第 相量 正弦稳态PPT课件

1、在同频率正弦量相位差计算中还经常遇到下列四在同频率正弦量相位差计算中还经常遇到下列四种特殊情况：种特殊情况：(1)若若=1-2=0，即，即1=2,则称则称u1(t)与与u2(t)同相，同相，如图如图5.1-5(a)所示。这时所示。这时u1(t)与与u2(t)同时到达最大值，同同时到达最大值，同时到达零值，同时到达最小值。时到达零值，同时到达最小值。(2) 若若=1-20，即，即12，则称，则称u1(t)超前超前u2(t)， 或称或称u2(t)滞后滞后u1(t)。假设。假设10,20，u1(t)，u2(t)的波的波形如图形如图5.1-5(b)所示。所示。 第1页/共184页(3)若若=1-2=，

2、则称，则称u1(t)与与u2(t)反相。当反相。当u1(t)到达最大值时，到达最大值时，u2(t)到达最小值，波形如图到达最小值，波形如图5.1-5(c)所所示。示。(4) 若若=1-2=/2，则称，则称u1(t)与与u2(t)正交，波正交，波形如图形如图5.1-5(d)所示。图中的波形是取所示。图中的波形是取=1-2=-/2时时画出的。画出的。 第2页/共184页图 5.1-5 相位差 第3页/共184页例例 5.1-3 同频率的两个正弦电压分别为同频率的两个正弦电压分别为 V)30cos(8)(V)75cos(10)(21ttuttu试求它们的相位差试求它们的相位差，并说明两电压超前、滞后

3、的情况。，并说明两电压超前、滞后的情况。解解 由由u1(t)、u2(t)的函数表达式可知：的函数表达式可知： 1=75, 2=-30 所以相位差所以相位差 =1-2=75-(-30)=105 电压电压u1(t)超前电压超前电压u2(t) 105, 或说或说u2(t)滞后滞后u1(t)的角的角度为度为105。 第4页/共184页例例 5.1-4 同频率正弦电压、电流分别为同频率正弦电压、电流分别为 mV40sin5)(V3cos20)(ttittu试求相位差试求相位差，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。，并说明两正弦量相位超前、滞后情况。 第5页/共184页解解i(t)=5cos(t+40-90

4、) mA=5 cos(t-50) mA 电压电压u(t)改写为改写为 u(t)=20 cos(t+60) V u=60, i=-50 第6页/共184页所以相位差所以相位差 =u-i=60-(-50)=110由计算得到的由计算得到的值可以判定：电压值可以判定：电压u(t)超前电流超前电流i(t)的角的角度为度为110，或说电流，或说电流i(t)滞后电压滞后电压u(t)的角度为的角度为110。 第7页/共184页图 5.1-6 定义有效值用图 有效值第8页/共184页若将正弦电流的表达式若将正弦电流的表达式 )cos()(imtIti代入代入(5.1-5)式，式， 得正弦电流的有效值为得正弦电流

5、的有效值为 mm02022707. 021)(2cos1 21)(cos1IIdttITdttITITimTim(5.1-12) 第9页/共184页同理，可得正弦电压的有效值同理，可得正弦电压的有效值 mmUUU707. 021(5.1-13) 应该指出：交流电流表、电压表测量指示的电流、应该指出：交流电流表、电压表测量指示的电流、电压读数一般都是有效值。有效值是度量交流电大小电压读数一般都是有效值。有效值是度量交流电大小的物理量。的物理量。第10页/共184页例例 5.1-5 写出下列正弦量的有效值：写出下列正弦量的有效值： mV45cos7 .70)()2(V3cos100)() 1 (t

6、tittu解解 mV05mA7 .7021) 1 (70.7VV10021) 1 (IU第11页/共184页j21eajaaA代数型代数型 指数型指数型 5.2 正弦交流电的相量表示法正弦交流电的相量表示法一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。如一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。如 式中式中, ，为虚数单位；，为虚数单位；1-j若把复数若把复数A表示在复平面上，如图表示在复平面上，如图5.2-1所示。由图可知所示。由图可知 第12页/共184页图图 5.2-1 复数的图示复数的图示 122221aaarctgaaa(5.2-1) sincos21aaaa(5.2-2) 第13页

