第2章 汇交力系

1、yonyou seentao technology Co., Ltd.华东交通大学吴秋兰2015年9月1日工程力学软件+电气2013-1.2班学习课程2第二章第二章 汇交力系汇交力系1、熟练力的合成几何法、熟练力的合成几何法教学要求：教学要求：2、掌握力的投影及合力投影定理、掌握力的投影及合力投影定理3、掌握力的合成解析法、掌握力的合成解析法3第二章第二章 汇交力系汇交力系2-1 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法 ( (* * 重点重点 ) # ) # 难点难点4第二章第二章 汇交力系汇交力系 汇交力汇交力系系力

2、系中力的作用线汇交于一点。力系中力的作用线汇交于一点。5一、几何法一、几何法 力多边形法则力多边形法则 汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合力，将汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合力，将n个个力矢依次首尾相连，连接第力矢依次首尾相连，连接第1个力矢的始点到第个力矢的始点到第n 个力矢个力矢的终点所形成的力矢为的终点所形成的力矢为n个力的合力，即个力的合力，即合力力矢由力多合力力矢由力多边形的封闭边表示边形的封闭边表示。 FFFFFR12n 2-1 2-1 汇交力系合成与平衡的几何法汇交力系合成与平衡的几何法 封闭的折线封闭的折线abcdabcd称为力的多边形，表示合力称为力的多边形，表示合力

3、F F的有向线的有向线段段adad称为力多边形的封闭边，用力的多边形求合力的作称为力多边形的封闭边，用力的多边形求合力的作图规则称为图规则称为力多边形法则力多边形法则。 选比例尺，选比例尺，画出合力画出合力( (力三角形法则力三角形法则) )结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过个力的方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过个力的汇交点。即汇交点。即合力等于各分力的矢量和合力等于各分力的矢量和。即：。即： 几何法几何法：按比例画出封闭的力多边形，根据几何关系：按比例画出封闭的力多边形，根据几何

4、关系或三角公式计算未知量的解题方法。或三角公式计算未知量的解题方法。 6 例：固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知例：固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN，F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。，求三个力的合力。 解解: : 三力构成平面汇交力三力构成平面汇交力系，按比例作出三力首尾系，按比例作出三力首尾相连，连接第一个力矢的相连，连接第一个力矢的首端到第三个力矢的尾端首端到第三个力矢的尾端得三个力的合力矢得三个力的合力矢FR 。 量得合力矢的大小为量得合力矢的大小为FR= 8.3kN ，与水平线偏，与水平线偏角角=3.5=3.5o o。 7二、汇交力系平

5、衡的几何条件二、汇交力系平衡的几何条件 汇交力系平衡的充分与必要条件是力系的合力汇交力系平衡的充分与必要条件是力系的合力等于零，即等于零，即FFFFFR12n0 汇交力系的平衡条件汇交力系的平衡条件表示为几何形式是最后一表示为几何形式是最后一个力的终点与第一个力的个力的终点与第一个力的始点重合，即始点重合，即力的多边形力的多边形是自形封闭的是自形封闭的。 8 例：圆柱重例：圆柱重G = 500N，搁在墙面与夹板间，板与墙面夹，搁在墙面与夹板间，板与墙面夹角为角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压力。力。ooAtan30500 t

6、an30288.7NFGBoo500577.4Ncos30cos30GF 解解: : 小结：（小结：（1 1）选取适当的物体为研究对象，画出受力图。）选取适当的物体为研究对象，画出受力图。 （2 2）作力封闭三角形或多边形，比例尺要适当。）作力封闭三角形或多边形，比例尺要适当。 （3 3）在图上量出或用三角公式计算未知量。）在图上量出或用三角公式计算未知量。9几何法求解问题总结：几何法求解问题总结： 解题步骤：选研究对象；作出受力图；解题步骤：选研究对象；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数求出未知数 解题不足：解题不足： 精度不够，误差大精度

7、不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。102-2 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法 一、力的分解一、力的分解 将一个已知力分解为两个分力的过程，称为将一个已知力分解为两个分力的过程，称为力的分力的分解解。工程中用两个垂直正交的分力来代替合力，如下。工程中用两个垂直正交的分力来代替合力，如下图所示：图所示： 二、力在坐标轴上的投影二、力在坐标轴上的投影 投影：用灯光照射一根直杆，投射在墙壁上影子的长投影：用灯光照射一根直杆，投射在墙壁上影子的长短来说明投影的概念短来说明投影的概念 杆长杆长l，光线水

8、平，杆墙平行，光线水平，杆墙平行, ,投影长为投影长为l；垂直；垂直, ,影长影长0 0；杆和；杆和墙夹角墙夹角,投影长度等于投影长度等于lcoscos。即：。即：杆在墙上投影的杆在墙上投影的长度长度由杆的两端向墙壁引垂线由杆的两端向墙壁引垂线，两垂足之间的距离，两垂足之间的距离就是投影就是投影的长度的长度 力是矢量，大小用数值表示（力是矢量，大小用数值表示（F F1 1=10N=10N、F F2 2=15N=15N），方），方向用力作用线和某基准线的夹角向用力作用线和某基准线的夹角表示表示直角坐标轴？直角坐标轴？一般一般x x轴水平向右为正轴水平向右为正向，向，y y轴铅直向上为正轴铅直向上

