卷积与傅里叶变换攻略

1、Only for DM07大家都知道，傅里叶和卷积之间变换和证明的题目是图像处理中最难的一块，我这里写一下我的心得以及收集的一些例题。首先第一个问题，定义公式太多，而且又很复杂。其实呢，真正有用的公式只有4个。课本里的公式只是同一个公式在离散空间、连续空间、一维空间、二维空间的不同应用。我们理解哪一个？只要理解离散二维空间中的傅里叶变换公式：M-i N-12 * (LlI：j< = 0 i'= 0很多人又奇怪了，为什么有的公式里有三角函数？其实是因为应用了一个欧拉代换，朝姐姐讲到这个代换的时候总是一句话带过，还真以为我们高中学过了。d"二 cosQ + jsinQ也就是

2、说，有了上面三个公式，我们就可以在所有傅里叶定义之间切换，但是实际做证明题的时候也只需要这三个公式。接着记住，傅里叶只有一个性质一一平移性质。期中考最后一题我就是因为当时还没认识到这个性质的使用。f(x)ej2nu0x/MOF(u - u0) f(x - Xo) <=>F(u)e'j2V/M上面那个0是属于x的，X0,这是一维的，找不到二维的公式，但因为XY方向是无关的，所以如果同时移动 x和y方向只要将E 0 再乘多一个上去。注意这里j的符号，以及将 x替换为y，M替换为N, u替换为V。最后的最后还要知道一个大前提，那就是卷积定理，证明一般从它开始。F(u, v) Of

3、(瓦丫)的傅里叶变换Hu, v)oh(冷y)的傅里叶变换f(x, y)*h(xy y) OF(uf v) H(u, v)f(x,y)h(x, y) oF(u, v)*H(u, v)漏了一个常用的傅里叶变换一一二阶二维拉普拉斯算子变换，虽然可以通过以上公式推导, 但是记住它可以节省较多的时间。y)J = ( u2 4 v1) F( u, v)课本210页要折起来，全部公式都在里面。期中试题最重要，这里做多一遍：1.设仅利用像素点(x, y)的4-近邻像素(不用点(x, y)组成一个低通滤波器。(1) 给出它在频域的等价滤波器 H ( u, v);(2) 证明所得结果确实是一个低通滤波器。已知：f

4、(x,y)*h(x,y) = 1/4f(x-1,y) + f(x+1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1)j2 n u/M-j2 n u/M-j2 n v/Nj2 n v/N_F(u,v)*H(u,v) = 1/4F(u,v)e+F(u,v) e+F(u,v) e+F(u,v) e =F(u,v)*1/2cos(2n u/M)+ cos(2 n v/N)=F(u,v)*1/4cos(2n u/M)+j*sin(2n u/M)+ cos(2n u/M)-j*sin(2n u/M)+cos(2n v/N)+j*sin(2nv/N)+ cos(2n v/N)-j*sin(2n v/N)=

5、F(u,v)*1/42 cos(2n u/M)+2 cos(2n v/N)等式两边同除以F(u,v)，得 H(u,v)= 1/2cos(2 n u/M)+ cos(2 n v/N)可见，当u=v=0,即取中心点时，H ( u, v)取最大值1，所以是低通滤波器。从上面证明过程可以看出，依次使用了卷积定理、 题中文版。平移性质、欧拉定理。以下是相关课后习沪八学+驾-证明如式：所示的拉普拉斯变换是各向同性的（旋转不变）F列轴旋转若角的坐标方程：其中-'为非旋转坐标，而 为旋转坐标。7l胆f1i卩I 7-i/ 5111 (1 Jlld .i ! 4 "冷 JI ：r fi3/匹竺旳

6、，比訂”Jj' tkr1ihf thJ町讨”rob； () sut V j Itt it»i)frf<7/彷Frir th/ rOf ,ZJ、:li Hin*r Ac二.使用式 叭二 g +1,刃 +了（工丿 + 1） +/0J- 1）一4/（.刃给出的拉普拉斯变换的定义，证明将一幅图像减去其相应拉普拉斯图像等同于对图像做反 锐化掩模处理。考虑到以下公式：打/' I'j'r #/gf) /( j, jy)乳儿刃表示了（2）的平均值在一个预先确定的附近是的圆心，包括中心的我们可以像素和它的四个紧靠着的点。在上述的公式最后一条行中的注入常数如比例因素

7、,得出：这个等式的右边被看作是公式汇L V . ；的反锐化掩模定义。从而,就证明了，将一幅图像减去其相应拉普拉斯图像等同于对图像做反锐化掩模处理。证明式子 耳/仪)(-1)呵匸仪一拥7野一皿2 的正确性。我们首先知道/ -山时=+诃，于是:匚甲 I叭上+时(4- ry/JV00y v “心-饷（-钳-帰） j/iV L 1 L八佃J斛 INI£SAr/i<j2w（小_ 呼 /Wj0Fu - Mj'l.r- .V/?L四说明二维正弦函数的傅里叶变换-' '' '" ：1''十'1是共轭脉冲对:提示：用式=

8、(/ (兀丁*皿"曲卿幺血JflQ的连续傅里叶变换并以指数项描0述正弦。/八仆-细"4切血创00沁小也0运用正弦函数的指数、幕定义:鈕心矛（宀心）I I好（几“瓯 4 弘丫/加人-vjf）从而得出:（厂了环口沪,r* 珂叩aw” -j2y（ur +j _以下是函数的傅里叶变换:I x丿加（叱曲洋® +巾劭焊刘和:X+ -itoj/ !fer )1的傅里叶变换给了最初的动力，而指数替换了最初的动力，因此:-:静止，并用均匀加速五考虑在x方向均匀加速导致的图像模糊问题。如果图像在心（0二皿"2加速，对于时间T,找出模糊函数 疔 U ，可以假设快门开关时间忽略不计。7/1/(JTUaii iii .： fi":v> iftf f/ MX1( JT WtfjS(y/7ruaTf)，这是涅耳余弦和正弦的积分。六.获得对应于式子】叭彰咋坨*到式子。（込巧5 -wwD0-y<Dv）<D0+-WD&E%十壬'的带阻滤