专题三等角型相似三角形

1、专题:三等角型相似三角形一、【基本图形】三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：二、【典型例题】【例1】如图，在ABC中， ABAC=4，BC6， BADE，点D、E分别在BC、AC上（点D与B、C不重合），设BDx，AEy，AD=z （1）求cosB； （2）求证ABDDCE； （3）求y与x之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围； （4）求z与x之间的函数关系式; （5）当点D在BC上移

2、动时，ADE是否有可能是一个直角三角形？若有可能请求出BD的长；若不能请说明理由； （6）当点D在BC上移动时，ADE是否有可能是一个等腰三角形？若有可能请求出BD的长；若不能请说明理由； （7）当点D在BC上移动时，是否存在以D为圆心、DB为半径的圆与半径为1的圆A相切，若存在，求出DB的值，若不存在，请说明理由.【思路分析】解：(1) 过点A作AFBCAB=AC=4AFBCBF=CF=12BC=3cosB=BFAB=34(2)ADC=ADE+EDC=B+BADB=ADEEDC=BADAB=ACB=CABDDCE(3)ABDDCEABDC=BDECBD=x，AE=yDC=

3、6-x,EC=4-y46-x=x4-yy=14x2-32x+40<x<6(4)AB=4，BF=3AF=7DF=|3-x|AD2=DF2+AF2z=x2-6x+16（5）ADE=BADE不可能为直角 当DAE=90°时AD2+AC2=DC2x2-6x+16+16=6-x2x=23BD=23 当DEA=90°时DEA=90°DEC=90°ABDDCEADB=DEC=90°BD=3（6）当AD=DE时ABDDCEABDC=ADEDAB=DC 6-x=4 x=2BD=2当AD=AE时ADE=AEDADE=B=CC=AED点E与点C重合，点D

4、与点B重合BD=0当AE=DE时ADE=DAE=B=CADEBCADEAD=ABBC=46=23ABDDCEDEAD=DCAB6-x4=23x=103BD=103(7)AD=BD+1z=x+1x2-6x+16=x+1 x=158BD=158【例2】已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么EDCBAP当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写

5、出函数的定义域；当时，求BP的长【思路分析】解：（1）在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，B=CBE=2,BP=2,CP=4,CD=4，BEPCPD(2)又EPF=C=B，BEPCPF，（）当点F在线段CD的延长线上时FDM=C=B，BEPDMF，又，0，此方程无实数根，故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使当点F在线段CD上时，同理BEPDMF，又BEPCPF，解得 ，由于不合题意舍去，即BP=1所以当时，BP的长为1三、【强化练习】1.如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，EDF=B，CDEABF求证：BDEDFE2.如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为

6、BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=y求y与x的函数解析式，并写出函数自变量取值范围；ABCPM（3）当APM为等腰三角形时，求PB的长ABPCMABCPQ3.（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.ABC备用图若点在线段上（如图10），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的自变量取值范围；ABCD图12（2）正方形的边长为（如图12），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.ABCDEF4.已知：如图，

7、在ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上又点F在边AC上，且(1) 求证：FCEEBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由CPEABD5.如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。CPEABF6如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB

8、与E，PFBC交AC与F，设PC=x，PEF的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）若PEF为等腰三角形，求PC的长。7.已知在等腰三角形中，是的中点，是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.（1）求证：；（2）设.用含的代数式表示；求关于的函数解析式，并写出的取值范围.8.等腰ABC，AB=AC=，BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时求证：B

9、PECFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F 探究：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论） 探究：连结EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由； 设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S9.如图所示，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若AE=1，试求GMN的面积C

10、DABP10.已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的自变量取值范围；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）11.如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=BC=6，AD=3点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF（1）求证：MEFB

11、EM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长12.已知：如图，直角梯形ABCD中，ADBC，AMDC，E、F分别是线段AD、AM上的动点（点E与A、D不重合）且，设AEFDBMC，.（1）求证：；（2）求与的函数关系式并写出自变量取值范围；（3）若点E在边AD上移动时，为等腰三角形，求的值；专题十三等角型相似三角形参考答案1.AB=AC，EDF=BB=C=EDFEDC=EDF+FDC=B+BEDBED=FDCBDECFD又BD=CD即EDF=BBDEDFE2.解：（1）AB=AC，APM=BAPM=B=CAPC=APM+MPC=B+BAPBAP=MPC

