数学模型第四版课后答案姜启源版

1、 数学模型作业答案第二章(1)2012年12月21日1 学校共1000名同学，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.同学们要组织一个10人的委员会，试用以下办法分配各宿舍的委员数：1. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;2. §1中的q值方法；3.dhondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5abc235 78.3 58.75 333 111 83.25 432 216 144 108 将所得商数从大到小取前10个10为席位数，在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别

2、为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先合计n=10的分配方案， 方法一按比例分配 分配结果为： 方法二q值方法9个席位的分配结果可用按比例分配为：第10个席位：计算q值为 最大，第10个席位应给c.分配结果为 方法三dhondt方法 此方法的分配结果为：此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位i=1,2,3代表a、b、c宿舍.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近. 再合计的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下

3、：宿舍1 2 31 2 3abc 3 2 2 3 3 3 4 5 54 4 35 5 56 6 7总计 10 10 1015 15 152 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.合计到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得 数学模型作业解答第三章12008年10月14日1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证实在不同意缺货模型中结果与原来的一样，而在同意缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设

4、及符号约定同课本 关于不同意缺货模型，天天平均费用为： 令 ， 解得由 ，得与不合计购货费的结果比较，、的最优结果没有变 关于同意缺货模型，天天平均费用为： 令，得到驻点：与不合计购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不同意缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数，销售速率为常数，在每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的状况. 解：由题意可得贮存量的图形如下：o 贮存费为 又 , 贮存费变为 于是不同意缺货的状况下，生产销售的总费用单位时间内为 . , 得 易得函数取得最小值

5、，即最优周期为： . 相当于不合计生产的状况. . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章22008年10月16日3在3.3节森林救火模型中，如果合计消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：合计灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设: ，分母而加的.总费用函数最优解为 5在合计最优价格问题时设销售期为t，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求，再求的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为 又 .于是总利润为=, 得到最优价格为:在销售期t内的

6、总销量为于是得到如下极值问题： 利用拉格朗日乘数法，解得：即为的最优值.第三章32008年10月21日6. 某厂天天必必需要角钢100吨，不同意缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.天天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货马上到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：天天角钢的必必需要量r=100(吨);每次订货费2500元;天天每吨角钢的贮存费0.18元.又现在的订货周期t30天依据不同意缺货的贮存模型：得：令 ， 解得： 由实际意义知：当即订货周期为时，总费用将最小. 又300100k =35333100k353.33100k30010

7、0k5333.故应改变订货策略.改变后的订货策略周期为t=，能节约费用约5333元.数学模型作业解答第四章2008年10月28日1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用原料2千克, 原料4千克.现有原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为s则此问题的数学模型为： max s=20x+30y s.t. 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线：20x

8、+30y=c在可行域内 平行移动. 易知：当过与的交点时， xs取最大值. 由 解得 此时 20350元2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积立方米/箱重量百斤/箱利润百元/箱甲5220乙4510 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,所获利润为则问题的数学模型可表示为 这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线 及组成直线 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时，取最大值由 解得 . 3某微

9、波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所必必需工时分别为4和2100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉件,乙型微波炉件,相应的利润为s.则此问题的数学模型为： max s=3x +2y s.t. 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.

10、 直线：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时, s取最大值. 由 解得 . 3100.数学模型作业解答第五章12008年11月12日1.模型，证实： 1假设，然后减少并趋于零；单调减少至 2解：传染病的模型14可写成 1 2 4在5.3节正规战争模型3中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力相同. (1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 假设甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何推断双方的胜负. 解:用表示甲、乙交战双方随时t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为.

11、再由初始条件，得又由其解为 (1) 即乙方取胜时的剩余兵力数为又令注意到. (2) 假设甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 相轨线为 此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为第五章22008年11月14日中心室, 排除6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型只有中心室，在快速静脉注射、恒速静脉滴注继续时间为和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形. 解: 设给药速率为 (1)快速静脉注射: 设给药量为 则(2)恒速静脉滴注(继续时间为): 设滴注速率为解得 (3) 口服或肌肉注射: 3种状况下的血药浓度曲线如下：(1)(2)(3)ot 第五章320

12、08年11月18日8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中, (1) 设求 (2) 假设有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到处的状况下，进入人体毒物量的区别.解， (2) 关于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为只吸到处就扔掉的状况下的毒物量为4在5.3节正规战争模型3中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力相同. (1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定. (2) 假设甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何推断双方的胜负. 解:用表示甲、乙交战双方随时t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: 现求(1)的解: (1)的系数矩阵

