奥数精品讲义第9讲[操作与计数技巧--深圳清华实验学校佘珊珊

1、 怀疑并不是缺点。总是疑，而并不下断语，这才是缺点。 鲁迅操作与计数技巧第九讲教学目标操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐，如今各类数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。1. 常见操作类问题2. 计数技巧与操作经典精讲常见操作类问题【例1】 （年小学生数学报读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。问能把餐巾纸：

2、剪成块吗？ 剪成块吗？剪成块吗？ 剪成块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。【分析】剪开成两块，如下图：剪开成块，如下图：剪开成块，如下图：剪开成块，如下图：【巩固】（年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭次(图中的虚线是三边中点的连线)，然后沿两边中点的连线剪去一角。将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( )【分析】折迭次，纸片的厚度为，所以剪去的面积即应等于倍小三角形的面积，所以答案是。【例2】 、四个盒子中依次放有，个球。第个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第个小朋友找到放球最少的盒子，从

3、其他盒子中合取一个球放入这个盒子；如此进行下去，。求当位小朋友放完后，盒子中放有球多少个？【分析】盒子 初始状态 6 4 5 3 第1人放过后 5 3 4 6 第2人放过后 4 6 3 5 第3人放过后 3 5 6 4 第4人放过后 6 4 5 3 第5人放过后 5 3 4 6 由此可知：每经过人，四个盒子中球的情况重复出现一次，因为，所以第次后的情况与第次后的情况相同，即盒子中有球个。【例3】 （年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的个棋子拿掉。如果第一幅图的初始

4、状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有_个。【分析】首先圆圈上是不可能有个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有个。实际操作得到：【拓展】经过次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的？【分析】如图进行操作，当第此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。所以第次操作时圆圈上的棋子颜色与第次操作后的圆圈情况相同。【例4】 位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数第一位同学报，跳过一人第三位同学报，跳过两人第六位同学报，这样下去

5、，报到为止报的同学第一次报的是_。【分析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、49、50、512008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951101、51的和编号为1的为同一个人，这样第次报数的人的编号为,报的同学的编号为，他的最小编号为，我们知道，所以报的同学第一次报。【例5】 （年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数l，2，98，99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4，5，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，98，99，6，15。这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，最初的个数连同

6、后面写下的数。纸上出现的所有数的总和是 。【分析】每一次操作都少了个数，所以只剩下一个数的话，要经过步操作，即后面要写个数，注意到每一次操作后数和不变。前步操作将个数个个加和放在后边，和等于，接着步操作将写的个数个个加和在后边,和等于，这11个数分别是，。相邻两个相差，之后还有个数，第一个数是。最后一个数，而之间三个数的和等于最后一个数即，所以这些数的总和等于。【前铺】将前个正整数顺次写下得到多位数，从首位起将这些数位从1开始编号，然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是_。【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶

7、数位的数字第二次操作后，剩下的全是的倍数位上的数字；直到第六次操作后，剩下的全是的倍数位上的数字，原多位数一共有位，所以此时剩下的是第位、位和位上的数字。,，所以第位上的是“”的“”；,，所以第位上的是“”的“”，所以剩下的三位数是。【例6】 有一叠张卡片，从上到下依次编号为，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。那么剩下的这张卡片是原来张卡片的第几张？【分析】张。当有（张）卡片时，第一轮过后剩下的是的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是的倍数号卡片第轮过后，剩下的是的倍数号卡片，即就剩

8、下张卡片，是第号卡片。现在有张卡片，如果拿掉（张）卡片，剩下张卡片，那么就变为上述的情况了。拿掉的第张卡片是编号为（号）的卡片，此时剩下张卡片，下一个要拿掉的是第号卡片，第号是最后一张。所以，剩下的这张卡片是原来的第张。【点评】关键是从模型中找到规律，这种规律的前提是个数，这就要考量怎么转换条件的问题。【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为

9、推导过程较为复杂，不好理解。根据反复试验和观察，本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。 方法和例子     这里列举这类问题的两种情形。对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。这两种情形都是基于如下前提：从1到编号的个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。设老鼠的总个数为，最后幸存的老鼠编号为。 情形1：    1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？

10、60;   先考虑简单的情况。当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号，1号为最后的幸存者；当有三只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号.，依次类推，可发现如下规律： N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 . X 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9 .     对于这种情况，每次猫都是从两只老鼠中吃掉一只老鼠，可认为2只为一个周期，用m2表示；用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。情形

11、2：    1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉.就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？     先考虑简单的情况。当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3号，1号为最后的幸存者；当五只老鼠围成一圈时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.，依次类推，可发现如下规律： N 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 . 81 83 . X 1 4 7 1 4 7 1

