 UA 的示值相对误差U 9.56 9.6Ux9.56UA 的实际相对误差为UA9.56 9.69.60.42%0.42%由此可见，当电压表内阻越大，测量结果越准确。2.11 CD13 型万用电桥测电感的部分技

4、术指标如下：5H1. 1mH 挡： ±2 （读数值 ）±5H；10mH110mH 挡：±2（读数值 ）±0.4（满度值 ）。试求被测电感示值分别为 10H， 800H，20mH ，100mH 时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。L 2% 800 H 5 H16 H 5 H 21 H解：根据误差公式计算各电感误差如下：（1） 10HL 2%10 H 5 H 0.2 H 5 H5.2 HL5.2 HL52%L10 H2） 800HLLL21 H2.6%800 H3)20mHL2%20

5、mH0.4% 110mH0.4mH0.44mH0.84mHL0.84mH4.2%LL20mH4)100mHL2%100mH0.4% 110mH2mH0.44mH2.44mHL2.44mH2.44%LL100mH由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差 影响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一 个临界值：5H1.1mH 档：临界值 L1， 2% L15 H，L1 250 H即当被测电感 L 小于 250H时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。即当被测电感 L 大于 250H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。10mH 11

6、0mH档：临界值 L2， 2% L2 0.5% 110mH ，L2 27.5mH即当被测电感 L 小于 27.5mH 时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。即当被测电感 L 大于 27.5m H 时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。2.12 设两个电阻 Rl (150± 0.6)，R262±0.4%，试求此两电阻分别在串联和并联时的 总电阻值及其相对误差，并分析串并联时对各电阻的误差对总电阻的相对误差的影响 ? 解：( 1)串联时，总电阻值 R串R1 R2 150 62 212R串 (R1R1) (R2R2)(R1 R2 )R1R20.662 0.4%0.60.248 0

7、.848R串0.848R串0.4%R串 R串212( 2)并联时，总电阻值 R并R1R2150 62 43.9并 R1 R2 150 62因式中含有两个变量的乘积项且含有分母，所以用相对误差传递公式较方便，得ln R并ln R并R并并 R1并 R2R1R2ln R并 ln R1 ln R2 ln(R1 R2 )R并R1R1R2R1R2R1 R2R2R2R1 R2R1R1R1R1 R2R2R262150 620.5 150 ( 0.4%)150 150 6262 0.0033150 0.4%0.2046212 2120.6 0.38%212 212由以上计算结果可知， 串联时大电阻 R1 对总电

8、阻误差影响大， 并联时小电阻 R2对总电 阻误差影响大。2.13 检定一只 2.5 级电流表 用哪只最适合，为什么？（ 1）0.5 级 10mA 量程；（ 3）0.2 级 15mA 量程；3mA 量程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选2）4）解： 2.5 级电流表 3mA 量程的绝对误差为级 10mA 量程的绝对误差为级 10mA 量程的绝对误差为级 15mA 量程的绝对误差为级 100mA 量程的绝对误差为（1）（2）（3）（4）由以上结果可知（ 1），（ 2），（ 3）都可以用来作为标准表，而（0. 50. 20. 20. 10.2 级 10mA 量程； 0.1 级 100mA

9、量程。 2.5× 3mA 0.075mA 0.5× 10mA 0.05mA 0.2× 10mA 0.02mA 0.2× 15mA 0.03mA 0.1× 100mA 0.1mA 4）的绝对误差太大，其中（ 1），（2）量程相同，而（ 3）的量程比（ 1），（ 2）大，在绝对误差满足要求的情况下， 应尽量选择量程接近被检定表量程，但（2），（ 3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是 0. 2 级 10mA 量程的。2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为 90W，其允许误差为± 30，检 定时用标准功率计去测量信