7、/共184页 aA式中，式中，Re表示取复数的实部；表示取复数的实部；Im表示取复数的虚部。表示取复数的虚部。复数复数A的指数型又常简写为的指数型又常简写为 称为复数的极型。称为复数的极型。实部实部a1和虚部和虚部a2也可表示为也可表示为 Im,Re21AaAa第14页/共184页Atti)30cos(5)(VUm4510e1045j又如，又如， 若已知正弦电压若已知正弦电压 V)45cos(10)(ttu则该电压的相量为则该电压的相量为 已知角频率为已知角频率为的正弦电流相量的正弦电流相量I Im m=5e=5ej30j30A A，那么，那么该正弦电流的时间函数表达式该正弦电流的时间函数表达

8、式第15页/共184页必须强调指出：相量与正弦信号之间只能说是存必须强调指出：相量与正弦信号之间只能说是存在对应关系，或变换关系，不能说相量等于正弦量。在对应关系，或变换关系，不能说相量等于正弦量。正弦函数及其相量之间的关系常用如下双向箭头表示：正弦函数及其相量之间的关系常用如下双向箭头表示： )cos()(mutUtuuUUmm(5.2-8) 第16页/共184页相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示，相量也可用正弦量有效值与初相构成的复数来表示， 即即 mmjmmj2121e2121eUUUUUIIIIIuuiiui第17页/共184页例例 5.2-1 试写出下列各电流的相量，并画出

9、相量图：试写出下列各电流的相量，并画出相量图：(1)i1(t)=5cos(100t+60) A(2)i2(t)=10sin(100t+30) A(3) i3(t)=-4cos(100t+45) A 解解 (1) A6025 . 26025A6051m1II第18页/共184页(2) (2) 由于本书采用由于本书采用cos(cos(tt) )作参考函数，所以决定作参考函数，所以决定初相角时应先把正弦函数初相角时应先把正弦函数(sin)变为余弦函数变为余弦函数(cos)后再确后再确定。定。 故本例故本例i2(t)应改写为应改写为 i2(t)=10cos(100t+30-90)=10cos(100t

10、-60) A A6025601021A60102m2II应当指出，相量也可以代表正弦函数。应当指出，相量也可以代表正弦函数。 第19页/共184页(3) 与例与例5.1-4同样考虑，先把同样考虑，先把i3(t)改写为改写为 i i3 3( (t t)=4cos(100)=4cos(100t t+45+45-180-180) )=4cos(100t-135) A 13543m3II相量在复平面上的图示称为相量图。画相量图首相量在复平面上的图示称为相量图。画相量图首先应该画出参考坐标系。先应该画出参考坐标系。第20页/共184页图 5.2-4 例5.2-1的相量图 第21

11、页/共184页例例 5.2-2 求下列各电压相量代表的电压瞬时值表达求下列各电压相量代表的电压瞬时值表达式式(已知已知=10 rad/s)：V120100)2(V3050) 1 (2m1UU解解(1) (1) 因因U U1m1m是振幅相量，故是振幅相量，故 .U1m=50 V， u1=-30 因此因此 u1(t)=50 cos(10t-30) V 第22页/共184页(2) 因因U2是有效值相量，故是有效值相量，故 .120V,2100222muUU因此因此 V)12010cos(2100)(2ttu第23页/共184页 例例 5.2-3 5.2-3 正弦稳态电路如图正弦稳态电路如图5.2-5

12、(a)5.2-5(a)所示，已所示，已知电流知电流i1和和i2分别为分别为 A)1 .53cos(10)(A)9 .36cos(5)(21ttitti试求电流试求电流i(t)。 第24页/共184页图图 5.2-5 例例5.2-3用图用图 第25页/共184页电流电流i的相量为的相量为 mIAe18.11)510()8 j6() 3 j4()e10e5(j26.6-j53.1j36.52m1mmjAIII由可得电流由可得电流 mIi(t)=11.18 cos(t-26.6) A 第26页/共184页5.3 基本元件基本元件VCR的相量形式和的相量形式和KCL、KVL的相量形式的相量形式R, L