12、ABPPCM（2）BP=x，CM=y，CP=8-x（3）当AP=PM时PC=AB=5BP=3当AP=AM时APM=B=CPAM=BAC即点P与点B重合BP=0当MP=AM时MAP=MPAMAPABC即BP=3.解：（1），.又，.，.（2）若点在线段上，由（1）知.，又，即.ABC图11PQ故所求的函数关系式为，.若点在线段的延长线上，如图11. ，.又，. ，即.（2）当点在线段上，或.当点在线段的延长线上，则点在线段的延长线上，.当点在线段的延长线上，则点在线段的延长线上，.4.（1）AB=ACB=CBED+DEF=C+EFC=90°又BED=EFCFCEEBD（2）BD=x，B

13、E=，FCEEBD若BD不存在5.（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDPABDDCE（2）DPE=B90°若PDE=90°，在RtABH和RtPDE中cosABH=cosDPE=CPEABDHPC=4 若PED=90°在RtABH和RtPDE中cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）综上所述，BD的长为6.（1）PEBEPCCPEABFGHM（2）PC=x，即（3）当PE=PF时，EPCPEB，PC=BE=x，当PE=EF时，cosEPH=cosB，当FE=PF时， cosFPM=cosB，综上所述，PC的长分

14、别为、7.解：（1）,又,（2），是的中点，又当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，过点作DGAB,交于点，当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，8.（1）在ABC中，BAC=120°，AB=AC，B=C=30°，B+BPE+BEP=180°，BPE+BEP=150°，EPF=30°，又 BPE+EPF+CPF=180°，BPE+CPF=150°，BEP=CPF ，BPECFP （2）BPECFP BPE与PFE相似。 同（1）可证BPECFP，得EP/BP=PF/FC，CP=BP，EP/CP=PF/FC， 又EBP=E

15、PF，BPEPFE 由得 BPEPFE，BEP=PEF，分别过点P作PMBE，PNEF，垂足分别为M、N，则PM =PN 连AP，在RtABP中，由B =30°，AB=8可得AP=4，PM=23 ，PN=23 ，S= 1/2× PN×EF= 3m9.（1）BEFAMECFNGMN；（2）在BEF与AME中，B=A=60°，AEM+AME=120°，GEF=60°，AEM+BEF=120°，BEF=AME，BEFAME；（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，BEFAME，BE：AM=BF：AE，即：x：

16、AM=2：（3-x），AM=（-x2+3x2）/2，同理可证BEFCFN；BE：CF=BF：CN，即：x：1=2：CN，CN=2/x，AC=AM+MN+CN，y=（x3-3x2+6x-4）/2x（1x3）；（ii）当点E在线段AB上，点G在ABC内时，如备用图一，同上可得：AM=-x2+3x2，CN=2x，AC=AM+CN-MN，3=-x2+3x2+2x-y，y=（-x3-3x2+6x-4）/2x（0x1）；（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=x2-3x2，CN=2x，AC=MN+CN-AM，3=y+2x-x2-3x2，y=（x3-3x2+6x-4）/2x（x3）；综上所

17、述：y=（-x3-3x2+6x-4）/2x（0x1），或y=（x3-3x2+6x-4）/2x（x1）；（4）（i）当AE=1时，GMN是边长为1等边三角形，SGMN=12×1×32=34；（1分）（ii）当AE=1时，GMN是有一个角为30°的Rt，x=4，y=43-3×42+6×4-42×4=92，NG=FG-FN=4×32-1×32=332，SGMN=12×332×92=273810.（1）证明：ABP180°AAPB，DPC180°BPCAPB，BPCA，ABPDPC在

18、梯形ABCD中，ADBC，ABCD，ADABPDPCCDABPQE解：设APx，则DP5x，由ABPDPC，得，即解得x11，x24，则AP的长为1或4（2）解：类似（1），易得ABPDPQ，即，得，1x4AP2或AP311.解：（1）.证明:AB=CD.梯形ABCD为等腰梯形,B=C;又EMF=B,则:CMF=180度-EMF-BME=180度-B-BME=BEM.CMFBEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.MF/EM=BM/BE;EMF=B.MEFBEM.（2）.:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.EFBC;又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;当ME=BM=3时:MEB=B=C=FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,则四边形ABMD为平行四边形.DMC=B=FMC,即F与D重合,此时EF=CD=6.（3.）EFCF;CFM=BME=EFM.EFM=45°=BME.作EGBM于G,则E