计量经济学王万珺序列相关性PPT课件

1、第七章第七章 序列相关性序列相关性 学习目的学习目的 通过本章的学习，你可以知道什么是序列相关性，序列相关性产生的原因是什么，序列相关性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有序列相关性的模型。 基本要求基本要求1）掌握序列相关性的概念、序列相关性的后果和检验方法；2）了解广义最小二乘法和广义差分法原理；3）能运用广义差分法和广义最小二乘法估计线性回归模型。第1页/共67页序列相关性及其产生原因序列相关性及其产生原因 序列相关性的影响序列相关性的影响序列相关性的检验序列相关性的检验序列相关的补救序列相关的补救第七章第七章 序列相关性序列相关性第2页/共67页第一节第一节 序列相关性及其产生原因序列

2、相关性及其产生原因、序列相关性的含义、序列相关性的含义对于多元线性回归模型 01122 1,2,iiikkiiYXXXin(7-1)在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着如果仅存在则称为一阶序列相关或自相关（简写为AR(1)，这是常见的一种序列相关问题。1()0,1,2,.,iiEin （7-3）(,)()0CovEijij （7-2）第3页/共67页在其他假设仍成立的条件下，序列相关序列相关即意味着0)(jiE2112)()()()(nnEEECov2112nnI22或),cov(ji第4页/共67页自相关往往可以写成如下形式： （7-4）1, 11iii 其中称为自协方差系数

3、或一阶自回归系数，i是满足以下标准OLS假定的随机干扰项：2( )0, ( ), ( ,)0(0)iiii sEVarCovs 由于序列相关性经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，因此，本节下面将代表不同样本点的下表I 用t 表示。第5页/共67页二、序列相关的原因二、序列相关的原因1 1经济数据序列惯性经济数据序列惯性2 2模型设定的偏误模型设定的偏误3 3滞后效应滞后效应4 4蛛网现象蛛网现象5 5数据的编造数据的编造第6页/共67页1 1经济数据序列惯性经济数据序列惯性 GDP、价格指数、消费等时间序列数据通常表现为周期循环。当经济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列开始上升，在上升期

4、间，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢下来。 因此，在涉及时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。比如：比如：第7页/共67页 一般情况下居民总消费C受除总收入Y影响外，还受其他因素的影响，如消费习惯等。但这些因素没有包括在解释变量中，它们对消费量的影响被包含在随机干扰项中。如果该项影响构成随机干扰项的主要部分，则可能出现序列相关性，即对于不同的年份，由于消费习惯等因素的惯性，它们对消费量的影响也具有内在联系。在这个例子中随机干扰项表现为正相关。例如，绝对收入假设绝对收入假设下居民总消费函数模

5、型居民总消费函数模型： Ct=0+1Yt+t t=1,2,n第8页/共67页2 2模型设定的偏误模型设定的偏误定义：定义： 指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。 例例1：本来应该估计的模型为 0111233tttttYXXX（7-5） 但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：t011t22ttY = + X + X + （7-6） （丢掉了重要的解释变量）第9页/共67页2 2模型设定的偏误模型设定的偏误定义：定义： 指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。 例例2：（模型函数形式有偏误）（7-7） 在

6、成本产出研究中，如果真实的边际成本的模型为： 0122ttttY = + X + X + 其中Y代表边际成本，X代表产出。 （7-8） 01tttYXv但是如果建模时设立了如下回归模型：第10页/共67页3 3滞后效应滞后效应 考虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出，即回归模型为：0131ttttCYC （7-9）其中，C是消费，Y是收入。 类似（7-9）式的回归模型被称为自回归模型 由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费习惯，如果我们忽视（7-9）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来的误差

7、项就会体现出一种系统性的模式。注意：注意：第11页/共67页4 4蛛网现象蛛网现象例如：例如：假定某农产品的供给模型为：01-1tttSP (7-10)假设t时期的价格Pt低于t-1时期的价格Pt-1，农民就很可能决定在时期t+1生产比t时期更少的东西。显然在这种情形中，农民由于在年度t的过量生产很可能在年度t+1消减他们的产量。诸如此类的现象，就不能期望干扰t t是随机，从而出现蛛网式的序列相关。第12页/共67页5 5数据的编造数据的编造新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。 例如：例如： 季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中

