专题3-6 双曲线的离心率与常用二级结论【12类题型】（解析版）-A4

1/63第页专题3-6双曲线的离心率与常用二级结论（12类题型汇总）总览题型解读总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u模块一：求离心率与其它值【题型1】结合余弦定理解焦点三角形【题型2】双焦点三角形模型：导边【题型3】构造齐次化方程【题型4】用2次余弦定理求离心率【题型5】利用几何性质求离心率【题型6】与向量结合【题型7】求离心率范围模块二：双曲线中常考模型【题型8】点差法（弦中点模型）【题型9】点差法（第三定义）【题型10】渐近线的垂线模型【题型11】双曲线焦点三角形内切圆【题型12】焦点弦长与焦半径公式题型汇编知识梳理与常考题型题型汇编知识梳理与常考题型模块一：求离心率与其它值【题型1】结合余弦定理解焦点三角形（浙江嘉兴·高二统考期末）已知和是双曲线：的左、右焦点，是上一点，当时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得，进而即可求解．【详解】不妨设，在△中，由余弦定理知，，因为，则，两式联立得，因为，，整理得，化简得，所以离心率．故选：．

已知，为双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线离心率的值为A． B． C．2 D．3【答案】A【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，，在中，运用余弦定理，可得，，，，．【题型2】双焦点三角形模型：导边已知双曲线方程为，，两焦点分别为，，直线经过与双曲线交于两点，其中且，则此双曲线离心率为.【答案】【分析】连接，设利用双曲线的定义得到利用直角和直角构造的关系，即可求出答案【详解】连接，设则，由双曲线的定义可得在直角中，，即，化简可得，在直角中，，即，将代入上式可得整理可得，所以、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．【解答】解：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，，由，则，在△中应用余弦定理得：，得，则，解得．已知分别为双曲线的左､右焦点，过左焦点的直线交双曲线左支于两点，且，则该双曲线的离心率.【答案】【详解】设，则，因为,所以，即，由勾股可得即离心率.（广东深圳·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为．【答案】【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公式即可得解.【详解】如图，因为，所以．设，，得，由，得所以，则，由，得，又，所以，，，故的面形.已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的离心率为______________.【解答】解：设，由双曲线定义得：，，所以，作，△中，，可得，△中，勾股定理得：①，△中，勾股定理得：，可得②，由①②可得，整理可得，即已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左､右支分别交于点，，且，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，，，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，，所以，所以，则.故选：A.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】A【解答】解：，设，，，则，，根据双曲线的定义，得，即，解得，，即，，，△中，，在三角形中，，，，可得，因此，该双曲线的离心率．【题型3】构造齐次化方程双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2【解答】解：因为点在双曲线上，且轴，所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得，则，，所以，所以，所以，所以，所以，所以（舍去），或已知双曲线的两条渐近线分别为，点，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．【答案】B法一：利用对称性和互余关系导角【简证】设于H，作PH⊥x轴于H，易知如右图，易知∠POH=∠GOQ，则∠1=∠2而，，则，故，即同除a²可得解得法二：设点由题可设，，则（广东湛江·高二统考期末）是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】轴得，在直角中由正切的定义可得的齐次式，从而得出的方程，求得结论．【详解】解：轴，，而由得，即，解得舍或.双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．2【答案】D【解答】解：因为点在双曲线上，且轴，所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得，则，，所以，所以，所以，所以，所以，所以（舍去），或（江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设，为等边三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，双曲线的离心率为.已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取的中点，连接,由条件可知，是的中点，又，,根据双曲线的定义可知，，直线的方程是：，即，原点到直线的距离，中，，整理为：，即，解得：，或（舍）故选：C【题型4】用2次余弦定理求离心率已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，设，则，由得，解得，所以，所以.故选：D.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为.【答案】或【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值．【详解】设，，由双曲线的定义可得，，由的面积是的面积的2倍，可得，又为等腰三角形，可得，或，当，即，可得，，，，在中，，在中，，化为，即；当，即，可得，，，，在中，，在中，，化为，即．故答案为：或．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且．若，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．4【答案】D【解答】解：设，因为，则，由双曲线的定义可得，，因为，所以，，，，因为，所以，由余弦定理可得，即，解得．故选：．【题型5】利用几何性质求离心率求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.已知双曲线的左焦点为，过的直线与圆相切，切点为，交双曲线的右支于点，且，则的离心率为．【答案】【分析】如图，根据双曲线的性质、定义与相似三角形求出的三边长，利用利用勾股定理计算可得，结合离心率的概念即可求解.【详解】不妨设点在轴上方，如图，连接，由题意得，，，则，又，所以．设的右焦点为，过作，垂足为，则，．连接，则由双曲线的定义知，．在中，由勾股定理，得，即，化简得，故．（23-24高二下·河南焦作·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与交于，两点，且，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】不妨设点在第一象限，连接、，根据对称性可得四边形为矩形，从而得到，即可表示出点坐标，代入方程，求出，即可得解.