工科高数主要知识点回顾

1、工科高数主要知识点回顾第七章 空间解析几何与向量代数1.向量运算（数量积，向量积），则2.两个向量垂直、平行的充要条件例如（2006填空题1）3.向量的方向余弦，两向量的夹角余弦公式4.关于直线与直线、直线与平面、平面与平面的问题，总是转化为向量与向量的问题例如（2006选择题1）第八章 多元函数微分法及其应用1.多元函数的极限（化为一元函数的极限问题）例如（2005填空题4）2.偏导数的定义例如（2005填空题1）3.全微分例如（2005填空题5）4.复合函数的偏导数（链式图）例如（2005选择题8）（2006解答题1）5.隐函数的求导（两边对x求偏导）例如（2005填空题7）（2006计算

2、题2）6.方向导数与梯度梯度方向导数方向导数的存在条件如果函数在点可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在例如（2005选择题4）7.空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线空间曲线切向量（其他参数方程形式的情形）空间曲面法向量8.多元函数的极值，条件极值（拉格朗日乘数法）极值点可能存在的地方：驻点，不可导点驻点处是否为极值是何种极值的判定：（1）为极值点，为极小值点，为极大值点；（2）不是极值点.在约束条件下求函数的极值构造拉格朗日函数令偏导等于零求出可能的极值点，再根据实际问题的性质判断是否为极值点.例如（2006解答题2）第九章重积分1.二重积分的物理意义所占区域为D面密度为

3、的平面薄片的质量2.二重积分的计算（化为二次积分）（1）直角坐标系下若D为X型区域，则若D为Y型区域，则例如（2006选择题2）（2006计算题4）（2）极坐标系下若，则例如（2005填空题2）（2005选择题3）3.交换积分次序（1）根据二次积分写出积分区域表达式（2）根据积分区域表达式画出积分区域（3）将需要的区域表达式形式写出来（4）写出相应的二次积分例如（2006填空题3）（2006计算题3）4.三重积分的计算（化为三次积分）（1）直角坐标系下先算一重积分后算二重积分若在xOy面上的投影为，上下曲面方程分别为，则先算二重积分后算一重积分若在z轴上的投影为，用垂直于z轴的平面截积分区域得

4、，则例如（2005三）（2）柱面坐标系下若在xOy面上的投影在极坐标系下为，上下曲面方程分别为，则（3）在球面坐标系下5.利用对称性可以简化积分的计算积分区域关于对称，则是x的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于对称，则是y的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于对称，则是z的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍6.重积分的应用（曲面面积）曲面在xOy面上的投影为，则第十章 曲线积分与曲面积分1.曲线积分的计算（化为定积分）对弧长的曲线积分（参数方程的其他情形）例如（2005选择题5）对坐标的曲线积分，t从到（参数方程的

5、其他情形）2.两类曲线积分之间的关系其中为曲线切向量的方向余弦3.格林公式，积分与路径无关其中L为D的正向边界（外边界逆时针，内边界顺时针）例如（2005选择题6）（2005四）（2006选择题4）（2006解答题3）4.曲面积分的计算（化为重积分）对面积的曲面积分，曲面在xOy面上的投影为，则例如（2005选择题7）对坐标的曲面积分，曲面取z轴正向侧时取正，否则取负，曲面取x轴正向侧时取正，否则取负，曲面取y轴正向侧时取正，否则取负例如（2006计算题7）5.两类曲面积分之间的关系其中为曲面法向量的方向余弦应用（1）将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分再计算；应用（2）将对不同坐标的曲面积

6、分化为对同种坐标的曲面积分6.高斯公式其中为的外表面例如（2005六）第十一章 无穷级数1.收敛级数的基本性质收敛收敛收敛；收敛发散发散若，则级数发散2.常用的两个级数（1）几何级数当时收敛，发散（2）p-级数当时收敛，时发散例如（2005填空题6）3.正项级数的审敛法比较审敛法的极限形式设，则（1）时，与有相同的敛散性；（2）时，收敛则收敛；（3）时，发散则发散；例如（2006计算题1）比值审敛法设，则当时收敛，当时发散根值审敛法设，则当时收敛，当时发散4.交错级数的审敛法（莱布尼兹审敛法）若交错级数的一般项满足：绝对值单调递减趋于0，则交错级数收敛例如（2006选择题5）5.任意项级数收敛

7、的判断（绝对收敛，条件收敛）例如（2006选择题5）6.幂级数的收敛域设，则收敛半径不能用该定理求收敛半径时，可以考虑用证明本定理的方法例如（2005五）（2006填空题5）7.幂级数的和函数，函数的幂级数展开（间接法）逐项求导，逐项积分化为已知和函数的幂级数（注意注明收敛域）例如（2005五）（2006计算题6）8.周期为的函数的傅立叶展开其中9.收敛定理（狄里克雷充分条件）当x是的连续点时，傅立叶级数收敛于；当x时的间断点时，傅立叶级数收敛于例如（2005填空题3）第十二章 微分方程1.可分离变量的微分方程（两边积分）例如（2005选择题1）（2006计算题5）2.齐次方程（换元化为可分离变量的微分方程），令3.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程（可分离变量的微分方程）（2）一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）设相应线性齐次方程通解为，令为线性非齐次方程的解，代入线性非齐次方程，化为关于的可分离变量的微分方程，求出通解后代回例如（2006解答题3）（3）伯努里方程令，化为关于z的一阶线性非齐次微分方程，再用常数变易法4.全微分方程解法1：（1）判断是否为全微分方程；（2）积分（3）方程的通解为解法2：凑微分5.可降阶的高阶微分方程（1）（两端积分n次）（2）不含y的二阶方程令，则，化为一阶方程（3）不