九年级数学二轮复习专题08--几何新定义

1、九年级数学组编号：二轮复习专题 08九年级数学二轮复习专题 一几何新定义班级 姓名 学号1 .定义：若点 P为四边形ABCD内一点，且满足/ APB + /CPD=180°,则称点P为四边形 ABCD的一个互补点”.(1)如图1,点P为四边形ABCD的一个 互补点”，/ APD=63°,求/ BPC的度数.(2)如图2,点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：点P为菱形ABCD的一个 互补点”.口S22 .定义：若 ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称 ABC为半角三角形(1)若RtABC为半角三角形，/ A=90°,则其余两个角的度数为 .(2)如

2、图1 ,在？ABCD中，/ C=72°,点E在边CD上，以BE为折痕，将 BCE向上翻折，点E恰好落在 AD边上的点F,若BFXAD,求证： EDF为半角三角形；(3)如图2,以4ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M,与边BC交于N,已知 ABC 的面积是 CMN面积的4倍.求证：/ C=60°.若 ABC是半角三角形，直接写出/ B的度数.C3.在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为 智慧三角形”.(1)如图1,已知A、B是。上两点，请在圆上画出满足条件的点C,使 ABC为 智慧三角形”并说明理由；(2)如图2,在正方形 ABCD中，

3、E是BC的中点，F是CD上一点，且 CF=；CD ,试判断 AEF是否为 智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3,在平面直角坐标系中，O O的半径为1,点Q是直线x=3上的一点，若在。O 上存在一点P,使得 OPQ为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求出此时点P的坐标.4.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.ABCD为圆(1)如图1,四边形 ABCD内接于。O, / DCB - / ADC = /A,求证：四边形 内接倍角四边形；(2)在(1)的条件下，O O半径为5.若AD为直径，且sinA=4,求BC的长；5若四边形ABCD中有一个角为60°,且B

4、C=CD,则四边形 ABCD的面积是 (3)在(1)的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=c, AD=d,求证：d2 - b2=ab+cd九年级数学二轮复习专题答案几何新定义班级 姓名 学号1 .定义：若点 P为四边形ABCD内一点，且满足/ APB + /CPD=180°,则称点P为四边形 ABCD的一个互补点”.(1)如图1,点P为四边形ABCD的一个 互补点”，/ APD=63°,求/ BPC的度数.(2)如图2,点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：点P为菱形ABCD的一个 互补点”.口图1耻【考点】LA:菱形的判定与性质.菁优网版权所有【专题】23:新

5、定义.【分析】(1)根据称点P为四边形ABCD的一个 互补点”的定义直接求解即可；(2)如图 2,连接 AP、CP,证得/ APB+/CPD=180°即可.【解答】 解：(1)二.如图1,点P为四边形ABCD的一个 互补点”，/APD=63°, ./ BPC=180° /APD=180° 63 =117° ,即/ BPC=117°(2)如图2,连接AP、CP,四边形ABCD是菱形， .AD=CD, /ADP=/CDP.在 ADP与4CDP中，? ?/ ?/ ?= ?ADPACDP (SAS), ./ APD=/CPD.又/ APB+Z

6、 APD=180°,.Z APB+Z CPD=180°,即点P为菱形 ABCD的一个 互补点”【点评】考查了菱形的判定与性质，掌握点 P为四边形ABCD的一个 互补点”的定义是解 题的关键.ABC为半角三角形2.定义：若 ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称(1)若RtA ABC为半角三角形，Z A=90° ,则其余两个角的度数为45°, 45°或30°, 60° .(2)如图1 ,在？ABCD中，/ C=72°,点E在边CD上，以BE为折痕，将 BCE向上翻折，点E恰好落在 AD边上的点F,若BFXAD

7、,求证： EDF为半角三角形；(3)如图2,以4ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M,与边BC交于N,已知 ABC 的面积是 CMN面积的4倍.求证：/ C=60°.若 ABC是半角三角形，直接写出/ B的度数.图1图2【考点】RB:几何变换综合题. 菁优网版权所有【专题】152:几何综合题.【分析】(1)根据 半角三角形”的定义即可解决问题; 1(2)只要证明/ DEF=-ZD,即可解决问题;(3)只要证明 CMNA CBA,可得(学 2，即?2,在 RtA ACN 中，sin/ CAN=?=1 ?4?2?2即可推出/ CAN=30°解决问题；根据 半角三角形”的定义

8、即可解决问题；【解答】 解：(1) RtA ABC为半角三角形，/ A=90°, ./ B=ZC=45°,或/ B=60°, / C=30°或/ B=30°, / C=60° ,，其余两个角的度数为45°, 45°或30°, 60°,故答案为45°, 45°或30°, 60°.(2)如图1中,.平行四边形 ABCD中，/ C=72°, ./ D=108°,由翻折可知：/ EFB=72°, . EF ±AD, ./ E

9、FD=18°, ./ DEF =54°,1 / DEFEND,即 DEF是半角二角形.(2)如图2中，连接AN.图2, AB是直径， ANB=90°, . / C=Z C, / CMN=Z B, CMNA CBA,? c 1 I ?1 两？ 勺，即赤=2在 RtMCN 中,sin/CAN嘴1， ./ CAN=30°,/ C=60°. ABC是半角三角形，/ C=60°, ./ B=30° 或 40°或 80°或 90°.【点评】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、半