8、的匀滑性，这种匀滑性本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关性。 利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。 第13页/共67页 一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，由于在不同样本点上解释变量以外的其他因素在时间上的连续性，带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。第14页/共67页第二节第二节 序列相关性序列相关性的影响的影响1 1参数估计量非有效2 2随机误差项方差估计量是有偏的3 3拟合优度检验R2统计量和方程显著性检验F F统计量无效4 4变量的显著性检验t t检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义5 5模

9、型的预测失效(,)()0OLSttjttjCovE 如果我们在干扰中通过假定引进自相关，但保留经典模型的全部其他假定，对估计量及其方差来说会出现什么情况呢？第15页/共67页1 1参数估计量非有效参数估计量非有效 根据OLS估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可以看出，当计量经济学模型出现序列相关性时，其OLS参数估计量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们利用了2()E I（7-11） 即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。第16页/共67页2 2随机误差项方差估计量是有偏的随机误差项方差估计量是有偏的

10、在存在干扰项序列相关的情况下，随机误差的OLS方差估计量偏离了真实的随机误差项的方差2。 以一元回归模型为例，在经典假设情况下，干扰项的OLS方差估计量2212ntten222()E是真实的的无偏估计，即有。但若随机误差项存在一阶序列相关 则可以证明： 222/(1)2()2nrEn式中1221nt ttnttx xxr为X的相继观测值之间的样本相关系数。 第17页/共67页3 3拟合优度检验拟合优度检验R2统计量和方程显著性检验统计量和方程显著性检验F统计量无效统计量无效 由于在序列相关时OLS对随机误差方差估计有偏，结果基于OLS残差平方和计算出来的拟合优度检验统计量R2也失去意义，相应的

11、方程显著性检验统计量F统计量也无效。第18页/共67页4 4变量的显著性检验变量的显著性检验t t 检验统计量和相应的参数置检验统计量和相应的参数置 信区间估计失去意义信区间估计失去意义 用OLS法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是有偏的，而且这一偏误也将传递到用OLS方法得到的参数估计量的方差中来，从而使得建立在OLS参数估计量方差基础上的变量显著性检验失去意义。212()tVarx没有被低估，通常OLS参数估计量的方差式（7-16）2即使随机误差的方差也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计量。 以一元回归模型为例，01iiiYX第19页/共67页5 5模型的预测失效模型

12、的预测失效 在存在序列相关时OLS估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确，预测精度降低。 被解释变量预测值区间与模型参数和随机误差的估计量的方差有关。所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。第20页/共67页第三节第三节 序列相关性的序列相关性的检验检验这些不同的检验方法的共同思路是什么呢这些不同的检验方法的共同思路是什么呢？ 问题问题 ：tttolseYY 首先采用普通最小二乘法估计模型，以得到随机干扰项的近似估计量，我们用ie表示近似估计量： （7-19） 然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰项是否具有序

13、列相关性的目的。第21页/共67页序列相关性的检验方法序列相关性的检验方法一、图示法二、回归检验法三、杜宾沃森检验四、拉格朗日乘子检验第22页/共67页一、图示法一、图示法tetttete 由于残差 可以作为随机误差 的估计，因此，如果 存在序列相关性， 反映出来，因此可以利用 的变化来判断随机干扰项的序列必然会由残差项相关性，如图71所示。第23页/共67页二二、回归检验法回归检验法，1 2,.,ttteetn（7-20）1122 3,.,tttteeetn（7-21）等为解释变量，te1te2te2te 以 为解释变量，以各种可能的相关变量，诸如，建立各种方程： 对方程进行估计并进行显著性

14、检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。 一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。优点：优点：第24页/共67页三、三、杜宾杜宾沃森检验沃森检验 D-W检验是杜宾（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出的一种检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定：（1）回归含有截距项。（2）解释变量X是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。t1ttt（3）随机干扰项为一阶自回归形式：。（4）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：011221

15、tttkktttYXXXY（5）没有缺失数据。 第25页/共67页0:0Ht杜宾沃森针对原假设，即不存在一阶自相关，构造如下统计量： 21221().ntttntteeDWe （7-22）tete因为D.W.值要从中算出，而又依赖于给定的X的值。2UdLd检验，它没有唯一的临界值可以导出拒绝或和下限，且这些上下限只与因此D-W检验不同于t、F或接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限样本容量n和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。 杜宾沃森证明该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，其准确的抽样或概率分布很难得到； 第26页/共67页 D.W检验步骤:（1）计算DW值（2）

