专题与圆有关的最值问题

1、 B yCxAOD BOC ABOyAx PBOyAxPBOyAxP 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设tanBOC=m，则m的取值范围是_ 引例2：如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作D，以O为圆心OA长为半径作O，C为半圆弧?AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交O于点E，BC=a，AC=b，求ab?的最大值. 引例3：如图，BAC=60°，半径长为1的圆O与BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长 为半径的圆P交射线AB、AC于D、E 两点

2、，连接DE，则线段DE长度的最大值为( ). A3 B6 C332 D33 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3引例3：本例动点的个数由

3、引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1直观感觉，画出图形； 2特殊位置，比较结果； 3理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，

4、建立等式，进行转化. 三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用 如图，A点的坐标为（-2，1），以A为圆心的A切x轴于点B，P()ab，为A上的一个动点，请分别探索：ba?的最大值；ba?的最小值；ba?的最大值；ba?的最大值； B A C MDDOPCBA 【拓展延伸】：2ba?的范围；2ba?的范围； 例二、圆外一点与圆的最近点、最远点 1 如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 2如图，O的直径为4，C为O上一个定点，ABC=30°，动点P从A点出发沿

5、半圆弧?AB向B点运动（点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达 B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB 的延长线于D点 （1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为 ； （2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为 . 例三、正弦定理 1如图，ABC中，BAC=60°，ABC=45°，AB=22 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为 2. 如图，定长弦CD在以AB为直径的O上滑动（点C、D与点A、 B不重合），M是CD的中点，过点C作CPAB于点P，若CD=3，AB=8，

6、则PM长度的最大值是 例四、柯西不等式、配方法 1如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C ，PC与O 交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2x4），则当x= 时，PD?CD的值最大，且最大值是为 . OAB COPQANMB ACO DODCEAB 2如图，线段AB=4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边ACD和等边BCE，O外接于CDE ，则O半径的最小值为( ). A.4 B.233 C.322 D. 2 3在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O， P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作

7、O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，线段AB长度的最小值是 . 例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 1如图，在RtABC中，C=90 °，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是 . 2如图，RtABC中，C=90°，A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作O，若O与边 BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是 . 3如图，射线PQ射线MN，PMMN，A为PM的中点，O为射线PQ上的一个动点，ACAB交MN于点C，当以O为圆心，以OB为半径的圆与线段PM有公

8、共点时（包括P、M两点），则线段OP长度的最小值为 . l QPN MABCFECBAOG DOABDCP例五、其他几何知识的运用 如图所示，ACAB，AB=6，AC=4，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DECD交直线AB于点E，设DAB=?，（0°?90°）若要使点E在线段OA上（包括O、A 两点），则tan?的取值范围为 . 【题型训练】 1如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在 O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O的半径r的取值范围为 . 2已知：如图，RtABC

9、中，B=90o， A=30o，BC=6cm，点O从A点出发，沿AB以每秒3cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒(t0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点，过E作EGDE交射线BC 于G. （1）若点G在线段BC上，则t的取值范围是 ； （2）若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是 . 3如图，M，N的半径分别为2cm，4cm，圆心距MN=10cmP为M上的任意一点，Q为N上的任意一点，直线PQ与连心线l所夹的锐角度数为?，当P 、Q在两圆上任意运动时，tan?的最大值为( ). (A)612 (B)43 (C)33 (D)34 4如图，在矩形ABCD中

10、，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作D ，P为D 上的一个动点，连接AP、 OP，则AOP面积的最大值为( ). (A)4 (B)215 (C)358 (D)174 AQC P BOAD BCE FCADBQ POAxyP5如图，在RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ 长度的最小值是( ). A194 B245 C5 D42 6如图，在等腰RtABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E 不与点 A重合），过A、D、E三点作 O，

11、O交AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为 7如图，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D是C上的一个动点，线段DA与 y轴交于点E，则ABE 面积的最小值是( ). A2 B1 C.222? D.22? 8如图，已知A、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0， 1)，C的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D是C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则ABE面积的最大值是( ). A3 B113 C103 D4 9如图，等腰Rt ABC中，ACB=90°，AC=BC=4，C的半径为1，点P在斜边AB上，PQ切O于点Q，则切线长PQ长度的最小值为( ). A. 7 B.22 C. 3 D.4 10如图BAC60°，半径长1的O与BAC的两边相切，P为O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的范围为 . 11在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点P（mn，）是第一象限内一点，且AB=2，则mn?的范围为 . OABxyP12在坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B是y轴右侧一点，且AB=2，点C上直线y=x+1上一动点，且CBAB于点B，则 ta