【详解】依题意可得，关于原点对称，不妨设点在第一象限，连接、，又，则四边形为矩形，所以，则，所以，即，即，又，解得，所以.已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】因为双曲线的渐近线方程为，而以线段为直径的圆的方程为，联立，结合，解得或，因为在第一象限，所以，又，则，而，，所以，所以，即，则，所以双曲线的离心率为.在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，P为C上一点，以为直径的圆与C的两条渐近线相交于异于点O的M，N两点.若，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合题意可得，，即可借助点到直线的距离公式表示出，即可计算出的值，即可得离心率.【详解】设，有，即，由题意可得、，渐近线方程为，故，又，故，则，即，解得或，则或，由，故，，即，则.故选：B.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，求出、，利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，易知点、关于轴对称，连接，所以，，由圆的几何性质可得，所以，，，由双曲线的定义可得，因此，双曲线的离心率为.已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取的中点，连接,由条件可知，是的中点，又，,根据双曲线的定义可知，，直线的方程是：，即，原点到直线的距离，中，，整理为：，即，解得：，或（舍）故选：C（广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是和的一个交点.若点满足是正三角形且，则.【答案】.【分析】根据已知求出，，.根据椭圆以及双曲线的定义可推得，在中，根据余弦定理可列出关于的方程，解出，进而得到，即可求出结果.【详解】由已知可得，椭圆和双曲线的焦点坐标均为，，即，.设点在第一象限.因为点在椭圆上，所以有，又点在双曲线上，所以有，所以.又是正三角形，所以，，所以有，则三点共线.则在中，有，，由余弦定理可得，，即，整理得，又，所以，则由可得，【题型6】与向量结合设，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由题意，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得，，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵为圆上的点，，，∴是的中点，又是的中点，，且，又，，是圆的切线，，又，，故，离心率.过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是A． B． C．2 D．【答案】【解答】解：若，可得，且，由，，可得，，在中，由直角三角形的射影定理可得，则，即，则，（24-25高二上·江西南昌·期中）已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可.【详解】因为，所以，则，过作轴，垂足为，由题意知，则，故，在中，，故，又点在双曲线C:x2则，将代入整理得，则，解得，又，得到，所以双曲线的离心率为，【题型7】求离心率范围解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法已知椭圆与双曲线，椭圆的短轴长与长轴长之比大于，则双曲线离心率的取值范围为.【答案】【分析】根据椭圆方程和题设条件得到将双曲线的离心率表达式整理成的形式，换元成，研究函数的单调性并求得其值域即可得到离心率的范围.【详解】依题意，对于椭圆方程，对于双曲线方程，.不妨设，则，于是，由复合函数的单调性可得函数在区间上单调递增，故，即，故双曲线离心率的取值范围为.故答案为：.（23-24高二上·福建漳州·期末）已知双曲线的左焦点为，以为圆心、为半径作圆，若圆上存在点，双曲线的右支上存在点使得，则双曲线的离心率的取值范围为．【答案】【分析】结合图形，利用几何关系，根据临界值列式求解.【详解】如图，若圆上存在点，双曲线的右支上存在点使得，当与圆相切时，，此时，则，则，因为，所以，解得：所以双曲线离心率的取值范围是.已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【分析】表示出，建立关于的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则焦点到渐近线的距离：，所以，，，可得，即：，可得，所以，所以，又，所以双曲线的离心率的取值范围是：已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用表示出离心率，进而可得其取值范围.【详解】由双曲线（其中），得，则双曲线离心率，因为，所以，则，所以，所以，即双曲线离心率的取值范围为.已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则；当取最小值时，的面积为．【答案】【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解.【详解】设，则，可得，又因为分别为双曲线的左右顶点，可得，所以；又由，所以，当且仅当时，等号成立，所以，解得，所以，所以，所以的面积为.模块二：双曲线中常考模型【题型8】点差法（弦中点模型）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理（中点弦模型）：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】在双曲线中是否有类似的性质？（2）∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法求出斜率即可.【详解】设，因为点在双曲线上，所以，两式相减得到，因为过点且被平分，所以，代入上式可得已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为．【答案】【分析】设，，坐标，根据直线的斜率为，求得，将，代入双曲线方程得出，，利用点差法求直线斜率.【详解】设，，，因为，是上的两点，是的中点，为坐标原点，且直线的斜率为，所以①，②，③，，，所以②-③得，即，整理得，即，所以.已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点.若直线的斜率为，则的离心率为.【答案】【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得三点共线，从而求得，由此可求得双曲线的离心率.【简析】取AB，CD的中点M，N，易知，即，故M、O、N三点共线，而△PAB与△PCD相似，故P、M、N三点也共线，则，故【详解】设，线段AB的中点，则，两式相减得，所以①，设，线段CD的中点，同理得②，因为，所以，则三点共线，所以，将①②代入得：，即，所以，即，所以斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为.【答案】【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取的中点，得到，再由，，结合所以，求得，利用，即可求解.【详解】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，联立方程组，整理得，可得，则，又由在直线上，可得，所以，所以，即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，如图所示，取的中点，因为的重心在中线上，的重心在中线上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因为，且的外心为点，则为线段的中点，可得，因为，所以，所以，所以，所以.故答案为：.