10、号源的输出功率，正好为 75W。问此信号源是否合格 ? 解：信号源频率的测量绝对误差为75W90W 15W2.17 方法 方法1516.7% 30% ，所以此信号源合格。90两种不同的方法测量频率，若测量中系统误差已修正，所测得的频率的单位为1 100.36 100.41 100.28 100.30 100.322 100.33 100.35 100.28 100.29 100.30相对误差为kHz。靠？解：100.31 100.37 100.29100.29（1）若分别用以上两组数据的平均值作为该频率的两个估计值，问哪一个估计值更可（2）用两种不同方法的全部数据，问该频率的估计值（即加权平均

11、值）为多少？1）方法 1：100.00 0.01 1 8 (36 41 28 30 32 31 37 29) 100.330kHz8i1次数123456781f/kHz100.36100.41100.28100.30100.32100.31100.37100.292残差（ 10 2kHz）38-5-3-1-24-4标准偏差估值 s( f1)1 ( fi f 1)21 32 827 i 13 87i12 2 2 ( 4)2 (10 2)22 2 2 2 2( 5)2 ( 3)2 ( 1)2 ( 2)2 421 8 2 2 9 64 25 9 1 4 16 16 (10 2 )27i11 144

12、10 4 0.045 kHz7算术平均值的标准差：s( f1)s( f1)n0.0450.0159kHzf2 100.00 0.01标准偏差估值 s（ f2 ）1615i12.324.322( 2.7)22 2 2 2 2 ( 1.7)2 1.32 ( 1.7)2 (10 2 )2同理可求出方法 2 的标准偏差估值，次数123456f/kHz100.33100.35100.28100.29100.30100.29残差（ 102kHz）2.34.3-2.7-1.71.3-1.766i1(33 35 28 29 30 29)100.307 kHzf2)251i6138.54 10225.29 18

13、.49 7.29 2.89 1.69 2.89 (10 2)20.027 kHz算术平均值的标准差：s(f2)s( f2) 0.0270.0110kHz由此可见方法 2 测得的数据更为可靠。2)由 xm xi2im1 s1i 得 f2 i 1 si100.330 100.307220.0159 0.011100.31kHz11220.01592 0.0112该频率的估计值为 100.31kHz 。2.18 设对某参数进行测量，测量数据为1464.3，1461.7，1462.9， 1463.4，1464.6，1462.7，试求置信概率为 95%的情况下，该参量的置信区间。解：因为测量次数小于 2

14、0，所以测量值服从 t 分布， 第一步：求算术平均值及标准偏差估值14601 (4.3 1.76i1次数123456x1464.31461.71462.91463.41464.61462.7残差1.0-1.6-0.40.11.3-0.62.9 3.4 4.6 2.7)1463.3标准偏差估值 s(x) 1 (xi x) 25 i 1165i11.02( 1.6)2 ( 0.4)2 0.12 1.32( 0.6)21.07算术平均值标准偏差估值s(x)s(x) 1.07 0.43766第三步：估计该参量的置信区间 x ts(x),x ts(x) ，其中第二步：查附录B：t分布表，由 n1=5及

15、P=0.95，查得 t=2.571ts(x) 2.571 0.437 1.123则在 95%的置信概率下，电感 L 的置信区间为 1462.3 ，1464.3 。2.19 具有均匀分布的测量数据，当置信概率为100时若它的置信区间为 E(X) k(X) ，E(X) k(X) ，问这里 k应取多大？ 解：依题意得E(X ) k (X)E(X) k (X)P(X)dx 100% 由均匀分布可得 P(X)baE(X) xP(X)dx x 1 dx a ba b a 22(x)x E(X)2 p(X)dxbaxa b 21 dxba(b a) 212(x)12 2 3代入E(X) k (X )E(X

16、) k (X)P(X)dx2k (X)ba2k 2 3bak100% ，解得 k461 (0.98 0.97 0.9610 i 10.96 0.810.95 0.92 0.94 0.93 0.91)2.20 对某电阻进行了 10 次测量，测得数据如下：次数12345678910R/k46.9846.9746.9646.9646.8146.9546.9246.9446.9346.91问以上数据中是否含有粗差数据？若有粗差数据，请剔除，设以上数据不存在系统误差 在要求置信概率为 99%的情况下，估计该被测电阻的真值应在什么范围内？ 解：先求得被测电阻的平均值46.933 k 次数123456789