10、角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形 解决问题，属于中考压轴题.3.在一个三角形中，如果有一边上的中线等于这条边的一半，那么就称这个三角形为 智慧三角形”.(1)如图1,已知A、B是。上两点，请在圆上画出满足条件的点C,使 ABC为 智慧三角形”并说明理由；1(2)如图2,在正万形 ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 CF=4CD ,试判断 AEF是否为 智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3,在平面直角坐标系中，O O的半径为1,点Q是直线x=3上的一点，若在。O 上存在一点P,使得 OPQ为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，求

11、出此时点P的坐标.【考点】MR:圆的综合题. 菁优网版权所有【专题】1:常规题型.【分析】(1)连结AO并且延长交圆于Ci,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解；(2)设正方形的边长为 4a,表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表 示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定 AEF是直角三角形，由直角三角形 的性质可得 AEF为 智慧三角形”；(3)根据智慧三角形”的定义可得 OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即

12、点P的横坐标，再根据勾股定理可求点 P的纵坐标，从而求解.【解答】解：(1)如图1所示：点Ci和C2均为所求；理由：连接BO, AO并延长，分别交。于点C2,连接 AB, AC1，.BC1是。O的直径，.-1AO=2BC1,.ABC1是 智慧三角形”，同理可得： ABC2也是 智慧三角形”，(2) AEF是智慧三角形”，理由如下：如图2,设正方形的边长为 4a, .E是BC的中点，.BE=EC=2a,.CD: FC =4: 1,FC =a, DF =4a - a=3a,在 RtAABE 中，AE2= (4a) 2+ (2a) 2=20a2,在 RtA ECF 中，EF2= (2a) 2+a2=

13、5a2,在 RtAADF 中，AF2= (4a) 2+ (3a) 2=25a2, .-.ae2+ef2=af2,.AEF是直角三角形， 斜边AF上的中线等于 AF的一半， . AEF为智慧三角形”；(3)如图3所示：由智慧三角形”的定义可得 OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边OP=1, PQ最小时， POQ的面积最小，即：OQ最小，由垂线段最短可得斜边最小为3,由勾股定理可得PQ=V- 12=2v5 ,11根据面积得，2OQX PM=2OPX PQ,由勾股定理可求得OM=，12- （2吉2=3,故点P的坐标（1,尊）或（1,一?）. 3333【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，

14、勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用， 用正方形的边长表示出 AEF的各边的平方，熟练掌握 智慧三角形”的定义是解题的关 键4.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.（1）如图1,四边形 ABCD内接于。O, / DCB-/ ADC = /A,求证：四边形 ABCD为圆 内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，O O半径为5.若AD为直径，且sinA=4,求BC的长；5若四边形ABCD中有一个角为60。，且BC=CD,则四边形ABCD的面积是 4或75 :44（3）在（1）的条件下，记 AB=a, BC=b, CD=c, AD=d,求证：d2-b2=ab+cd.【考点】M

15、R:圆的综合题. 菁优网版权所有【专题】15:综合题.【分析】（1）先判断出/ ADC=180°-2a.进而判断出/ ABC=2/A,即可得出结论；（2）先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由（1）得出/ ADB = /BDC,即可得出结论；分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,进而得出 CE=d - c,再判断出 EBCA EDA,即可得 出结论.【解答】 解：（1）设/ A= a,则/ DCB=180° - a,. / DCB - / ADC =Z A,/ ADC=Z DCB / A=180° 旷 灯180&

16、#176; -2 a,/ ABC=180° - / ADC=2 «=2Z A,四边形ABCD是。O内接倍角四边形；（2）: AD是。O的直径， ./ ABD=90°,在 RtABD 中，AD=2X5=10, sin/A，5， .BD=8,根据勾股定理得， AB=6,设/ A= a, ./ ADB=90° - a.由（1）知，/ ADC=180° - 2 a, ./ BDC=90 - a, ./ ADB=Z BDC, .BC=AB=6;若/ ADC=60°时，二四边形 ABCD是圆内接倍角四边形， ./ BCD=120°或/

17、BAD=30°,I、当/ BCD=120 时，如图 3,连接 OA, OB, OC, OD, .BC=CD, ./ BOC=Z COD , ,1 , ./ OCD = Z OCB=-Z BCD=60 , ./ CDO=60°, .AD是。O的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上） ./ ADC+Z BCD=180°,BC / AD,.AB=CD,-.BC=CD,.AB=BC=CD,.OAB, ABOC, COD是全等的等边三角形,S四边形 abcd=3S/xAob=3X 日X 52=75 V3 44当/ BAD=30°时,如图4,连接 OA,

18、OB, OC, OD,四边形ABCD是圆内接四边形，/ BCD=180° - / BAD=150°, .BC=CD, ./ BOC=Z COD ,/ BCO=Z DCO=1Z BCD=75° , 2 ./ BOC=Z DOC=30°, ./ OBA=45°, ./ AOB=90°连接AC,1 ./ DAC=1 / BAD=15 , / AOD = Z OAB - / BAD=15°,，/DAC=/ AOD, OD / AC,- Sa OAD=SaOCD ,过点C作CH，OB于H ,在 RtOCH 中，CH=1oC=|, S四边形ABCD=SaCOD +SaBOC +Sa aob _ S