13、为.再由初始条件，得又由其解为 (1) 即乙方取胜时的剩余兵力数为又令注意到. (2) 假设甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 相轨线为 此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为数学模型作业解答第六章2008年11月20日1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h(1)分别就，这3种状况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况(2)如何获得最大继续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同解：设随时t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：变化规律的数学模型为记(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由，得 即 ，(1)的解为：当，(

14、1)无实根，此时无平衡点；当，(1)有两个相等的实根，平衡点为.， 不能肯定其稳定性.但 及 均有 ，即不稳定；当，时，得到两个平衡点：， 易知： ， ， ，平衡点不稳定，平衡点稳定x(2)最大继续产量的数学模型为即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定这是与6.1节的产量模型不同之处要获得最大继续产量，应使渔场鱼量，且尽量接近，但不能等于2.与logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是gompertz模型：其中r和n的意义与logistic模型相同设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大继续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平

15、解：变化规律的数学模型为 记 令，得 ，平衡点为 . 又， 平衡点是稳定的，而平衡点不稳定. 0 最大继续产量的数学模型为：由前面的结果可得 ，令得最大产量的捕捞强度从而得到最大继续产量，此时渔场鱼量水平3设某渔场鱼量(随时渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.1求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;2试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大继续产量,求此时渔场鱼量水平.解：1变化规律的数学模型为 记,令 ，即 -1 ， 1的解为： 当时，1无实根，此时无平衡点； 当时，1有两个相等的实根，平衡点为. ， 不能肯定其稳定性.但 及 均

16、有 ，即不稳定； 当时，得到两个平衡点： ， 易知 ， ， 平衡点不稳定 ，平衡点稳定. 2最大继续产量的数学模型为： 即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.要获得最大继续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于. 数学模型第七章作业2008年12月4日1 关于7.1节蛛网模型讨论以下问题：1因为一个时段上市的商品不能马上售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2已知某商品在时段的数量和价格分别为和和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3 已知某商品在时段的数量

17、和价格分别为和和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.数学模型作业解答第七章2008年12月4日2 关于7.1节蛛网模型讨论以下问题：1因为一个时段上市的商品不能马上售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2假设除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和否还会放宽.解：1由题设条件可得必必需求函数、供应函数分别为： 在点四周用直线来近似曲线，得到 由2得 1代入3得 对应齐次方程的特征方程为 特征根为当时，则有特征根在单位圆外，设，则 即平衡稳定的条件为与的结果一致.2此

18、时必必需求函数、供应函数在处四周的直线近似表达式分别为： 由5得， 将4代入6，得 对应齐次方程的特征方程为代数方程7无正实根，且不是7的根.设7的三个非零根分别为，则对7作变幻： 则 其中 用卡丹公式：其中求出，从而得到，于是得到所有特征根的条件.2已知某商品在时段的数量和价格分别为和和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的必必需求函数和供应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点四周可以用直线来近似表示曲线和： -1 -2从上述两式中消去可得 ， -3上述3式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求点稳定平衡条件，我们合计3对应的齐

19、次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 -4当8时，显然有 -5从而 2，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必必需 故点稳定平衡条件为 3 已知某商品在时段的数量和价格分别为和和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的必必需求函数和供应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点四周可以用直线来近似表示曲线和： -1 - -2由2得 -3 1代入3，可得 ， -4上述4式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求点稳定平衡条件，我们合计4对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 -4当8时，显然有

20、 -5从而 2，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必必需 故点稳定平衡条件为 数学模型作业解答第八章2008年12月9日1 阶一致阵有以下性质：1 的秩为1，唯一非零特征根为；2 的任一列向量都是对应于的特征向量. 证实： 1由一致阵的定义知：满足，于是关于任意两列，有，.即列与列对应分量成比例.从而对作初等行变幻可得： b这里.，从而秩再依据初等行变幻与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵，使，于是c易知c的特征根为只有一个非零特征根.又，与c有相同的特征根，从而a的非零特征根为，又关于任意矩阵有.故a的唯一非零特征根为.2关于a的任一列向量，有 的任一列向量都

21、是对应于的特征向量.7. 右以以下图是5位网球选手循环赛的结果，作为比赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.21345解：.所以此比赛图是双向连通的. 等都是完全路径. 此比赛图的邻接矩阵为 令，各级得分向量为， ， ， 由此得名次为5，14，2，3 选手1和4名次相同. 注：给5位网球选手排名次也可由计算a的最大特征根和对应特征向量得到：，数学模型作业12月16日解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益的层次结构图.越海方案的最优经济效益解：目