12、0 13 16 19 22 25 1 4 7 10 . 1 4 .        对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m3；每3只中吃掉两只，因此，。结论     通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列。该数列的首项，公差（和都是正整数）。     而与对应的的取值则构成了若干个等差数列，。这些等差数列的公差都为，首项都为。还发现，构成的这些等差数列有这

13、样一个规律：每逢的值为时（和都是正整数），对应的取值就是1。也就是说，当的取值范围从到 之间时，对应的的取值就构成了一个，的等差数列，项数就是从到之间数的个数（包括和这两个数）。     那么现在来看看一般情形：如果猫要从个老鼠中吃掉个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤：     1、 首先找到小于的一个最大的数（是正整数，并假设）；      2、 这样就构成一个首项，末项，公差的等差数列，利用公式求出项数; （即， ）

14、60;   3、 因为的每个取值也构成了一个与对应的等差数列，其中，公差为，首项为1，项数为。利用等差数列求末项公式，求出末项； （即，）     4、 就是与对应的的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编号。 计数技巧与操作【例7】 （年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”。如果“马”在的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有的位置），要走到第八行第五列（图2中标有的位置），最短路线有 条。 【分析】通过标数法可以得到最

15、短的路线有种。【例8】 方格纸上有一只小虫，从直线上的一点出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为厘米小虫爬过若干小段后仍然在直线上，但不一定回到点如果小虫一共爬过厘米，那么小虫的爬行路线有_种；如果小虫一共爬过厘米，那么小虫爬行的路线有_种【分析】为了方便，下面叙述省去“上、下、左、右”个字前面的“向” 小虫爬过厘米，可有以下种路线，分别是： 左，右；右，左；上，下；下，上； 左，左；右，右 (以上前种路线均回到点) 小虫爬过厘米，可有种路线，分别是： 上，左，下；上，右，下； 下，左，上；下，右，上； 上，下，左；上，下，右； 下，上，左；下，上，右。 (以上种都是先“上”或

16、先“下”。)如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第(1)题，各有种路线，一共是(种)。【点评】注意前面的结论，可以在后面应用。一般而言，前后相关的两个问题，前面是一种“引桥”或者说是一架“梯子”。在较难的问题中，有时少了这么一个过程，题目就显得非常之难。本题主要是分类枚举思想的运用。【例9】 （年走近美妙数学花园）如右图所示，每个小正三角形边长为，小虫每步走过长度为，从出发，恰走步回到A的路有_条。(途中可以回)【分析】 因为小虫走完第一步到的点一定是以为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数，同样的最后一步走之前，即第三步走完时小虫所在的点也是以为中心的六边形的六个顶点。第一步与第

17、三步是同一个点的情况有：（种）第一步与第三步相隔一段的情况有：（种）第一步与第三步相隔两段的情况有：（种）第一步与第三步相隔三段的情况有：种一共有：（条）【拓展】如果要求途中不再回右图所示，每个小正三角形边长为，小虫每步走过，从出发，恰走步回到的路有_条。【分析】第一步与第三步是同一个点的情况有：（种）；第一步与第三步不是同一个点的情况有：（种）；所以共有（种）。【例10】 （年“走近美妙数学花园”）齐王与大将田忌赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王

18、的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等田忌有_种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛【分析】枚举法，用四位数来表示田忌的出场顺序，可以枚举出所有方法有：1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4231、4312、4321。所以田忌一共有种方法安排自己的马的出场顺序。【例11】 个三角形最多将平面分成几个部分？【分析】设个三角形最多将平面分成个部分。 时，； 时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有个交点，三条边与第一个三角形最多有（个）交点。这个交点将第二个三角形的周边分成了段，这段中的每一段都将原来的每一个部分分成个

19、部分，从而平面也增加了个部分，即。 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有（个）交点，从而平面也增加了个部分，即：。 一般地，第个三角形与前面个三角形最多有个交点，从而平面也增加个部分，故 特别地，当时，即个三角形最多把平面分成个部分。【前铺】一条直线分一个平面为两个部分，二条直线最多分这个平面 为部分，设五条直线最多分这个平面为部分，则等于多少？【分析】如果已有条直线，再增加一条直线，这条直线与前直线的交点至多个，因而至多被分成个部分。于是条直线至多将平面分为个部分，四条直线至多将平面分为个部分，条直线至多将平面分为个部分，一般的，条直线至多将平面分为个部分。如下图，表示五条直线可以分平面为

20、个部分。【巩固】长方形内有个点，连同长方形的个顶点在内，共有个点。在这个点中，任意个点都不在同一条直线上，以这个点为顶点，可作出_个互不重叠的三角形。【分析】长方形中加上一个点以后，就会有个三角形，以后每增加个点就会增加个三角形，增加个点，共有三角形个。【例12】 一个圆周上有个点：,。以它们为顶点连三角形，使每个点恰是一个三角形的顶点，且各个三角形的扁豆不相交。问：有多少中连法？【分析】如果圆上只有个点；那么只有种连法。如果圆上有个点，我们以为基点，考虑点可能所在的三角形。再计算其他点可以连成多少个满足条件的三角形。由于要求所得三角形的边不能相交，除点所在三角形的三顶点外，剩下的个点一定只能

