人教版数学七年级下册第九章不等式和不等式组教材分析

1、第九章 不等式与不等式组 教材分析一、教材分析（一）本章在教学中的地位与作用 不等式的知识是初中阶段在一元一次方程和二元一次方程组的学习之后进一步探索现实世界数量关 系的重要内容 .数量之间除了有相等关系外， 还有大小不等的关系 正如方程与方程组是讨论等量关系的有 力数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有力数学工具应用不等式的基本性质解一元一次 不等式（组）是一项基本技能，而不等式（组）在解决许多实际问题中也有广泛的应用对中学数学而言， 在比较两个量的大小以及数、 式、 方程和函数的研究中， 都要用到不等式的知识 而一元一次不等式 （组） 是最简单的含未知数的不等式（组） ，也是进一

2、步学习更复杂不等式和函数的基础（二）本章在课标中的要求1结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质2能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等 式组成的不等式组的解集3能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题（三）本章对学生核心素养发展的价值1 数学抽象： 通过具体的实际问题情境，抽象出不等式，发展学生的数学抽象素养2逻辑推理：从特殊具体的事例，归纳出不等式的性质；类比一元一次方程的解法去解一元一次不 等式，发展学生的推理能力 3 数学建模： 由很多与实际生活有关的数学问题创设情境，学生能够借用所学知识将生活中的一些 问

3、题抽象出不等式（组） ，联系运用所学数学知识解决问题，逐步培养学生会用数学的眼光看世界，用数 学的思维思考世界，用数学的话言表达世界4直观想象：利用数轴表示不等式的解集，构建直观模型，建立数与形的结合，提升解决问题的能 力5 数学运算：探究并形成解一元一次不等式（组）的一般程序，体会化归思想，提升运算能力（四）本章的教学目标1了解一元一次不等式及其相关概念，经历“把实际问题抽象为不等式 ”的过程，能够 “列出不等式或不等式组表示问题中的不等关系 ”，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型 .2通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质，能利用它们探究一元一次不等式的解法.3了解解一

4、元一次不等式的基本目标（使不等式逐步转化为x>a 或 x<a 的形式），熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴含的化归思想 .4了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集五）本章的知识结构框图不等式及其解集不等式的性质元一次不等式及其解法元一次不等式组及其解法（六）本章的课时安排本章教学约 12 课时，具体安排如下： （供参考）9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集1 课时9.1.2不等式的性质2 课时9.2一元一次不等式4 课时9.3一元一次不等式组3 课时数学活动与小结2 课时二

5、、教学建议1运用类比，做好从方程到不等式的知识迁移从课程标准看，方程与不等式是同属“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容，它们之间有密切 的联系，存在许多可以进行类比的内容在前面已经学习过有关方程（组）内容的基础上，学生已经对方 程有一定的认识，会用方程表示问题情境中的等量关系，会解一元一次方程和二元一次方程组，即对于方程的认识已经具备一定的积累借助已有的对方程的认识，可以类比学习不等式（组） 本章的类比可以从整个知识结构和具体知识两方面进行 .1）等式与不等式概念和性质的类比：等式不等式定义相等关系等号表示不等关系不等号表示加 文字等式两边加（或减）同一个数（或不等式两边加（或减）同一个数

6、（或式子） ,性 减 语言式子），结果仍然相等 .不等号的方向不变 .质性质 性 符号如果 a b ，如果 a b ，质 语言语言那么 a c b c.那么 a c b c.乘 除 性 质文字语言等式两边乘同一个数， 或除以同 一个不为 0 的数，结果仍相等 .文字语言不等式两边乘（或除以）同一个正 数，不等号的方向不变 .符号语言如 果 a b ， c 0 ， 那 么 abac bc ；.cc符号语言如果 a b ，那么 ac bc ； ab(c 0)cc文字语言不等式两边乘（或除以）同一个负 数，不等号的方向改变 .符号语言如 果 a b ， c 0 ， 那 么 abac bc ；.cc2

7、）一元一次方程与一元一次不等式概念的类比：一元一次方程一元一次不等式定义含有一个未知数， 未知数的次数是 1 的方 程，叫一元一次方程 .含有一个未知数， 未知数的次数是 1 的不等 式，叫一元一次不等式 .解使方程中等号左右两边相等的未知数的 值，叫方程的解 .使不等式成立的未知数的值，叫不等式的 解.解集由不等式的所有解组成的集合， 叫一元一次 不等式的解集 .解方程；解不等式求方程解的过程叫解方程 .求不等式解集的过程，叫解不等式 .3）一元一次不等式解法与一元一次方程解法类比：类比于利用等式的两个基本性质求一元一次方程的解，利用不等式的三条基本性质，采用与解一元一 次方程相类似的步骤去