16、给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值的下限dL和上限dU（3）比较、判断 若 0D.W.dL 存在正自相关 dLD.W.dU 不能确定 dU D.W.4dU 无自相关第27页/共67页正相关不能确定无自相关不能确定负相关0 dL dU 2 4-dU 4-dL 44dU D.W.4 dL 不能确定 4dL D.W.4 存在负自相关 当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关。第28页/共67页 证明： 展开D.W.统计量： nttntntnttttteeeeeWD1222212122.(*)1 (2)1 (2.1221nttnttteeeWD当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关。

17、第29页/共67页如果存在完全一阶正相关，即 =1，则 D.W. 0 完全一阶负相关，即 = -1, 则 D.W. 4 完全不相关， 即 =0，则 D.W. 2这里，nttntttnttnttteeeeee22211221为一阶自回归模型 t=t-1+t 的参数估计。)1(2)1(2.1221nttnttteeeWD第30页/共67页 D.W.检验的不足： 从判断准则中看到，存在一个不能确定的D.W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。 而且D.W.检验只能检验一阶自相关， 并且对存在滞后被解释变量的模型无法检验。第31页/共67页例例7-1 7-1 给定一个含有50个观测值的样本和4个解释变

18、量（含常数项），如果（a）D.W.=1.05，（b）D.W.=1.40，（c）D.W.=2.50，（d）D.W.=3.97第32页/共67页解：解： 根据D-W检验判断准则可知 （b）D.W.=1.40Ld，随机误差项存在一阶正自相关； （d）4 Ld =2.58 D.W.=3.97，随机误差项存在负一阶自相关。LdUd查D.W.分布表可知，当样本数为n=50，解释变量数k=3时，在5%的为1.42，为1.67。 显著性水平下D.W.统计量临界值的下界（a）D.W.=1.05 D.W.=2.504 =2.33，不能确定随机误差项是否存在一阶自相关；第33页/共67页 在许多情况下，人们发现上限

19、Ud 差不多就是真实的显著性界限，因而， 如果D.W.的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的D-W 检验程序。给定显著性水平：0:0H1:0H （2）原假设为 ，备择假设为0:0H1:0H （1）原假设为 ，备择假设为.UDWd 如果有 ，则在显著性水平上拒绝原假设H0，接受备择假设H1，也就是存在统计上显著的正相关。4.UDWd 如果有 ，则在显著性水平上拒绝原假设H0，接受备择假设H1，也就是存在统计上显著的负相关。第34页/共67页 在许多情况下，人们发现上限Ud 差不多就是真实的显著性界限，因而， 如果D.W.的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的D-W 检验程

20、序。给定显著性水平：0:0H1:0H （3）原假设为 ，备择假设为.UDWd4.UDWd 如果有 或者则在显著性水平上拒绝原假设H0，接受备择假设H1，也就是存在统计上显著的自相关。第35页/共67页D.W检验024dLdU4-dU4-dL正负无修正后正负第36页/共67页四、四、拉格朗日乘子检验拉格朗日乘子检验 拉格朗日乘子检验克服了D-W检验的缺陷，适合于高阶序列相关及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也称为GB检验。对于模型01122tttkkttYXXX（7-24）如果要检验随机误差项是否存在p阶序列相关： （7

21、-25）1212.ttttptp 那么检验如下受约束回归方程就是拉格朗日乘子检验：011221212.tttkkttttptpYXXX （7-26）第37页/共67页约束条件为 （7-27）012:0pH 如果约束条件为真，则LM统计量服从大样本下自由度为p的渐近2分布：22()pLMn pR（7-28）其中n p和2R分别为如下辅助回归方程的样本容量和可决系数：（7-29）01 111ttkkttp t pteXXee (7-29)中的被解释变量te是对原模型（7-24）进行OLS回归后得到的残差。 H0:原假设是不存在序列相关第38页/共67页 p值即滞后的长度无法预先给定，因此实践操作中

22、可从1阶、2阶逐次相更高阶检验，并用辅助回归方程（7-29）式中各个残差项前面的参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。（7-29）01 111ttkkttp t pteXXee LM检验的一个缺陷第39页/共67页例例7-2 7-2 假定用32个样本做Y对X(包含截距)的回归而这样的2数值对应的概率p为0.0003，这是一个很低的概率。 因此我们可以拒绝辅助回归方程中原始回归残差序列的全部1到5阶滞后序列系数均为零的假设，至少有一个滞后残差序列的系数不为零。 这表明原始回归的残差中至少存在1到5阶中的某一滞后的自相关，当然要确定到底是几阶序列相关还必须进一步进行4阶、3阶等不同阶数的拉格朗日乘