13、, C元件元件VAR的相量形式的相量形式 1. 1. 电阻元件电阻元件假设电阻假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，两端的电压与电流采用关联参考方向，5.3-1 电阻元件电阻元件第27页/共184页)cos()(mitIti(5.3-1) )cos()cos()()(umimtUtRItRitu(5.3-2) 第28页/共184页iummRIU由式由式(5.3-1)写出电流相量为写出电流相量为 iIIjmme由式由式(5.3-2)写出电压相量为写出电压相量为 uUUjmme(5.3-3)(5.3-4)(5.3-5)IRUIRUmm(5.3-6a) (5.3-6b) 或或 第29页/共18

14、4页图5.3-2 电阻元件的电流、电压波形和相量图第30页/共184页2. 2. 电感元件电感元件设图设图5.3-3(a)5.3-3(a)中电感元件上电压、电流参考方向关中电感元件上电压、电流参考方向关联，联， 则有则有 ttiLtud)(d)(5.3-7) 图 5.3-3 电感元件 第31页/共184页)cos()(imtIti)cos(2cos)sin()cos(dd)(mmmmuiiitUtLItLItItLtu设正弦稳态时电感电流为设正弦稳态时电感电流为 (5.3-8) (5.3-9) 第32页/共184页2mmiuLIULmmXLIUIU式中式中XL=L=2fL具有电阻的量纲，称为感

15、抗。当具有电阻的量纲，称为感抗。当L的单的单位为位为H，的单位为的单位为rad/s时，时，XL单位为单位为。 式中式中 (5.3-10) 电压的相位超前电流电压的相位超前电流90， 它们的振幅它们的振幅(或有效值或有效值)之之间的关系为间的关系为 (5.3-11) 第33页/共184页由式由式(5.3-8)可写出电流相量为可写出电流相量为 iIIjmme(5.3-12) 由式由式(5.3-9)可写出电压相量为可写出电压相量为 uUUjmme(5.3-13) 将式将式(5.3-10)代入式代入式(5.3-13)，得，得 2jjm2jmmeeeiiLILIU第34页/共184页再将式再将式(5.3

16、-12)(5.3-12)代入上式并考虑代入上式并考虑，je2jmmmjjIXILUL(5.3-14) 或或 IXILULjj(5.3-15) 式式(5.3-15)不仅表明了电感电压和电流之间的有效值不仅表明了电感电压和电流之间的有效值关系：关系：U=XLI，而且也表明了它们之间的相位关系：，而且也表明了它们之间的相位关系： 电压超前电流电压超前电流90。 第35页/共184页图 5.3-5 电感元件的电流、电压波形图 第36页/共184页3. 电容元件电容元件 图 5.3-6 电容元件 第37页/共184页)cos()(mutUtu设电容元件的电压、设电容元件的电压、 电流参考方向关联，电流参

17、考方向关联， 则有则有 ttuCtid)(d)( 设正弦稳态时电容两端电压为设正弦稳态时电容两端电压为 (5.3-17) (5.3-16) )cos(2cos)sin(cos(dd)(mmmmiuuutItCUtCUtUtCti(5.3-18) 第38页/共184页2mmuiCUI式中式中 (5.3-19) 由式由式(5.3-17)可写出电压相量为可写出电压相量为 ujmmeUUiIIjmme(5.3-20) 由式由式(5.3-18)得电流相量为得电流相量为 (5.3-21) 电容元件的电流相量超前电压相量90。第39页/共184页再将式再将式(5.3-19)(5.3-19)代入上式并考虑，得

18、电容代入上式并考虑，得电容元件的电流、电压相量关系为元件的电流、电压相量关系为 je2jmmUCjI(5.3-22) 也常写为也常写为 mmmj1jIXICUC(5.3-23a) 或或 IXICUCj1j(5.3-23b) CXC1(5.3-24) 第40页/共184页称为电容的容抗。当称为电容的容抗。当C的单位为的单位为F，的单位为的单位为rad/s时，时，XC的单位为的单位为。容抗的大小，即容抗的模值为。容抗的大小，即容抗的模值为 CCXC11|(5.3-25) CmmXCIUIU1(5.3-26) 电容元件的相量模型如图电容元件的相量模型如图5.3-6(b)所示。所示。 第41页/共18