8、解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集，但是要强调不等式两边同时乘 以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向 .（4）不等式组与方程组的概念的类比：类比方程组的解的概念去理解不等式组解集的概念 . 即：由方程组的解是两个方程的公共解，认识到 不等式组的解集是几个不等式的解集的公共部分 , 类比概念的同时体会两者概念与解法中的区别及产生原 因.2重视数学思想的运用（ 1） 建模思想数学建模的思想在前面章节（如方程）已有渗透，只不过本章的学习对象是不等式 . 因此，本章教学 时，需要以不等式的知识为载体，将符号化、模型化的思想进一步发展和加强 . 在这个思想指导下，需要 引导学生完成用数学模

9、型表示和解决实际问题的步骤：正确地理解问题情境，分析其中的不等关系，设未 知数，列不等式等（2）化归思想解不等式（组） ，最终要使不等式（组）变形为x>a 或 x<a 的形式，即依据不等式的性质，使不等式 （组）逐步化简，直至明确求出未知数的大小范围在教学中，需要注意指导学生由这种化归的思想，类 比解方程，获得解不等式的步骤，即关注“如何由思想转化为具体的步骤” ，而不是单纯地教步骤，教操 作.（3）数形结合思想 数轴是解决不等式（组）一系列问题的有效工具，应在学生可以熟练地在数轴上表示出不等式解集的 基础上进一步研究不等式组的解集 . 可通过观察在同一数轴上表示出的多个不等式的解

10、集，找出它们的公 共部分，从而确定不等式组的解集 . 进而通过分析、归纳出求不等式组解集的一般规律. 对于含字母系数的不等式组解集问题的处理一直以来是学生学习过程中遇到的难题，要使这类问题得到很好的解决，数轴是 最好的工具 .（4）转化思想和分类讨论思想在本章也都有所体现3关注基础知识和基本技能 虽然以不等式为工具分析问题、解决问题是本章的重难点，但是教科书编写时，对于基本知识和基本 技能给予了充分的关注 . 例如安排一元一次不等式内容时，采用了“概念解法应用”的结构，即先利 用简单的一元一次不等式完成一元一次不等式概念和解法这些基本知识和基本技能的学习，然后再利用实 际问题学习一元一次不等式

11、的应用 . 因此，在本章教学时，应注意打好基础，对基础知识和基本技能、能 力等进行及时的归纳整理，安排必要的、适量的练习，使得学生对基础知识留下较深刻的印象，对基本技 能达到一定的掌握程度，发展基本能力三、具体内容分析9.1 不等式9.1.1 不等式及其解集【教学目标】（1）了解不等式及其相关概念；（2）理解不等式的解集的概念，掌握不等式解集的两种表示方法； （ 3）体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型.【重点】不等式及其相关概念 . 【难点】把实际问题抽象为不等式 .1. 不等式：用不等号表示不等关系的式子 解读不等号：>、<、，明确“不大于”、“不小于” 、“

12、不超过” “不少于” 、“至多”、“至少”等的含义 . 让学生体会文字语言与数学符号语言的互相转化 .2不等式的解和不等式的解集 类比方程的解的概念给出不等式解的概念，区别是不等式的解往往不唯一，体会集合的概念，是学 生的难点，借助在数轴上表示不等式的解集，体会数学符号语言与图形语言的互相转化 .例： 1. 列不等式表示下列数量关系：1） x的1与 3的差是负数；（2）b与5的差不是正数；213）b的 与 c 的和不大于329；（4）b的 与 3c的和大于 13且不大于 9.3意图： 文字语言转化为数学符号语言代数式书写的规范性 . 体会“且”的含义及正确表达，为理解不等式组做准备2. 描述下

13、列不等式表示的数量关系：（1）m 1 0；（2） 2n 1 3 ； （3）2a 450意图：数学符号语言转化为文字语言3. 在数轴上表示不等式的解集：（1） x 1（2） x <33） x1（4）0< x 5意图： 培养良好的画图习惯 , 必须用铅笔和直尺分解画图过程，理解不等式的解集9.1.2 不等式的性质【教学目标】（1）探索并掌握不等式的性质；（ 2）能用不等式的性质解简单的一元一次不等式.【重点】用不等式的性质解一元一次不等式 .【难点】理解等式的性质与不等式的性质之间的区别与联系例： 1.用适当的不等号填空，并说明理由：如果 ab，那么：（1）a3_ b 3 ；（ 2 ）