21、在所在三角形的一条边所对应的圆弧上，显然的共有种连法。如果圆上有个点，考虑可能所在的三角形，此时，其余的个点可能分布在:所在三角形的一个边所对的弧上；也可能个点在一个边所对应的弧上，另个点在另一边所对的弧上。通过分类讨论可以得出符合条件的连法有种。最后考虑圆周上有个点，同样考虑所在的三角形，剩下的个点的分部：每个点在一个所在三角形的边对应的弧上；有个点是在一段弧上，另点在另一段弧上；个点都在同一段弧上。应用的讨论，分别计算除种情况的连法，得到表，表中用“+”号分开，表示点分布在不同的弧上。所在三角形余下点数种数故共有种不同的连法。附加题目【例13】 （年北京市“数学解题能力展示”大赛）有个木箱

22、，编号为、，每个箱子有一把钥匙，把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好：先挖开,号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共 种。（A） （B） （C） （D）【分析】，号箱中恰好放的就是,号箱的钥匙，显然不是“好”的方法，所以“好”的方法有两种情况：，号箱的钥匙恰有把在，号箱中，另一箱装的是箱的钥匙。，号箱的钥匙都不在,号箱中。对于，从，号箱的钥匙中选1把，从号箱的钥匙中选把，共有(种)选法，每一种选法放入,号箱各有种放法，共有(种)放法。不妨设,号箱的钥匙放入了,号箱，此时号箱不能装号箱的钥匙，有种选法依次类推，不同的放

23、法有（种） 所以，第种情况有“好”的方法（种）对于，从号箱的钥匙中选把放入,号箱，有(种)放法。不妨设,号箱的钥匙放入了,号箱，此时如果,号箱放的是,号箱的钥匙，那么,号箱的钥匙在，号箱中，有种放法；如果,号箱放的是,号箱的钥匙，则号箱放号箱钥匙，号箱放号箱钥匙，有 种放法； 同理，号箱放,或,或，号箱的钥匙，也各有种放法。 所以，第种情况有“好”的方法（种） “好”的方法共有(种)。【例14】 在一个西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成多少片？【分析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片。当切刀时，瓜皮被切成两份，当切第刀时

24、，由于切割线相交，所以瓜皮被切成分，切第次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有个交点。这些交点将第条切割线分成段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了，所以在西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成片。【例15】 在一大块面包上切刀最多能将面包切成多少块。（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【分析】题目相当于个平面能将空间划分为多少个部分。通过找规律来寻找递推关系，显然的个平面能将空间划分成块，个平面能将空间划分成 块，个平面能将空间划分成个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的个部分中的其中几个划分。如图：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第

25、四个平面分割成个部分，而每一部分将原来三个平面划分的个空间中的个划分成两份，所以个平面能将空间划分成个部分。同样的第五个平面与前四个平面分别相交成条直线，这四条直线能将第个平面分割成个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区域增加到个部分。当增加到个平面时，第六个平面共被划分成个部分，所以第个平面能将空间中的区块数增加到个部分。所以刀能将面包切成块。巩固精练1. 一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成_部分。【分析】一个长方形把平面分成两部分。第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分。同

26、理，第二个长方形的内部至多被第一个长方形分成五部分。同理，第二个长方形的内部至多被第一个长方形分成五部分。加上外部区域，两个长方形至多把平面分成部分。第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故每一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加个部分。而第三个长方形的四个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加个部分，所以三个长方形至多把平面分成个部分。2. 先写出一个两位数，接着在右端写这两个数字的和，得到，再写末两位数字和的和，得到，用上述方法得到一个有位的整数：则这个整数的数字之和是_。【分析】这个位整数的前若干位如下：6

27、2810112358134711从第位起，每位数字循环出现一次，这位数字之和为。，这个整数的数字之和是。3. 在正五边形上，一只青蛙从点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到点上就停止跳动。青蛙在6次之内(含6次)跳到点有_种不同跳法。【分析】顺时针到达需要偶数跳，逆时针到达需要奇数跳。按跳动次数枚举如下 一共种。4. 黑板上写着,，,各一个，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数最大是_。【分析】由于平均数不会大于原来较大的数，所以该数不可能大于，又因为一开始只有一个，所以平均数肯定比小。如果擦去和，写上再擦去和，仍写上，擦去和，写上，再擦去和，仍写上；.擦去和写上，再擦去与，仍写上，这样最后只剩下，所求答案为。 排球是一位名叫威廉·基·摩根的体育干事于