19、4页图 5.3-8 电容元件的电流、电压波形图 第42页/共184页0)( ti、KVL的相量形式的相量形式对于任意瞬间，对于任意瞬间，KCL的时域表达式为的时域表达式为 例如，例如， 对于图对于图5.3-9中的节点中的节点A，有，有 i1(t)-i2(t)+i3(t)=0 第43页/共184页若与节点若与节点A相连的三个正弦电流的频率都相同相连的三个正弦电流的频率都相同(设设为为)， 只是振幅和初相不同，而正弦电流只是振幅和初相不同，而正弦电流i1(t)、i2(t)、i3(t)分别为分别为 )cos()()cos()()cos()(3m332m221m11tItitItitIti(5.3-2

20、7) 则相应的相量分别为则相应的相量分别为 321jm3m3jm2m2jm1m1eeeIIIIII(5.3-28) 第44页/共184页用相量表示正弦电流并代入用相量表示正弦电流并代入KCL方程，可得方程，可得 0eReeReeRej3j2j1tmtmtmIII即即 0e )Re(jm3m2m1tIII上式对任意时间上式对任意时间t都等于零，所以必有都等于零，所以必有 0m3m2m1III上式表明，若图上式表明，若图5.3-95.3-9中的各正弦电流用相量表示，中的各正弦电流用相量表示， 那么流出那么流出( (或流入或流入) )节点节点A A的各支路电流相量的代数和的各支路电流相量的代数和恒等

21、于零。恒等于零。 第45页/共184页0mI对于任意节点，则有对于任意节点，则有 0I或或 (5.3-29b) 式式(5.3-29)(5.3-29)就是就是KCLKCL的相量形式，它表明：对于正弦的相量形式，它表明：对于正弦稳态电路中的任意节点，流出稳态电路中的任意节点，流出(或流入或流入)该节点的各支该节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。路电流相量的代数和恒等于零。 第46页/共184页同理，可得同理，可得KVL的相量形式为的相量形式为 0mU(5.3-30a) 或或 0U(5.3-30b) 式式(5.3-30)(5.3-30)表明：对于正弦稳态电路中的任意回路，表明：对于正弦稳态电路中的

22、任意回路，沿该回路按顺时针沿该回路按顺时针( (或逆时针或逆时针)绕行一周，各段电路绕行一周，各段电路电压相量的代数和恒等于零。电压相量的代数和恒等于零。 第47页/共184页例例 5.3-1图图5.3-10(a)所示为所示为RL串联正弦稳态电路，串联正弦稳态电路， 已知已知R=50,L=50H,us(t)=10cos(106t)V。求电流。求电流i(t)，并画出相量图。并画出相量图。 图图 5.3-10 例例5.3-1用图用图 第48页/共184页解解 设设us(t)、uR(t)、uL(t)及及i(t)的相量分别为的相量分别为 及及Im。激励源。激励源us(t)的相量为的相量为 mmsm,L

23、RUUU.Ve100 j smU由由KVL, 得得 010jLmRmsmeUUU电阻、电感元件的相量关系为电阻、电感元件的相量关系为 mmmm,ILjUIRULR代入上式，代入上式， 得得 smmmUILjIR第49页/共184页mA4521004521 . 0105010j5001066AjXRUILsmm所以所以 故得电流故得电流 mA)4510(2100)(6tti相量图如图相量图如图5.3-10(b)所示。所示。 第50页/共184页5.4 阻阻 抗抗 与与 导导 纳纳 阻抗与导纳的概念阻抗与导纳的概念图图5.4-1(a)5.4-1(a)所示为无源二端正弦稳态网络，设端口所示为无源二端