23、子检验。如果我们怀疑回归残差序列有5阶滞后相关，那么辅助回归方程中我们可以用Y对X以及残差序列的1到5阶滞后序列进行回归，假定从辅助回归方程中回归得到的拟合优度R2为0.8860。 由于原始回归中有32个样本，而辅助回归中用了5个滞后值，这样辅助2()np R等于(32-5)0.886即等于23.382。 回归方程中仅有27个样本，因此第40页/共67页第四节第四节 序列相关的补救序列相关的补救 由于序列相关出现时OLS估计量是非有效的，因此如果回归模型被证明存在序列相关性，则应该发展新的方法来估计模型。类似于处理异方差的情况，在大样本下我们也可以用与异方差和自相关相一致的OLS回归残差的方差

24、协方差矩阵来处理随机误差项的异方差和自相关情况，这样OLS估计也仍然是有效的，只是我们需要报告相应的异方差自相关稳健标准差和相应的统计量，其处理方法完全类似于异方差稳健推断，这里我们不再对异方差自相关稳健推断详细论述，我们详细介绍一般情况下处理序列相关最常用的广义最小二乘法（GLS）和广义差分法。第41页/共67页一、广义最小二乘法一、广义最小二乘法定义定义: : 最具有普遍意义的最小二乘法.普通最小二乘法和加权最小二乘法是它的特例。 一般情况下，对于模型（7-30）Y = X + 如果存在序列相关性，同时存在异方差，即有21121222122212( )( ,)nnnnnCovE 第42页/

25、共67页显然， 是一对称矩阵，因此存在一可逆矩阵，使得DD 用1D左乘（7-30）式两边，得到一个新的模型111D YD XD（7-31）即 YX该模型具有同方差性和随机干扰项相互独立性。因为11111211212( ,)(,)( ,)EEE DDDDDDDDD DI 第43页/共67页则111111111 ()() ()X XX YX DD XX DD YXXXY这就是原模型（7-30）式的广义最小二乘估计量，它是无偏有效的估计量。于是，可以用普通最小二乘法估计模型（7-31）式，记参数估计量为 ，2由上面的推导过程可知，只要知道随机干扰项的方差-协方差矩阵，就可以采用广义最小二乘法得到参数

26、的最佳线性无偏估计量。j(1)/2n n 然而若只有n个样本点，要对包括各个 在内的进行估计是困难的，在实践操作中，往往通过广义差分法来实现广义最小二乘估计。+k+1个未知参数第44页/共67页二、广义差分法二、广义差分法 广义差分法需要对随机干扰项自相关系数事先给出必要的假设，可区分为两种情形：自相关系数已知和未知。自相关系数已知时t 由于干扰项 是不可观测的，关于序列相关的性质往往是一种猜测 遵循形如(7-4)式那样的一阶自回归方式，t 或实际体验。实践中，常假定1ttt （7-32）即：（7-32）式中自回归系数和随机干扰项满足(7-4)的假定。若假定(7-32)是为已知时，序列相关问题

27、就可以圆满解决。 真实的，当自相关系数第45页/共67页为说明这一点，考虑以下多元回归模型为例：101.ttktktYXX（7-33）如果（7-33）在时刻t成立，则在时刻t-1也成立，因此有：1101111.tktkttYXX （7-34）用乘（7-34）两边，得到：1011111.ttkkttYXX （7-35）第46页/共67页011ttkkttYXX （7-37）其中，0011(1), , , 1,2,tttitititYYYXXXik, 由于t 满足全部OLS假定，故可以直接对方程（7-37）进行OLS回归得到具有BLUE性质的估计量。将（7-36）式简写为用（7-33）减去（7-3

28、5）得到1111011111011(1). (1)(). ()ttttktktktttttktkttkYYXXXXXXXX （7-36）第47页/共67页更一般地如果多元回归模型01122tttkkttYXXX （7-38）中的随机干扰项存在p阶序列相关：1122.ttttptp （7-39）那么可以将原模型（7-38）式变换为110111111111.(1.) (.). (.) ttptppttptpkktktpktptYYYXXXXXX 1, 2 , . , tppn （7-40）（7-40）式即为多元回归形式的广义差分模型，该模型不存在序列相关性。 第48页/共67页 采用OLS法估计该

