初中数学思想方法的教学与应用详解

1、 郑州市第八十五中学郑州市第八十五中学 张利红张利红中位数中位数 数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。 数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方数学内部问题和实际问题）过程中，所采用

2、的各种方式、手段、途径等。式、手段、途径等。 数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。 中位数中位数常用数学思想常用数学思想: 建模思想、统计思想、最优化思想、建模思想、统计思想、最优化思想、转化化与化归思想、类比思想、分类思想、转化化与化归思想、类比思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、方程思想、函整体思想、数形结合思想、方程思想、函数思想等。数思想等。常用数学方法：常用数学方法： 配方法、换元法、待定系数法、参数法、配方法、换元法、待定系数法、参数法、构

3、造法、特殊值法等。构造法、特殊值法等。中位数中位数 1、生活的需要、生活的需要 2、学生发展的需要、学生发展的需要 3、课标要求、课标要求 4、高效课堂的需要、高效课堂的需要 中位数中位数 一、数学思想方法的培养应遵循的原则：一、数学思想方法的培养应遵循的原则： 渗透性原则、层次性原则、反复性原则渗透性原则、层次性原则、反复性原则 二、在知识的传授全过程中，培养学生的数学思想二、在知识的传授全过程中，培养学生的数学思想 在在概念形成过程概念形成过程中、在中、在公式定理的证明过程公式定理的证明过程中、中、在在例题教学例题教学中、在中、在练习过程练习过程中渗透和培养数学思想中渗透和培养数学思想 三

4、、培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问三、培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问题的能力题的能力中位数中位数 类比联想类比联想 整体思想整体思想 数形结合思想数形结合思想 分类讨论思想分类讨论思想 转化与化归思想转化与化归思想 方程与函数思想方程与函数思想中位数中位数 类比法，是通过对两个研究对象的比较，类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两

5、个研究对象的观类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法是一种由特殊到特殊的推理方法 中位数中位数相似三角形判定方法的探索相似三角形判定方法的探索零指数幂和负整数指数幂的性质探索零指数幂和负整数指数幂的性质探索特殊平行四边形性质和判定的探索特殊平行四边形性质和判定的探索直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的探索系的探索整式除法运算法则探索整式除法运算法则探索求多边形内角和求多边形内角和中位数中位数(2008中考）中考）18.（9分）复习分）复习“全等三角形全等三

6、角形”的知识时，的知识时，老师布置了一道作业题：老师布置了一道作业题：“如图，已知在如图，已知在abc中，中，ab=ac，p是是abc内部任意一点，将内部任意一点，将ap绕绕a顺时针旋转顺时针旋转至至aq，使，使qap=bac，连接，连接bq、cp，则，则bq=cp” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了过对图的分析，证明了abq acp，从而证得，从而证得bq=cp之后，将点之后，将点p移到等腰三角形移到等腰三角形abc之外，原题中的之外，原题中的条件不变，发现条件不变，发现“bq=cp”仍然成立，请你就图给出证仍然成立，请你就图给出证明明图?q?p?

7、c?b?a?a?q?b?p?c图中位数中位数（2010中考）中考）22.（1）操作发现）操作发现如图，矩形如图，矩形abcd中，中，e是是ad的中点，将的中点，将abe沿沿be折折叠后得到叠后得到gbe，且点，且点g在举行在举行abcd内部小明将内部小明将bg延长交延长交dc于点于点f，认为，认为gf=df，你同意吗？说明理由，你同意吗？说明理由（2）问题解决）问题解决保持（保持（1）中的条件不变，若）中的条件不变，若dc=2df，求，求 的值；的值；（3）类比探求）类比探求保持（保持（1）中条件不变，若）中条件不变，若dc=ndf，求，求 的值的值fabadabad中位数中位数f中位数中位数

8、2012中考中考中位数中位数 整体思想就是从问题的整体性质出整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从宏观造，发现问题的整体结构特征，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法。整体来处理的思想方法。中位数中位数多项式与多项式相乘的法则探索多项式与多项式相乘的法则探索二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法代数式求值代数式求值分解因式分解因式整式的相关计算整式的相关计算中位数中位数2、111

9、11111111 1111123423452345 23445axbybxay21xy已知方程组的解是，则a+b= .3、1、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时，求ax3+bx+7的值为；)244()5()73(22aaa4、中位数中位数5、如图，在高、如图，在高2米，坡角为米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要至少需要 米。米。6、如图，、如图， a， b， c两两不相交，且半径都是两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的阴影面积为则图中的阴影面积为 。中位数中位数7 7、（、（20092009绵阳中考绵阳中考1212题

10、）题） 如图，如图，abcabc是直角边长是直角边长为为a a的等腰直角三角形，直角边的等腰直角三角形，直角边abab是半圆是半圆o o1 1的直径，的直径，半圆半圆o o2 2过过c c点且与半圆点且与半圆o o1 1相切，求图中阴影部分的面相切，求图中阴影部分的面积。积。o2o1apbc中位数中位数 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过直观的