24、正弦稳态网络，设端口电压相量和电流相量参考方向关联。电压相量和电流相量参考方向关联。 图图 5.4-1 无源二端网络及其阻抗无源二端网络及其阻抗 第51页/共184页端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表表示示mmdefdefIUZIUZIZU或或 (5.4-1a) (5.4-1b) 其模型如图其模型如图5.4-1(b)所示。式所示。式(5.4-1)也可改写成也可改写成 或或 (5.4-2a) (5.4-2b) mmIZU第52页/共184页上式称为欧姆定律的相量形式。由式上式称为欧姆定律的相量形式。由式(5.4-1)容易看出，容易看出，阻

25、抗的单位为欧姆，并且它一般是复数。阻抗的单位为欧姆，并且它一般是复数。iuIIUU,ZiuiuZIUUZ|)(1(5.4-3) 式中式中 iuZIUZ(5.4-4) (5.4-5) |Z|称为阻抗称为阻抗Z的模值，的模值，Z称为阻抗角。称为阻抗角。 第53页/共184页 式式(5.4-3)是阻抗是阻抗Z的极坐标表示形式，将式的极坐标表示形式，将式(5.4-3)化为代数形式，化为代数形式， 有有 Z=|Z|Z=|Z|cosZ+j|Z|sinZ=R+jX (5.4-6) 式中式中 R R=|=|Z Z|cos|cosZ Z (5.4-7)(5.4-7)X=|Z| sinZ (5.4-8) R称为阻

26、抗称为阻抗Z中的电阻部分，中的电阻部分，X称为阻抗称为阻抗Z中的电抗部分。中的电抗部分。当当X0时，为感抗，相应时，为感抗，相应Z称为感性阻抗；当称为感性阻抗；当X0时，时，为容抗，相应为容抗，相应Z称为容性阻抗。称为容性阻抗。第54页/共184页如果无源二端网络分别为单个元件如果无源二端网络分别为单个元件R R、L L、C C，设它，设它们相应的阻抗分别为们相应的阻抗分别为Z ZR R、Z ZL L、Z ZC C，由这些元件的相量关，由这些元件的相量关系式系式(5.3-6)(5.3-6)、(5.3-15)(5.3-15)和和(5.3-23)(5.3-23)，对照阻抗定义式，对照阻抗定义式(5

27、.4-1a)或或(5.4-b)， 容易求得容易求得 CZLZRZCLR1jj(5.4-9) (5.4-10) (5.4-11) 第55页/共184页定义无源二端网络端口的电流相量与电压相量之定义无源二端网络端口的电流相量与电压相量之比为该二端网络的导纳，用符号比为该二端网络的导纳，用符号Y表示，即表示，即 UIYdefmmdefUIY(5.4-12a) (5.4-12b) 或或 由导纳、阻抗的定义式，二者有互为倒数关系，即由导纳、阻抗的定义式，二者有互为倒数关系，即 ZY1(5.4-13) 第56页/共184页YuiuiYUIUIUIY|)(5.4-14)导纳导纳Y的单位是西门子的单位是西门子

28、(S),Y一般也是复数。将一般也是复数。将代入式代入式(5.4-12), 得得 uiUUII,uiYUIY |(5.4-15) (5.4-16) |Y|称为导纳称为导纳Y的模值，的模值，Y称为导纳称为导纳Y的导纳角。的导纳角。 第57页/共184页 当无源二端网络分别为单个元件当无源二端网络分别为单个元件R、L和和C时，设相时，设相应的导纳分别为应的导纳分别为YR、YL、YC，由式，由式(5.4-13)并考虑式并考虑式(5.4-9)、 (5.4-10)和和(5.4-11)，求得，求得 CCLBCYBLYGRYjjj1j1L(5.4-17) (5.4-18) (5.4-19) 由上述各式可知：电

29、阻元件的导纳只有电导部分，无由上述各式可知：电阻元件的导纳只有电导部分，无电纳部分。电纳部分。 式中式中, ,B BL L=-1/=-1/LL，B BC C= =CC，分别称为感纳，分别称为感纳和容纳，单位均为西门子和容纳，单位均为西门子(S)(S)。 有些场合不分感纳和有些场合不分感纳和容纳，统称电纳。容纳，统称电纳。 第58页/共184页式式(5.4-14)是导纳是导纳Y的极坐标表示形式，若化为代数形式的极坐标表示形式，若化为代数形式BGYYYYYYYjsin| jcos|(5.4-20) 式中式中 YYYBYGsin|cos|(5.4-21) (5.4-22) G G称为导纳称为导纳Y