29、模型得到的参数估计量即为原模型参数的无偏有效估计量，这样处理序列相关的方法就是广义差分法。 广义差分法就是前面我们讨论过的广义最小二乘法（GLS），但应注意滞后的观测值被排除了。证明略！ 对具有P阶序列相关的多元回归模型的广义差分法估计也等同于广义最小二乘法，但是我们损失了前面P个样本观测值。第49页/共67页在样本规模较大而误差序列相关阶数较小时，广义差分法与广义最小二乘法的估计结果很接近。但在小样本或误差呈现较大的高阶序列相关时，观测值的损失可能会对估计结果有影响。因此在广义差分变换中，有时需弥补这一损失。第50页/共67页一阶差分法一阶差分法考虑完全的正自相关或负自相关此时等于1或 1。

30、 考虑简单的一元回归模型： （7-42）01tttYX假定该模型中随机干扰项为完全一阶正相关，即有1ttt（7-43）第51页/共67页对（7-42）进行一次差分得到111111()()()tttttttttYYXXXX即 （7-44）1tttYX10（7-44）的差分回归方程没有截距，随机干扰项没有序列自相关，因此可以 对它采取过原点OLS回归得到的BLUE估计量，注意此时原模型中的截距就不能估计出来了（它可能是任意常数）。 第52页/共67页如果原模型为包含时间趋势的模型： 0112tttYXt（7-45） 那么对它进行一次差分后得到（7-46）12tttYX 该差分模型中含有一截距，因此

31、含有截距的一次差分模型意味着在原模型中存在一线性时间趋势项，而且一次差分模型中的截距就是原模型中时间趋势项的系数。如果2是正的话，这表明原模型中Y除了受X的影响外还有一上升的趋势。第53页/共67页 如果原模型中随机干扰项是完全一阶负相关的，那么一次差分处理的方法就是相反了。思考思考: : 第54页/共67页三、随机误差项相关系数的估计三、随机误差项相关系数的估计 应用广义最小二乘法或广义差分法，必须已知随机误差项的相关系数1, 2, , L 。 实际上，人们并不知道它们的具体数值，所以必须首先对它们进行估计。（1 1）根据）根据D.W.D.W.统计量来估计统计量来估计（2 2）科克伦）科克伦

32、- -奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法）迭代法（3 3）杜宾两步法）杜宾两步法因此我们需要另想办法来处理序列相关问题，我们介绍几种常用的方法。第55页/共67页（1 1）根据）根据D.W.D.W.统计量来估计统计量来估计回想我们前面的D.W.统计量61221 .2 12(1)2(1)ntttntteeDWde根据该式我们可以得到的计算表达式：12d 这是从所估计的D.W.统计量获得的一个估计值的简易方法。 第56页/共67页12d （7-48）由（7-48）可见，仅当 d 等于或接近于0时，一次差分法中假定1才是对的01 此外当d=2时，d=

33、4时，因此D.W.统计量为我们提供了一个估计的现成方法。 但要注意的是，（7-48）仅提供了一个估计的近似式，在小样本下未必可靠，仅在大样本下才具有最优性质。第57页/共67页一旦从（7-48）估计出，我们就可以对原模型进行广义差分变换，然后对广义差分后的模型进行OLS估计。 同样需要注意的是，由于广义差分法中用的是真实的，而我们是用来代替真实的，因此就会出现一个问题： 估计的这样估计的回归系数是否有经典回归模型中所说的最优性质呢？ 当用一个估计的量去代替真值时，OLS估计得到的回归系数仅是渐近有效的，就是说仅在大样本情况下才是最优的，而且通常的假设检验统计量也仅是渐近有效的。 一个一般性的原则：一个一般性的原则：第58页/共67页（2 2）科克伦）科克伦- -奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法）迭代法利用估计的残差去获得关于未知的的信息。 考虑一元回归模型： 01tttYX （7-49）假定随机干扰项为一阶自相关，即（7-50）1ttt )()()1 (11101ttttttXXYY广义差分方程：第59页/共67页 按如下步骤来估计自回归系数 1对（7-49）进行OLS回归得到回归残差tete