第13讲 鸡兔同笼问题与假设法

1、第第13讲讲 鸡兔同笼问题与假设法鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。以计算。 例例1 小梅数她家的鸡与兔，数头小梅数她家的鸡与兔，数头有有16个，数脚有个，数脚有44只。问：小梅家的只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？鸡与兔各有多少只？ 分析：假设分析：假设16只都是鸡，那么就只都是鸡，那么就应该有应该有21632（只）脚，但实际上（只）脚，但实际上有有4

2、4只脚，比假设的情况多了只脚，比假设的情况多了44-3212（只）脚，出现这种情况的原因是（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了只，头的数目不变，脚数增加了2只。只。因此只要算出因此只要算出12里面有几个里面有几个2，就可以，就可以求出兔的只数。求出兔的只数。 解：有兔（解：有兔（44-216）（4-2）=6（只），（只）， 有鸡有鸡16-610（只）。（只）。 答：有答：有6只兔，只兔，10只鸡。只鸡。 当然，我们也可以假设当然，我们也可以假设1

3、6只都是只都是兔子，那么就应该有兔子，那么就应该有41664（只）（只）脚，但实际上有脚，但实际上有44只脚，比假设的情只脚，比假设的情况少了况少了644420（只）脚，这是因（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少每换一只，头的数目不变，脚数减少了了4-22（只）。因此只要算出（只）。因此只要算出20里里面有几个面有几个2，就可以求出鸡的只数。，就可以求出鸡的只数。 有鸡（有鸡（416-44）（4-2）=10（只），（只）， 有兔有兔16106（只）。（只）。 由例由例1看出，解答鸡兔同笼问题通看出，解答鸡兔同笼问题通常

4、采用假设法，可以先假设都是鸡，常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。换问题。 例例2 100个和尚个和尚140个馍，大和尚个馍，大和尚1人分人分3个馍，小和尚个馍，小和尚1人分人分1个馍。问：大、个馍。问：大、小和尚各有多少人？小和尚各有多少人？ 分析与解：本题由中国古算名题分析与解：本题由中国古算名题“百百僧分馍问题僧分馍问题”演变而得。如果将大和演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可

5、以腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。用假设法来解。 假设假设100人全是大和尚，那么共需人全是大和尚，那么共需馍馍300个，比实际多个，比实际多300140160（个）。现在以小和尚去换大和尚，（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少每换一个总人数不变，而馍就要减少312（个），因为（个），因为160280，故小和尚有故小和尚有80人，大和尚有人，大和尚有 1008020（人）。（人）。 同样，也可以假设同样，也可以假设100人都是小和人都是小和尚，同学们不妨自己试试。尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一在下面的例题中，我们只给出一种假设方

6、法。种假设方法。 例例3 彩色文化用品每套彩色文化用品每套19元，普通文元，普通文化用品每套化用品每套11元，这两种文化用品共元，这两种文化用品共买了买了16套，用钱套，用钱280元。问：两种文化元。问：两种文化用品各买了多少套？用品各买了多少套？ 分析与解：我们设想有一只分析与解：我们设想有一只“怪鸡怪鸡”有有1个头个头11只脚，一种只脚，一种“怪兔怪兔”有有1个个头头19只脚，它们共有只脚，它们共有16个头，个头，280只只脚。这样，就将买文化用品问题转换脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。成鸡兔同笼问题了。 假设买了假设买了16套彩色文化用品，则套彩色文化用品，则共需共需1

7、916304（元），比实际多（元），比实际多30428024（元），现在用普通（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用套少用19118（元），所以（元），所以 买普通文化用品买普通文化用品 248=3（套），（套）， 买彩色文化用品买彩色文化用品 16313（套）。（套）。 例例4 鸡、兔共鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？只。问：鸡、兔各多少只？ 分析：假设分析：假设100只都是鸡，没有兔，只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多这样鸡脚比兔

8、脚多200只，而实际上只只，而实际上只多多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多的数比实际上多20020=180（只）。（只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少减少2只，兔脚增加只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少脚多的脚数中就会减少426（只），（只），而而180630，因此有兔子，因此有兔子30只，鸡只，鸡1003070（只）。（只）。 解：有兔（解：有兔（2100-20）（24）30（只），（只）， 有鸡有鸡100-30=70（只）。（只）。 答：有鸡答：有鸡70只，兔只，兔30只。只。 例例5

9、现有大、小油瓶共现有大、小油瓶共50个，每个大个，每个大瓶可装油瓶可装油4千克，每个小瓶可装油千克，每个小瓶可装油2千千克，大瓶比小瓶共多装克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：千克。问：大、小瓶各有多少个？大、小瓶各有多少个？ 分析：本题与例分析：本题与例4非常类似，仿照非常类似，仿照例例4的解法即可。的解法即可。 解：小瓶有（解：小瓶有（450-20）（42）30（个），（个）， 大瓶有大瓶有50-3020（个）。（个）。 答：有大瓶答：有大瓶20个，小瓶个，小瓶30个。个。 例例6 一批钢材，用小卡车装载要一批钢材，用小卡车装载要45辆，辆，用大卡车装载只要用大卡车装载只要36辆。已知每辆大