30、Y中的电导部分，中的电导部分，B B称为导纳称为导纳Y Y中的电纳部分。中的电纳部分。B B0 0时，为容纳，相应时，为容纳，相应Y Y称为容性导纳；称为容性导纳；B B0 0时，为时，为感纳，感纳，相应相应Y称为感性导纳称为感性导纳第59页/共184页UYIUYImm式式(5.4-12)也可改写为也可改写为 (5.4-23a) (5.4-23b) 正弦稳态电路中欧姆定律相量形式的另一种表示式。正弦稳态电路中欧姆定律相量形式的另一种表示式。 第60页/共184页阻抗和导纳的串联与并联等效阻抗和导纳的串联与并联等效设有设有n个阻抗串联，各电压、电流参考方向如图个阻抗串联，各电压、电流参考方向如图

31、5.4-2中所标，中所标， 则它的等效阻抗为则它的等效阻抗为 nkknkknkkXRZZ111eqj(5.4-24) 图 5.4-2 阻抗的串联 第61页/共184页分压公式为分压公式为 UZZUnkkkk1(5.4-25) 式中，式中，U为为n个阻抗串联的总电压相量；个阻抗串联的总电压相量；Uk为第为第k个阻个阻抗的电压相量。抗的电压相量。 .第62页/共184页 如图如图5.4-3所示所示n个导纳并联，各电流、电压参考方个导纳并联，各电流、电压参考方向如图中所标，则它的等效导纳为向如图中所标，则它的等效导纳为 图图 5.4-3 导纳的并联导纳的并联 nkknkknkkBjGYY111eq(

32、5.4-26) 第63页/共184页分流公式为分流公式为 IYYInkkkk1(5.4-27) 式式(5.4-26)(5.4-26)表明，导纳并联的等效导纳等于相并联各导表明，导纳并联的等效导纳等于相并联各导纳的代数和。式纳的代数和。式(5.4(5.427)表明，导纳并联分流与复导表明，导纳并联分流与复导纳成正比。纳成正比。 第64页/共184页对于经常使用的两个阻抗对于经常使用的两个阻抗Z Z1 1和和Z Z2 2相并联的情况，其导相并联的情况，其导得等效阻抗为得等效阻抗为 2121ZZZZZeq(5.4-28) 由式由式(5.4-27)可推导得分流公式为可推导得分流公式为 IZZZIIZZ

33、ZI21122121(5.4-29) 第65页/共184页例例5.4-1 图图5.4-6(a)为为RLC串联正弦稳态电路，角频串联正弦稳态电路，角频率为率为， 求求ab端的等效阻抗端的等效阻抗Z。 图图 5.4-6 RLC串联电路及其相量模型电路串联电路及其相量模型电路 第66页/共184页解解 用相量法分析正弦稳态电路时，常常需要画出用相量法分析正弦稳态电路时，常常需要画出电路的相量模型。各已知的或未知的电压、电流均用其电路的相量模型。各已知的或未知的电压、电流均用其相量标注，电路结构及各电压、相量标注，电路结构及各电压、 电流参考方向均与时电流参考方向均与时域模型电路相同。域模型电路相同。

34、XRCLRCLRZj1-j1jj(5.4-34) 第67页/共184页式中，式中， ，称为电抗，将阻抗，称为电抗，将阻抗Z写写为指数形式或极坐标形式：为指数形式或极坐标形式： CLXXCLX1ZZZjXRZZ|e|j(5.4(5.435) 式中式中 RXXRZZarctan22(5.4-36) 通过电抗通过电抗X，讨论电路性质，讨论电路性质第68页/共184页例例 5.4-4 已知图已知图5.4-8(a)所示正弦稳态电路的角频所示正弦稳态电路的角频率率=100rad/s, 求求ab端等效阻抗端等效阻抗Z。 图图 5.4-8 例例 5.4-4 用图用图 第69页/共184页解法一解法一 对于多个