14、 7a_7b；（3） 2a_ 2b；（4）a3_2_ b 3 ；（ 5） ac2 _bc2 .意图：增强语言表达能力，熟悉不等式的性质，为代数说理能力的形成奠定基础2. 将下列不等式转化为 x>a 或 x<a 的形式：（1） x 5 3（2）2x 1 （3） 4x33（4） 3x 1*（5） mx n（m 0）2意图： 理解并掌握不等式的性质； 通过渗透分类讨论思想，进一步强化不等式的性质； 将含参数的不等式分散到各节，从而分散知识点，降低难度 .3. 已知 x<3, 请根据不等式的基本性质，判断下列代数式的取值范围 .（1） 2x（2） 3x 1（3） 2x 1（4）8 3

15、x意图：进一步熟悉不等式的性质 .4. 作差法比较大小（课本 121 页的阅读与思考） 意图：进一步体会不等式性质的作用 .9.2 一 元一 次不等式【教学目标】（1）了解一元一次不等式的概念；（2）掌握一元一次不等式的解法，体会其中蕴含的化归思想；（ 3）能够根据实际问题设未知数，列出一元一次不等式，并用它解决实际问题.【重点】一元一次不等式的解法 .【难点】用一元一次不等式的知识解决实际问题 . 类比一元一次方程的解法探讨出一元一次不等式的解法，由简单到复杂，合理利用数轴确定不等式的解集.1. 掌握不等式的基本解法：解不等式 x 1 2x 5解：去分母，得2x3 2x 5 12 （不等式性

16、质 2）去括号，得2x2 6x 15 12 （分配律）移项，得2x 6x12 2 15 （不等式性质 1）合并同类项，得4x分配律）系数化 1，得4x55 （不等式性质 3）454解集在数轴上表示为：意图：与解一元一次方程做比较，注意去分母和系数化1 所乘数是否为负数，乘一个负数要改变不等号的方向；强调解题步骤和依据，关注过程，进一步落实不等式的性质2. 不等式的特殊解3x 4例 求不等式 3 7 的最大整数解 .2 分析：先求出不等式的解集，再在解集中，找出符合附加条件的解，要求学生勾画出题目中的特殊条件， 养成良好的审题习惯 .解： 去分母得 3x 4 6 14移项得 3x 14 4 6合

17、并同类项得 3x 161系数化 1 得 x 513所以最大整数解为： x 5意图：培养良好的审题习惯，标注关键词3. 含参数的一元一次不等式问题探究（1）整数解问题 已知不等式 x a的正整数解是 1 ，2 ，3， 则 a的取值范围 .变式 1：已知不等式 x a 的最大整数解是 3 ，则a 的取值范围 .变式 2：已知不等式 x a 的正整数解是 1 ，2 ，3， 则 a 的取值范围 .变式 3：已知不等式 x a 的最小整数解是 -3 ，则a 的取值范围 .（2）求解下列关于 x 的不等式： 已知 m<1，解 （m 1）x 1 m ；4 已知 a，b 为有理数，不等式 （2a b）x

18、 3a 4b 0 的解集是 x 4 ，9 求不等式 （a 4b）x 2a 3b 0 的解集 .2x y 1 3m 已知方程组 的解满足 x y 0，求 m 的取值范围 .x 2y 1 m4. 实际应用问题 （1）学会抓住关键语句：不等关系 例：去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到 55 00 ，如果到明年这样的比值要超过 70 00 ，那么明年空气质量良好的天数要比去年增加多少？这一类问题比较接近于学生熟悉的利用一元一次方程（组）解决的实际问题，只是问题中的等量关系 变成了不等关系，并且往往用“比” 、“超过”等词加以体现。需要认真阅读理解分析题目， “审”题目中

19、 的“事”和“理” ，以此抓住数量关系“设” 、“列”、“解”、“答” . （2）方案优选问题，合理分类讨论，恰当运用作差法比较大小 例、甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲店累计购买 100 元商品后， 再购买的商品按原价 90%收费；在乙店累计购买 50元商品后， 再购买的商品按原价的 95%收费， 顾客怎么样选择商品购物花费最少？引导学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用来解决实际问题 . 让学生体 会建立不等式模型的过程，培养学生有条理的思考和表达的习惯；分析结束后，可以让学生再结合结论给 出一个合理的消费方案，回归到解决实际

20、问题的方法上 .9.3 一元一次不等式组【教学目标】 （1）了解不等式组及其相关概念； （2）会解一元一次不等式组，并用数轴确定解集；(3) 能够列出不等式组表示问题中的不等关系 【重点】确定几个一元一次不等式解集的公共部分 【难点】列不等式组表示实际问题中的不等关系 1. 类比方程组的概念得出一元一次不等式组的概念2. 结合数轴探究一元一次不等式组的解集 例 解下列不等式组 , 并把解集在数轴上表示出来 3x 15 0 2x 2 4(1) (2)7x 2 8x 3x 1 52x 1 11 x 3(x 2) 4 (3) 3x 1 (4) 1 2x1 x x 1 23意图：通过联系解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式组的基本步骤：(1) 分别求出不等式组中各个不等式