22、标层 建筑就 业岸间商 业当地商业收入省时 准则层修隧道建桥梁设渡轮 方案层 2.简述层次分析法的基本步骤. 问关于一个马上毕业的大同学选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：1建立层次结构模型；2构造成对比较阵；3计算权向量并做一致性检验；4计算组合权向量并做组合一致性检验 关于一个马上毕业的大同学选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层

23、次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵a为一致阵的充要条件. 答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：n阶正互反阵a是一致阵的充要条件为：a的最大特征根=n 第九章2008年12月18日1在节传送带效率模型中,设工人数固定不变.假设想提升传送带效率d,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数，比如增加一倍，其它条件不变另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何随时可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样试推导这种状况下传送带效率的

24、公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好解：两种状况的钩子数均为第一种办法是个位置，单钩放置个钩子；第二种办法是个位置，成对放置个钩子 由节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为当较小，时，有， 下面推导第二种办法的传送带效率公式：关于个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，合计一个周期内通过的个钩对任一只钩对被一名工人接触到的概率是； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是；记由工人生产的独立性及事件的互不相容性得，任一钩对为空的概率为，其空钩的数为；任一钩对上只挂上件产品的概率为，其空钩数为所以一个周期内通过的个钩子中，空钩的平均数为 于是带走产品的平均数是 ，未带走产品的平均数是

25、 此时传送带效率公式为 近似效率公式：由于 当时，并令，则 两种办法的比较：由上知：，当时， 所以第二种办法比第一种办法好数学模型作业解答 第九章2008年12月23日是一随机变量，其概率分布如下表：售出报纸数百份012345概率005试问报童天天定购多少份报纸最正确(定购量必必需是100的倍数)？解：设天天定购百份纸，则收益函数为 收益的期望值为g(n) = + 现分别求出 =时的收益期望值. g(0)=0；g(1)=×0.05+7×0.1+7×+0.1=6.45;g(2)= ();g(3)=() g(4)=() g(5)= 当报童天天订300份时，收益的期望值

26、最大. 数模复习资料第一章1. 原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型2. 数学模型对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口随时间自由增长过程的微分方程.3. 数学建模所谓数学建模是指依据必必需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指关于现实世界的某一特定系统或特

27、定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：实际问题抽象、简化、假设确定变量、参数归结数学模型 数学地、数值地 求解模型估计参数否 检验模型(用实例或有关知识)符合否？是评价、推广并交付使用产生经济、社会效益4.数学建模的步骤依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用5.数学模型的分类数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：a.按模型的应用领域分类 数学模型 b.按建模的数学

28、方法分类 数学模型 c.按建模目的来分类 数学模型 d.层次分析法的基本步骤：e.n阶正互反正a是一致阵的充要条件为a的最大特征值为n：幂法、和法、根法4在“椅子摆放问题的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形abcd. ab与cd的对称轴为轴，用中心点的转角表示椅子的位置.将相邻两脚a、b与地面距离之和记为;c、d与地面距离之和记为.并旋转.于是，设就得到.数学模型：设是上的非负连续函数.假设,有,且,则,使.模型求解:令 .就有 .再由的连续性,得到是一个连续函数. 从而是上的连续函数.由连续函数的介值定理：,使.即,使.又

29、因为,有.故.9 1某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一随时经过路径中的同一地点.为什么？237支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束.问共必必需进行多少场比赛，共必必需进行多少轮比赛.如果是支球队比赛呢？解：1方法一：以时间为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程为纵坐标， 第一天的行程可用曲线表示 ，第二天的行程可用曲线表示，是连续曲线必有交点,两天都在随时经过地点. x d 方法二：设想有两个人， () 一人上山，一人下

30、山，同一天同 时出发，沿同一路径,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为(即t随时走的路程为),同样设从山顶到山下旅店的路函数为,并设山下旅店到山顶的距离为(>0).由题意知：,.令,则有，由于,都是时间t的连续函数,因此也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,使,即.236场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. 队必必需赛场，假设，则必必需赛轮.2已知某商品在时段的数量和价格分别为和和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的必必需求函数和供