已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法求出斜率即可.【详解】设，因为点在双曲线上，所以，两式相减得到，因为过点且被平分，所以，代入上式可得已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为．【答案】【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．【详解】设Ax1,则，，又，，两式相减，得，即，整理得，直线l的斜率为，直线l的方程为，化简得，经检验满足题意.已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为.【答案】【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果.【详解】由题意可知：直线：的斜率为，可知直线的斜率，设，则线段中点的坐标，可得，，因为A，B为双曲线C：上的两点，则，两式相减整理得，即，解得，即直线，联立方程，解得，可知线段中点的坐标为.不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.【答案】【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.【详解】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故，则.（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．(1)求双曲线的方程；(2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程；（2）设Ax1,y【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为．（2）设Ax则，两式相减，得，整理得．因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即．经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为.【题型9】点差法（第三定义）第三定义 点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：构造中位线设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得∴同理可得，当焦点在y轴上时，椭圆有：；双曲线有：已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出坐标，根据题意得，代入斜率公式，由点在双曲线上，消元整理得到的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设，则，因为，即，由，所以，因为，所以，即，得，所以，即，又，所以，即，所以，故双曲线的离心率为．故选：D.已知点A，B，C都在双曲线：上，且点A，B关于原点对称，.过A作垂直于x轴的直线分别交，于点M，N.若，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.【答案】B【简析】设，则，，因为，故，由二级结论可知，而，，所以已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为、，点在上运动（与、枃不重合），直线交直线于点，若恒成立，则的离心率为.【答案】【分析】推导出，设直线的方程为，其中，求出点的坐标，分析可知，可得出关于、的齐次等式，即可得出双曲线的离心率的值.【法一】如图所示，由对称点以及斜率之积为-1想到第三定义，即，而，即注意到M，N，A2三点共线，故，记交x轴于点E，则，故则有【法二】设点，其中，则，易知点、，则，设直线的方程为，其中，则，故，将代入可得，即点，，因为，则，则，整理可得，即，即，可得，故双曲线的离心率为.已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为.【答案】【分析】利用对称性可得，再设结合双曲线的标准方程计算．【详解】由题意，，由于双曲线与都关于轴对称，因此它们的交点关于轴对称，所以，设，则，，已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．【答案】【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，点在双曲线上，即，有，因此，点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，即，于是，即直线与关于轴对称，又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，显然，，，解得，所以双曲线的离心率.

【题型10】渐近线的垂线模型一、焦点到渐近线的距离为b1．设双曲线方程（焦点在x轴）、设（右）焦点，求出双曲线的渐近线方程，求焦点到（过一三象限的）渐近线的距离2．将渐近线的方程化为一般式，利用点到直线距离公式求距离，结合双曲线中a、b、c的关系求出结果3．根据双曲线的对称性（x、y轴对称，原点中心对称）可知，无论焦点在x轴还是y轴，无论是左焦点还是右焦点，无论到哪一条渐近线，焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）【证明】

设双曲线的方程为：则双曲线的渐近线方程为：设右焦点为（c，0），渐近线的一般式为：根据点到直线的距离公式得：故焦点到渐近线的距离都是b（半虚轴长）二、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则图1图2如图2.若，则过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________【答案】满足情形1，即，故，则已知双曲线，过的右焦点作垂直于渐近线的直线交两渐近线于、两点、两点分别在一、四象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【简析】满足情形2，即，，即【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点，渐近线方程为，即，如下图所示:由点到直线距离公式可知：，又，，，即，设，由双曲线对称性可知，而，，由正切二倍角公式可知：，即，化简可得：，即，由双曲线离心率公式可知：.故选：A.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．【答案】【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出的关系即可作答.【详解】根据题意画出图象如下：