35、元件并联形式的正弦稳态电路，对于多个元件并联形式的正弦稳态电路，一般应用导纳计算比较方便。一般应用导纳计算比较方便。 S01. 0110011S02. 010200100S01. 0100116LBCBRGLC画导纳形式的相量模型电路如图画导纳形式的相量模型电路如图5.4-8(b)所示。由所示。由式式(5.4-26)得得ab端等效导纳为端等效导纳为 S)01. 0 j01. 0()01. 002. 0( j01. 0)( jLCBBGY第70页/共184页所以所以 45250)j5050(01. 0 j01. 011YZ第71页/共184页解法二解法二 按两个阻抗并联求等效阻抗的方法，按两个阻

36、抗并联求等效阻抗的方法， 最后最后求得整个电路的等效阻抗。如本例：求得整个电路的等效阻抗。如本例： 50102001001110011006CXLXCL画相量模型电路如图所示，画相量模型电路如图所示， 按两个阻抗并联公式计算按两个阻抗并联公式计算 100j50j100j)50j(100jlZ第72页/共184页所以所以 45250)50j50(100j100)100j(100100100cdcdZZZ该电路在该电路在=100rad/s=100rad/s时，可以等效为一个时，可以等效为一个50 50 的电阻的电阻与一个与一个200 F200 F的电容相串联的形式，也可以等效为一个的电容相串联的形

37、式，也可以等效为一个100的电阻与一个的电阻与一个100 F的电容相并联的形式。的电容相并联的形式。 第73页/共184页例例 5.4-6 图图5.4-10(a)所示正弦稳态电路，已知所示正弦稳态电路，已知R1=50, R2=100, C=0.1F, L=1mH,=105 rad/s，求，求ab端的等效阻端的等效阻抗抗Zab。 图图 5.4-10 例例 5.4-6 用图用图 第74页/共184页解解 1001011035LXL100101 . 0101165CXC设电感支路的阻抗为设电感支路的阻抗为Z1, R2与与C串联支路的阻抗为串联支路的阻抗为Z2, 即即 首先计算感抗与容抗：首先计算感抗

38、与容抗： )100j100(jj100j221CLXRZXZ第75页/共184页相量模型电路如图所示。由阻抗串、并联关系得相量模型电路如图所示。由阻抗串、并联关系得 )100j100(100j100100j)100j100(100j/21ZZZcd)100j150()100j10050(1cdabZRZ第76页/共184页5.5 正弦稳态电路相量分析法正弦稳态电路相量分析法 串、并、混联电路的分析串、并、混联电路的分析图图 5.5-1 例例 5.5-1 用图用图 例例 5.5-1 5.5-1 试求图示正弦稳态电路相量模型电试求图示正弦稳态电路相量模型电路中的电压路中的电压U Uabab( (其

39、中其中U Us s=100=100V)V)。.第77页/共184页5)3 j1 ()3 j1 ()3 j1)(3 j1 (cdZ解 设各电压参考方向如图5.5-1中所示。由c、d点向右看的等效阻抗为 第78页/共184页根据阻抗串联分压关系，得根据阻抗串联分压关系，得 V043153115V31505311311V311505313313V0501055552121sjjjUUUjjUjUjjjjUjjUUZZUabcdcd第79页/共184页例例 5.5-2 5.5-2 已知图已知图5.5-2 5.5-2 所示正弦稳态电路中所示正弦稳态电路中 ， 求电流求电流iab(t)。 V)10cos(

40、2120)(3sttu图图 5.5-2 例例 5.5-2 用图用图 第80页/共184页解解 V0120j1001010101j1jj1001 . 0j10j633sCLUCZLZ画相量模型电路并设各电流参考方向如图画相量模型电路并设各电流参考方向如图5.5-2(b)中所示。中所示。 阻抗为阻抗为 100100j100)100j(100100j100100j100cdZA01100200120Z20scdUI第81页/共184页由阻抗并联分流关系，得由阻抗并联分流关系，得 A)5 . 0 j5 . 0(01100j100100100j100100A)5 . 0 j5 . 0(01100j100