31、应函数分别为和.设曲线和相交于点，在点四周可以用直线来近似表示曲线和： -1 - -2由2得 -3 1代入3，可得 ， -4上述4式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求点稳定平衡条件，我们合计4对应的齐次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根为 -5当8时，显然有 -6从而 2，在单位圆外下面设，由(5)式可以算出 要使特征根均在单位圆内，即 ，必必需 故点稳定平衡条件为 3设某渔场鱼量(随时渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.1求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;2试确定捕捞强度,使渔场单位时间

32、内具有最大继续产量,并求此时渔场鱼量水平.解：1.变化规律的数学模型为 记,令 ，即 -1 ， 1的解为： 当时，1无实根，此时无平衡点； 当时，1有两个相等的实根，平衡点为. ， 不能肯定其稳定性.但 及 均有 ，即不稳定； 当时，得到两个平衡点： ， 易知 ， ， 平衡点不稳定 ，平衡点稳定. 2最大继续产量的数学模型为： 即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.要获得最大继续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.5某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品必必需要原材料、能源消耗、劳作力及所获利润如下表所示：品种原材料能源消耗(百元)劳作力(人)利润(千元)甲2144乙3625现有库

33、存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳作力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品件，乙产品 模型的求解： 用图解法.可行域为：由直线组成的凸五边形区域. 直线在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当过的交点时，s取最大值. 由 解得：千元. 故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.6. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积立方米/箱重量百斤/箱利润百元/箱甲5220乙4510 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米

34、，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,所获利润为则问题的数学模型可表示为 这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线 及组成直线 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时，取最大值由 解得 . 与波长、水深、水的密度和重力加速度有关，试用量纲分析方法给出波速的表达式.解：设,， 的关系为=0.其量纲表达式为=lm0t-1，=lm0t0，=lm0t0，=l-3mt0， =lm0t-2,其中l，m，t是基本量纲. -4分量纲矩阵为 a= 齐次线性方程组ay=0 ，即 的基本解为= = 由量

35、纲定理 得 , , ，其中是未定函数 . 第二章(2)2008年10月9日15速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、s、的关系.解: 设、s、的关系为， 其量纲表达式为:p=, =,=,=,这里是基本量纲.量纲矩阵为：a=齐次线性方程组为：它的基本解为由量纲定理得， ， 其中是无量纲常数.16雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设, 的关系为,=0.其量纲表达式为=lm0t-1，=l-3mt0，=ml

36、t-2lt-1l-1-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，=lm0t-2,其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为 a=齐次线性方程组ay=0 ，即 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.16雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.解：设,， 的关系为.其量纲表达式为=lm0t-1，=l-3mt0，=mlt-2lt-1l-1-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，=lm0t0 ，=lm0

37、t-2其中l，m，t是基本量纲.量纲矩阵为a=齐次线性方程组ay=0 即 的基本解为 得到两个互相独立的无量纲量即 . 由 , 得 , 其中是未定函数. 20.视察阻尼摆的周期，即在单摆运动中合计阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度，阻力系数的关系为其量纲表达式为：， 其中，是基本量纲.量纲矩阵为 a=齐次线性方程组 的基本解为得到两个互相独立的无量纲量, , ，其中是未定函数 . 合计物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,. 又 当

38、无量纲量时， 就有 .第三章12008年10月14日2. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证实在不同意缺货模型中结果与原来的一样，而在同意缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本 关于不同意缺货模型，天天平均费用为： 令 ， 解得由 ，得与不合计购货费的结果比较，、的最优结果没有变 关于同意缺货模型，天天平均费用为： 令，得到驻点：与不合计购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不同意缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数，销售速率为常数，在每个生产周期内，开始的一段时间一边生产一

39、边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的状况. 解：由题意可得贮存量的图形如下：o 贮存费为 又 , 贮存费变为 于是不同意缺货的状况下，生产销售的总费用单位时间内为 . , 得 易得函数取得最小值，即最优周期为： . 相当于不合计生产的状况. . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第四章2008年10月28日2. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用原料2千克, 原料4千克.现有原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？

40、解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为s则此问题的数学模型为： max s=20x+30y s.t. 这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线：20x+30y=c在可行域内 平行移动. 易知：当过与的交点时， xs取最大值. 由 解得 此时 20350元2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物体积立方米/箱重量百斤/箱利润百元/箱甲5220乙4510 已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多

41、少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,所获利润为则问题的数学模型可表示为 这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线 及组成直线 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时，取最大值由 解得 . 3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所必必需工时分别为4和2100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉件,乙型微波炉件,相应的利润为s.则此问题的数学模型为： max s=3x +2y s.t. 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2