11、几何图形、位置关系结合起来，通过“以形以形助数助数”或或“以数解形以数解形”即利用形的直观加深对数量即利用形的直观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。中位数中位数数轴数轴平面直角坐标系平面直角坐标系函数函数空间与图形空间与图形 勾股定理勾股定理平方差公式、完全平方公式的几何意义平方差公式、完全平方公式的几何意义中位数中位数2、关于、关于x的不等式组的不等式组 无解，则无解，则a的取值的取值范围是范围是 。1、已知、已知a0，b0，且，且ab，则（，则（ ）

12、a 、 ba b 、 b c 、a |b| d、 |b| |a|5210 xxa 3、如图是小张用火柴搭的、如图是小张用火柴搭的1条、条、2条、条、3条条“金鱼金鱼”。 则搭则搭n条条“金鱼金鱼”需要火柴需要火柴 根。根。4、若、若m( ,y1),n( ,y2),p( ,y3)三点都在函数三点都在函数（k0）的图象上，则）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（的大小关系为（ ）a、 y2y3y1 b、 y2y1y3 c 、 y3y1y2 d、 y3y2y1121412中位数中位数 6 6、5 5、对于二次函数、对于二次函数y yaxax2 2bxbxc c若若a a0 0，b b0 0，c

13、 c 0 0，则下面关于这个函数与则下面关于这个函数与x x轴的交点情况正确的是（轴的交点情况正确的是（ ） a.a.只有一个交点只有一个交点 b.b.有两个，都在有两个，都在x x轴的正半轴轴的正半轴 c.c.有两个，都在有两个，都在x x轴的负半轴轴的负半轴 d.d.一个在一个在x x轴的正半轴，一个在轴的正半轴，一个在x x轴的负半轴轴的负半轴2012中考中考中位数中位数7 7、(08(08湖北恩施州湖北恩施州) ) 如图如图,c,c为线段为线段bdbd上一动点上一动点, ,分别过点分别过点b b、d d作作abbd,edbd,abbd,edbd,连接连接acac、ec.ec.已知已知a

14、b=5,de=1,bd=8,ab=5,de=1,bd=8,设设cd=x.cd=x.(1)(1)用含用含x x的代数式表示的代数式表示acaccece的长；的长；(2)(2)请问点请问点c c满足什么条件时满足什么条件时,ac,accece的值最小的值最小? ?(3)(3)根据根据(2)(2)中的规律和结论中的规律和结论, ,请构图求出代数式请构图求出代数式 的最小值的最小值. .224(12)9xxedcba中位数中位数 分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解

15、决，这种按不类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。想。 当数学问题中的当数学问题中的条件、结论不明确条件、结论不明确或或题题意中含参数或图形不确定意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。时，就应分类讨论。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决分问题来解决,以增加题设条件。以增加题设条件。中位数中位数1、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标准（标准（标准统一，标准不同，结果也不相同）；标准统一，标准不同，结果也不相同）；2、

16、恰当分类（、恰当分类（结果无遗漏，无交叉重复）；结果无遗漏，无交叉重复）；3、逐类讨论（、逐类讨论（逐级进行，不越级讨论逐级进行，不越级讨论）；）；4、归纳总结，综合得出结论。、归纳总结，综合得出结论。中位数中位数|a |= 实数的分类实数的分类三角形的分类三角形的分类与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系三角形判定方法的探索三角形判定方法的探索一元二次方程的解的情况一元二次方程的解的情况中位数中位数1、等腰三角形的一个角等于、等腰三角形的一个角等于30，腰长为，腰长为20cm，求等腰三角形腰上的高的长；求等腰三角形腰上的高的长；2、已知直角三角形两边、已知直角三角形两边x、y的长满足的长满足

17、，则第三边长为，则第三边长为 ；3、a、b两地相距两地相距450千米，甲、乙两车分别从千米，甲、乙两车分别从a、b两地同时出发，相向而行已知甲车速度为两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米千米/时，乙车速度为时，乙车速度为80千米千米/时，以过小时两车相时，以过小时两车相距距50千米，则的值是（千米，则的值是（ ） a、2或或25 b、2或或10 c、10或或125 d、2或或125224560 xyy中位数中位数4、在半径为、在半径为1的的 o中，弦中，弦ab，ac分别为分别为 和和 ，则则bac的度数为的度数为 ； 5、已知、已知 o的半径为的半径为2，点，点p是是 o外一点，外一

18、点，op的的长为长为3，那么以，那么以p这圆心，且与这圆心，且与 o相切的圆的半相切的圆的半径一定是（径一定是（ ）a1或或5 b1 c5 d16、一次函数、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是，相应的函数值的取值范围是 -5y-2 ，则这个函数的解析式，则这个函数的解析式 。32中位数中位数1、对、对a进行讨论进行讨论2、对、对b进行讨论进行讨论3、对、对c进行讨论进行讨论cabacb20202020cab5050cab808020cab656550cab3535110a ac cb b50501101102020 在三角形的边上