9、为正向，两轴垂直，称为向，两轴垂直，称为直角坐标轴直角坐标轴 力在直角坐标轴上的投影，就象铅直光线作用下力在直角坐标轴上的投影，就象铅直光线作用下, ,杆件在杆件在地面的投影，在水平光线下地面的投影，在水平光线下, , 杆在墙壁的投影杆在墙壁的投影112-2 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法 一、力的分解一、力的分解 二、力在坐标轴上的投影二、力在坐标轴上的投影 投影投影正负规定正负规定： 从力矢量起点投影足从力矢量起点投影足a2a2到到端点投影足端点投影足b2b2方向和方向和y y坐标轴坐标轴同向，同向，投影值为正投影值为正， 反之，从力矢量起点投影反之，从力矢量

10、起点投影足足a1a1到端点投影足到端点投影足b1b1方向和方向和x x坐标轴反向，坐标轴反向，投影值为负投影值为负 所以，上图力所以，上图力F F在在x x、y y轴的投影轴的投影 Fx=-=-Fcos，Fy=+=+Fsin 若已知力和若已知力和x x轴的夹角为轴的夹角为，则，则FxFx= =F Fcoscos；FyFy= =F Fsinsin，不能死记不能死记硬背，不要画垂线硬背，不要画垂线已知和某轴夹角已知和某轴夹角，在该轴投影，在该轴投影coscos，在另一轴投影，在另一轴投影sinsin( (若与若与y y轴夹角轴夹角b,b,投影？投影？) )sinsin？coscos？可假想两分力和

11、坐标轴平行，同可假想两分力和坐标轴平行，同向向+ +反向反向- (- (例力例力y y同向、同向、x x反向反向) )？122-2 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法 一、力的分解一、力的分解 二、力在坐标轴上的投影二、力在坐标轴上的投影 投影和分力有什么投影和分力有什么不同？不同？1 1、数值大小不一定相同数值大小不一定相同：两：两分力方向和坐标轴平行分力方向和坐标轴平行, ,分力分力数值等于投影值；分力和坐数值等于投影值；分力和坐标轴不平行标轴不平行, ,不相等不相等2 2、物理量不同物理量不同：分力是矢量：分力是矢量, ,按平行四边形分解任意方向按平行四边形分解

12、任意方向, ,也可用也可用FxFyFxFy表示；投影标量表示；投影标量, ,只有大小和正负只有大小和正负如果已知力在两个轴的投影如果已知力在两个轴的投影FxFx和和FyFy，即可求该力的大小和方向，即可求该力的大小和方向22yxFFFxyFFtan大小：大小：方向：方向：13例：试求图中所示例：试求图中所示F F1 1，F F2 2，F F3 3各力在各力在X X，Y Y轴上的投影。轴上的投影。 1x11cos600.5oFFF解：解： 1y11sin600.866oFFF 2x22sin600.866oFFF 2y22cos600.5oFFF 3x0F 3y3FF14投影和分力有什么投影和分

13、力有什么不同？不同？1 1、数值大小不一定相同数值大小不一定相同：两：两分力方向和坐标轴平行分力方向和坐标轴平行, ,分力分力数值等于投影值；分力和坐数值等于投影值；分力和坐标轴不平行标轴不平行, ,不相等不相等2 2、物理量不同物理量不同：分力是矢量：分力是矢量, ,按平行四边形分解任意方向按平行四边形分解任意方向, ,也可用也可用FxFyFxFy表示；投影标量表示；投影标量, ,只有大小和正负只有大小和正负152-2 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法 一、力的分解一、力的分解 二、力在坐标轴上的投影二、力在坐标轴上的投影 三、合力投影定理及其应用三、合力投影定理

14、及其应用(# (# 难点难点) )合力投影定理合力投影定理：合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一：合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一轴上投影的代数和轴上投影的代数和同理同理21R21RR21, ,yyFxxFacFbcxabxyxx F FRxRx=F=F1x1x+F+F2x2x+F+F3x3x+ +=F=FixixF FRyRy=F=F1y1y+F+F2y2y+F+F3y3y+ +=F Fiyiy“”念法？数学用念法？数学用过吗？像英文字母过吗？像英文字母逆时针旋转逆时针旋转9090有了这个定理，可以用投影法求平面汇交力系的合力有了这个定理，可以用投影法求平面汇交力系的合力F FR R