17、10R/k46.9846.9746.9646.9646.8146.9546.9246.9446.9346.91残差 103 k47372727-12312-137-3-23标准偏差估值 s(R)(RiR)21 101 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 472 372 272 272 ( 123)2 122 ( 13)2 72 ( 3)2 ( 23)2 (10 3)29i10.049K 按格拉布斯检验法，在置信概率为99%的情况下， n10 查表得 G2.41Gs 2.41 0.049 0.118G 2.325 0.123，剔除 R5 后重新计算判别， 得 n9，Pc99%时，R

18、469i1(0.98 0.97 0.96 0.96 0.95 0.92 0.94 0.93 0.91)46.947 k191 22 2 2 2 2 2 2 2 3 2s(R) 472372272272122( 13)272( 3)2( 23) 2(10 3) 28i10.023KGs 2.32 0.023 0.053可见余下数据中无异常值。2.21 对某信号源的输出频率 fx 进行了 10 次等精度测量， 结果为 110.050，110.090，110.090， 110.070，110.060，110.050，110.040，110.030，110.035，110.030(kHz)，试用马利科

19、夫及 阿卑 - 赫梅特判剧判别是否存在变值系差。解：输出频率 fx 的平均值 fx1fx 110 0.001 (50 90 90 70 60 50 40 30 35 30)10110.0545 110.054( 45 355 55) ( 45 145245) 10 4 1750 10 4 | iMAX |故存在累进系差b）由阿卑 -赫梅特判据得：n1i i 1 0.00135 0.0009 i10.00075 0.00485n1i i 1i1( 45) 355 355 355( 245) ( 195) ( 195)( 245) 10-15975 126025 55025 85252475 35

20、525 47775 4777510次数12345678910fx/kHz110.050110.090110.090110.070110.060110.050110.040110.030110.035110.030残差104 kHz-4535535515555-45-145-245-195-245a）由马利科夫判据得：n/2nDii1i n/ 2 1349975 10-80.003510标准偏差估值 s2( fx)9i1( fif)2102( 45)2235522 2 4 2( 195)2 ( 245)2 (10 4)2i11 10402470 109i10.0005n 1s2 (x)9 0.0

21、005 0.0015vivii10.0035 n 1s2(x) 0.0015故存在变值系差n12.23 采用微差法测量一个 10V 电源，使用标准为标称相对误差为±0.1的 9V 稳压电源。若要求测量误差 Uo/U o<± 0.5，电压表量程为 3V，问选用几级电表 ?解：由题意及微差法误差公式得U0U0AAAB这里标准量 B 为 9V，微差 A 为 1V ，标准相对误差为± 0.1U0U0A1.0.1% 0.5%19可得A 3.6%AUm3.6%31.2%所以选用 3V 量程的 1 级电压表即可。2.24 按公式4Ld2R测量金属导线的电导率，式中 L 为

22、导线长度 (cm) ，d 为截面直径 (cm)，R 为被测导线的电阻 ( ) 。试说明在什么测量条件下误差最小？对哪个参量要求最高？解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。ln L ln dlnln 4 ln L lnln L2lndlnRLdR2LdRln2lnd ln R由上式可知对截面直径 d 的要求最高。2.25 通过电桥平衡法测量某电阻，由电桥平衡条件得出 Rx R3C4 ，已知电容 C2 的允许 C2解： ucA1 1 2 4 4 2 3误差为± 5，电容 C4的允许误差为± 2，R3 为精密电位器，其允许误差为± 1，试计 算 Rx 的相对误差为多少？ 解：因为公式中含有分子和分母，用相对误差传递公式较方便。ln Rxln Rxln RxRxR3C4C2R3C4C2ln Rxln R3ln C4lnC2R3C4C2RxR3C4C21%2% (5%)8%2.27 设某测量结果有关 A 类不确定度如下表所示，求