10、辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批吨，那么这批钢材有多少吨？钢材有多少吨？ 分析：要算出这批钢材有多少吨，分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。少吨。 利用假设法，假设只用利用假设法，假设只用36辆小卡辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下吨，所以要剩下436=144（吨）。根据条件，要装（吨）。根据条件，要装完这完这144吨钢材还需要吨钢材还需要45-36=9（辆）（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装小卡车。这样每辆小卡车

11、能装144916（吨）。由此可求出这批钢材有（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。多少吨。 解：解：436（45-36）45720（吨）。（吨）。 答：这批钢材有答：这批钢材有720吨。吨。 例例7 乐乐百货商店委托搬运站运送乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费只花瓶，双方商定每只运费0.24元，元，但如果发生损坏，那么每打破一只不但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，元，结果搬运站共得运费结果搬运站共得运费115.5元。问：搬元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？运过程中共打破了几只花瓶？ 分析：假设分析：假设500只花瓶

12、在搬运过程只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费中一只也没有打破，那么应得运费0.24500=120（元）。实际上只得（元）。实际上只得到到115.5元，少得元，少得120-115.5=4.5（元）。搬运站每打破一只花瓶要损（元）。搬运站每打破一只花瓶要损失失0.241.261.5（元）。因此共打（元）。因此共打破花瓶破花瓶4.51.53（只）。（只）。 解：（解：（0.24500115.5）（0.241.26）3（只）。（只）。 答：共打破答：共打破3只花瓶。只花瓶。 例例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了了2分钟，然后两人各跳了分钟，然后两人各跳了3分钟

13、，一分钟，一共跳了共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟下。已知小喜比小乐每分钟多跳多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？多少下？ 分析与解：利用假设法，假设小喜的分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了人跳的总数减少了 12（23）60（下）。（下）。 可求出小乐每分钟跳可求出小乐每分钟跳 （78060）（233）90（下），（下）， 小乐一共跳了小乐一共跳了903=270（下），（下），因此小喜比小乐共多跳因此小喜比小乐共多跳 7802702240（下）。（下）。 1鸡、兔共有头鸡、兔共有头

14、100个，脚个，脚350只，只，鸡、兔各有多少只？鸡、兔各有多少只？ 2学校有象棋、跳棋共学校有象棋、跳棋共26副，副，2人下一副象棋，人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好人下一副跳棋，恰好可供可供120个学生进行活动。问：象棋与个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？跳棋各有多少副？ 3班级购买活页簿与日记本合计班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱本，花钱74元。活页簿每本元。活页簿每本1.9元，元，日记本每本日记本每本3.1元。问：买活页簿、日元。问：买活页簿、日记本各几本？记本各几本？ 4龟、鹤共有龟、鹤共有100个头，鹤腿比个头，鹤腿比龟腿多龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？只。问：龟

15、、鹤各几只？ 5小蕾花小蕾花40元钱买了元钱买了14张贺年卡张贺年卡与明信片。贺年卡每张与明信片。贺年卡每张3元元5角，明信角，明信片每张片每张2元元5角。问：贺年卡、明信片角。问：贺年卡、明信片各买了几张？各买了几张？ 6一个工人植树，晴天每天植树一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树棵，雨天每天植树12棵，他接连几棵，他接连几天共植树天共植树112棵，平均每天植树棵，平均每天植树14棵。棵。问：这几天中共有几个雨天？问：这几天中共有几个雨天？ 7振兴小学六年级举行数学竞赛，共振兴小学六年级举行数学竞赛，共有有20道试题。做对一题得道试题。做对一题得5分，没做或分，没做或做错一题都要

16、扣做错一题都要扣3分。小建得了分。小建得了60分，分，那么他做对了几道题？那么他做对了几道题？ 8有一批水果，用大筐有一批水果，用大筐80只可装只可装运完，用小筐运完，用小筐120只也可装运完。已知只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运每只大筐比每只小筐多装运20千克，千克，那么这批水果有多少千克？那么这批水果有多少千克？ 9蜘蛛有蜘蛛有8条腿，蜻蜓有条腿，蜻蜓有6条腿和条腿和2对翅膀，蝉有对翅膀，蝉有6条腿和条腿和1对翅膀。现有对翅膀。现有三种小虫共三种小虫共18只，有只，有118条腿和条腿和20对对翅膀。问：每种小虫各有几只？翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10鸡、兔共有脚鸡、兔共有脚100只，若将鸡只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。只。问：鸡、兔各几只？问：鸡、兔各几只？ 练习练习13 1.兔75只，鸡25只。 2.象棋9副，跳棋17副