15、。用解析计算的方法求合力的大小和方向，称为用解析计算的方法求合力的大小和方向，称为解析法解析法。2R2RRyxFFF xyFFRRtan 16 例：固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知例：固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN，F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。，求三个力的合力。 解解: : 建立坐标系如图所示，三个力在坐标轴上的投影分别为建立坐标系如图所示，三个力在坐标轴上的投影分别为 10 xF 13kNyF 24kNxF 20yF o35cos304.33kNxFo35sin302.5kNyF解法：中学物理方法，每两个力用平行四边形合成解法：中学物

16、理方法，每两个力用平行四边形合成？必须严格按比例画各力和形状，必须严格按比例画各力和形状，太麻烦太麻烦现在要求用现在要求用投影法投影法，不使用物理学的平行四边形合成法，不使用物理学的平行四边形合成法，今后作业、考试也要求用投影法今后作业、考试也要求用投影法物理方法对了不算对物理方法对了不算对，因为要检查力学方法学得如何，不，因为要检查力学方法学得如何，不检查物理方法学得如何检查物理方法学得如何17合力合力FR 在坐标轴上的投影为在坐标轴上的投影为 合力合力FR 的大小的大小 合力合力FR 的方向的方向 R044.338.33kNxxFF R302.50.5kNyyFF R8.33cosarcc

17、os0.9988.345xFF o3.6 2222R()()(8.33)( 0.5)8.345kNxyFFF 小结小结：中间计算数据可中间计算数据可不必写单位不必写单位（N N）但各力的单位要统一，不要但各力的单位要统一，不要N N与与kNkN混用混用最后结果要写单位最后结果要写单位182-2 2-2 汇交力系合成与平衡的解析法汇交力系合成与平衡的解析法 一、力的分解一、力的分解 二、力在坐标轴上的投影二、力在坐标轴上的投影 三、合力投影定理及其应用三、合力投影定理及其应用四、平衡四、平衡汇交力系平衡的充要条件是汇交力系平衡的充要条件是力系的合力等于零力系的合力等于零。 02R2RR yxFF

18、F00RR yyxxFFFF即平面汇交力系平衡的即平面汇交力系平衡的解解析条件析条件是：力系中各力在是：力系中各力在x轴和轴和y轴上的投影之代数和轴上的投影之代数和均等于零。均等于零。由于提供的独立的方程有两个，故可以由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量求解两个未知量。19 用合力投影定影定理进行计算用合力投影定影定理进行计算 1 1、设各力在坐标轴上的投影分别为、设各力在坐标轴上的投影分别为F F1X1X，F F2X2X， F F3X3XFFNXNX及及 F F1Y1Y, F, F2Y2Y, F, F3Y3YFFNYNY， 2 2、合力、合力F F在轴上的投影分别为在轴上的投影分

19、别为F FX X，F FY Y，根据，根据合力投影定理得：合力投影定理得： F FX X= F= F1X1X+F+F2X2X+F+F3X3XFFNXNX=F=Fixix F FY Y= F= F1Y1Y+F+F2Y2Y+F+F3Y3YFFNYNY=F Fiyiy平面汇交力系平衡的解析平面汇交力系平衡的解析法的步骤是什么？法的步骤是什么？20 例：边长为例：边长为a 的直角弯杆的直角弯杆ABC 的的A 端与固定铰链联结，端与固定铰链联结，C 端与杆端与杆CD 用销钉联结，杆用销钉联结，杆CD 与水平线的夹角为与水平线的夹角为60o ，不计杆自重，沿，不计杆自重，沿BC 方方向作用已知力向作用已知

20、力F = 60N。试求。试求A、C 两点的约束力。两点的约束力。 解解: : 以直角弯杆以直角弯杆ABC 为研究对象，受为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程力图与坐标系如图所示。建立平衡方程 0:xF ooACsin45cos600FFF0:yF ooCAsin60cos450FFA53.79NF C43.92NF 解得：解得： 21 以直角弯杆以直角弯杆ABC 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立平衡方程建立平衡方程 0:xF 0:yF A53.79NF C43.92NF 解得：解得： ooACsin45cos750FFFooCsin75c

21、os450FF22第二章第二章 汇交力系汇交力系 小结小结一、一、汇交力系的合成汇交力系的合成1 1、汇交力系合成的几何法、汇交力系合成的几何法 力多边形法则力多边形法则FFFFFR12n 汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合力，将汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合力，将n个力矢依个力矢依次首尾相连，连接第次首尾相连，连接第1个力矢的始点到第个力矢的始点到第n 个力矢的终点所形成的个力矢的终点所形成的力矢为力矢为n个力的合力，即合力力矢由力多边形的封闭边表示。个力的合力，即合力力矢由力多边形的封闭边表示。 23第二章第二章 汇交力系汇交力系一、一、汇交力系的合成汇交力系的合成2 2、汇交力系合成的解析法、汇交力系合成的解析法力的解析表达式力的解析表达式 力力F 的大小的大小 力力F 的方向的方向 2R2RRyxFFF xyFFRRtan yyxxFFFF RRFx 0