由得，又，所以，双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，所以在中，，由余弦定理得，即，化简得，即，解得或，因为，所以.则双曲线的渐近线方程为．设双曲线C：(，)的一个焦点为F，过F作一条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为．【答案】【详解】直线EF与渐近线方程联立得解得，，∴EF中点M的坐标为，又M点在双曲线上，代入其标准方程，得，化简得，∴，．故答案为：．已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当轴时，，则E的渐近线方程为．【答案】【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性取渐近线，求出点坐标，再列出方程求解即得.【详解】由双曲线的对称性，取渐近线，由直线垂直于直线，得直线：，由与联立解得，即，由轴，且，得，而点M在双曲线E的左支上，因此，即，又，整理得，解得，所以双曲线E的渐近线方程为.故答案为：

（2024·全国·模拟预测）设为双曲线的右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于．若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合题意与图象，求得各线段的长度，再在直角三角形和直角三角形中，利用的正切值，建立关系，求解即可.【详解】如图，结合题设，．因为，所以，所以．设，则，所以．因为，所以，所以已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的标准方程为．【答案】【分析】设点，，，利用点差法求得直线的斜率，得到，再由点到直线的距离求得，得出、，即可求出离心率.【详解】设点，，，则且，两式相减，得，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即，因为焦点到渐近线的距离为，所以，可得，又因为，所以，所以双曲线为.（多选）已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）A．B．C．D．的最大值为【答案】BCD【分析】对A找到反例即可；对B利用点到直线距离公式计算即可；对C，利用二倍角的余弦公式和向量数量积的定理计算即可；对D利用三角形的面积公式计算即可.【详解】对A，当趋近于无穷远处时，故A错误；对B，设点，满足，即，又两条渐近线方程分别为，即，故有，故B正确；对C，设渐近线的倾斜角为，则，所以，故C正确；对D，由C可知，，所以为定值，故D正确.故选：BCD.

【题型11】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为由双曲线定义，可知：又因为，所以，所以。即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点证明：设内切圆分别与的三边F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知，，设，则有故，即，所以P，F2重合．已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可；【详解】过分别作的垂线，垂足分别为，则，，则，又，则，，即在直线上，，则，又，则，即，，故离心率为如图，双曲线的左右焦点分别为，，若存在过的直线交双曲线右支于，两点，且，的内切圆半径，满足，则双曲线的离心率取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与有公共切点，且是双曲线右顶点，从而可知轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦的斜率是；最后通过渐近线与相交弦斜率关系，得到离心率范围.【详解】设，的内切圆圆心分别为,如图，设的内切圆与轴的切点为，由双曲线定义，根据圆的切线长性质得，进而得点的横坐标为，即点是双曲线右顶点；同理可得点也是的内切圆与轴的切点，连接，，，从而可知轴，设直线的倾斜角为，∴，，又，∴，，∴，解得，∴，∴，则离心率.故选项为：B.双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．【答案】【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，，从而解出、，利用勾股定理可解.【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P则四边形、都为正方形，设内切圆半径为，由圆的切线性质，则，则，①又因为，②且双曲线定义得，，③由①、②、③得，所以，从而，由勾股定理，，所以，解得．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.【答案】【详解】如图所示：

设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.（多选题）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（

）A．圆和圆外切 B．圆心在直线上C． D．的取值范围是【答案】AC【详解】双曲线的，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和，设圆与轴切点为过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为，的的横坐标为，则由双曲线定义，所以由圆的切线长定理知，所以.的横坐标均为，即与轴垂直.故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，中，，则只能是的中线，不能成为的角平分线，则圆心一定不在直线上.选项B错误；在中，，，则由直角三角形的射影定理可知，即则，故.选项C正确；

由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，则的取值范围为，故，又，则令，则在单调递减，在单调递增.值域为故的值域为.（多选）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则（

）

A．切点与右焦点重合 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用切线长定理及双曲线的定义可判定A、B，利用内切圆的性质及双曲线的定义可判定C，利用三角恒等变换计算可判定D.【详解】对于A，由切线长定理可知：，则，，故①，又②，①②得，得，即，故点与点重合，正确；对于B，，B错误；对于C，根据三角形内切圆的性质可得，即，故C正确；对于D，令，则结合A、B选项可得：，∴．故D正确．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，