19、找出一点，使得该点在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成与三角形的两顶点构成等腰三角形等腰三角形！中位数中位数 劳技课上，老师要求学生在一张长劳技课上，老师要求学生在一张长17cm，宽，宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积。所得等腰三角形的面积。中位数中位数在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点p（2

20、，1）.xy0.pa（1）点）点t（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，top是等腰三角形？是等腰三角形？情况一情况一:op=ot情况二情况二:po=pt情况三情况三:to=tp)0 ,5();0 ,5(21tt t t3 3(-4,0)(-4,0)0 ,45(4t中位数中位数为对角线以情况一op：)0 , 2(1t为对角线以情况二pa：为对角线以情况三oa：(2) 过过p作作y轴的垂线轴的垂线pa,垂足为垂足为a.点点t为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点a.o.p.t为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点t的坐标

21、的坐标?0.pa)2, 2(2t)0 , 2(3t中位数中位数xy0.p时当情况一090pto：时当情况二090tpo：不存在符合条件的图t点时，90为pot得由0)0 , 2(1t)0 ,25(2ta)5, 0(3t(3) 过过p作作y轴的垂线轴的垂线pa,垂足为垂足为a.点点t为坐标轴上的一点。以为坐标轴上的一点。以p.o.t 为顶点的三角形与为顶点的三角形与aop相似相似,请写出点请写出点t的坐标的坐标?中位数中位数 如图，边长为如图，边长为2的正方形的正方形abcd中，顶点中，顶点a的坐标是的坐标是（0，2）.一次函数一次函数yxt的的图象图象l随随t的不同取值变化时，的不同取值变化时

22、，正方形中位于正方形中位于l的右下方部分的右下方部分的图形面积为的图形面积为s写出写出s与与t的的函数关系式函数关系式中位数中位数0t2t4t.212ts 20 t42 t2)4(214ts中位数中位数（20112011中考）中考）2222、如图，在、如图，在rtrtabcabc中，中，b b=90=90，bcbc=5=5，c c=30=30. .点点d d从点从点c c出发沿出发沿caca方向以每秒方向以每秒2 2个单位长的速度个单位长的速度向点向点a a匀速运动，同时点匀速运动，同时点e e从点从点a a出发沿出发沿abab方向以每秒方向以每秒1 1个单个单位长的速度向点位长的速度向点b

23、b匀速运动，当其中一个点到达终点时，另匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动一个点也随之停止运动. .设点设点d d、e e运动的时间是运动的时间是t t秒（秒（t t0 0）. .过点过点d d作作dfdfbcbc于点于点f f，连接，连接dede、efef. .（1 1）求证：）求证：aeae= =dfdf；（2 2）四边形）四边形aefdaefd能够成为菱形吗？如果能，求出相应的能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t t值；如果不能，说明理由值；如果不能，说明理由. .（3 3）当）当t t为何值时，为何值时，defdef为直角三角形？请说明理由为直角三角形？请说明理由.

24、 .中位数中位数 化归就是转化与归结的简称，所谓化化归就是转化与归结的简称，所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体来说，就是把体来说，就是把“新知识新知识”转化为转化为“旧知旧知识识”，把，把“未知未知”转化为转化为“已知已知”，把，把“复复杂问题杂问题”转化为转化为“简单问题简单问题”。中位数中位数多边形内角和的探索多边形内角和的探索整式乘法运算法则探索整式乘法运算法则探索直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系探索系探索分式方程的解法、多元

25、方程（组）的解分式方程的解法、多元方程（组）的解法、一元二次方程的解法法、一元二次方程的解法几何实体与其三视图几何实体与其三视图中位数中位数 1、 如图，如图，“回回”字形的道路宽为字形的道路宽为1米，整个米，整个“回回”字形的长为字形的长为8米，宽为米，宽为7米，一个人从米，一个人从入口点入口点a沿着道路中央走到终点沿着道路中央走到终点b，他共走，他共走了了 .8米7米ba中位数中位数 2、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色、如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为最小一个正方形边长为1，则这个矩

26、形色块图，则这个矩形色块图的面积为的面积为 .中位数中位数 3 3、如图所示，、如图所示，abab是半圆的直径，是半圆的直径，ab=4ab=4，c c、d d为半圆的三等分点，求阴影部分的面积为半圆的三等分点，求阴影部分的面积? ?中位数中位数 4、如图，、如图，a是半圆上一个三等分点，是半圆上一个三等分点，b是弧是弧an的中点，的中点，p是直径是直径mn上一动点，上一动点，o o的半径为的半径为1 1，求，求ap+bpap+bp的最的最小值。小值。abmno p中位数中位数 函数的思想，就是用运动变化的观点，分析函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程通过方程(组组)来求得这些量来求得这些量.这就是方程的思想，这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系方