41、100100j10010021IIII由由KCL, 得得 A901)5 . 05 . 0()5 . 05 . 0(21jjIIIabA)9010cos(2)(3ttiab第82页/共184页例例 5.5-3 5.5-3 已知图已知图5.5-35.5-3所示正弦稳态电路中所示正弦稳态电路中 .求电压源求电压源 。 ,45222AIsU图图 5.5-3 例例 5.5-3 用图用图 第83页/共184页解解 由元件电流、由元件电流、 电压关系得电压关系得 A13528 j45288 jV45284522j4)4 j(12ababUIIU由由KCL得得 A45222114522135221jjIII第

42、84页/共184页由欧姆定律，得由欧姆定律，得 V4528IRUR所以所以 V01645284528abRsUUU第85页/共184页网孔、节点分析法用于正弦稳态电路的分析网孔、节点分析法用于正弦稳态电路的分析对于具有三个网孔，三个独立节点的正弦稳态相对于具有三个网孔，三个独立节点的正弦稳态相量模型的电路，可以由分析电阻电路的知识，分别量模型的电路，可以由分析电阻电路的知识，分别推论出正弦稳态电路的网孔方程与节点方程，推论出正弦稳态电路的网孔方程与节点方程， 即即 33333232131223232221211131321211133333232131223232221211131321211

43、1ssssssIVYVYVYIVYVYVYIVYVYVYUIZIZIZUIZIZIZUIZIZIZ(5.5-1) (5.5-2) 第86页/共184页例例 5.5-4 已知图已知图5.5-4(a)所示正弦稳态电路中所示正弦稳态电路中, V,)10sin(2100)(,V)10cos(2100)(3s231sttuttu50,05. 0F,1021RHLCC。求电流。求电流i(t)。 图图5.5-4例例5.5-4用图用图+-第87页/共184页解解 V90100V0100j1001010101j1jj1001010101j1j50j05. 010jj2s1s632263113UUCZCZLZCC

44、L第88页/共184页画相量模型电路如图画相量模型电路如图5.5-4(b)所示。设网孔电流所示。设网孔电流IA、IB如图如图5.5-4(b)中所标。分别求自阻抗、互阻抗、等效中所标。分别求自阻抗、互阻抗、等效电压源，代入式电压源，代入式(5.5-1)中，得网孔方程为中，得网孔方程为 .010050j)50j50(BAII( (5.5-3) 9010050j50jBAII(5.(5.5-4) 解得解得 A4522)2 j2(AI第89页/共184页由图由图(b)可知可知 A4522AII故得电流故得电流 A)4510cos(4)4510cos(222)(33ttti第90页/共184页例例 5.

45、5-5 5.5-5 已知图已知图5.5-5(a)5.5-5(a)所示正弦稳态电路中所示正弦稳态电路中, ,V)90100cos(248)(,)100cos(24)(ttuAttiss求电压求电压u(t)。 图图 5.5-5 例例 5.5-5 用图用图 +-第91页/共184页解解 V9048A04j100101001001j1j10j) 1 . 0100j (jss6UICZLZCL画相量模型电路如图画相量模型电路如图5.5-5(b)所示。观察图所示。观察图(b)，套用，套用式式(5.5-2)列写节点方程为列写节点方程为 3090480410j101100j1301601U第92页/共184页

46、解得解得 V0404 . 0 j116j40U所以所以 V)100cos(240)(ttu第93页/共184页等效电源定理用于正弦稳态电路的分析等效电源定理用于正弦稳态电路的分析图图 5.5-6 等效电源相量模型形式等效电源相量模型形式 第94页/共184页例例 5.5-6 5.5-6 图图5.5-7(a)5.5-7(a)所示为正弦稳态相量模型电所示为正弦稳态相量模型电路，路， 求电流求电流 。CI图图 5.5-7 例例 5.5-6 用图用图 第95页/共184页解解 (1) 自自a、b断开待求支路，设开路电压断开待求支路，设开路电压Uoc如如图图5.5-7(b)所示。电流所示。电流 .A60

47、1106010105 j55 j52s1sUUI开路电压开路电压 V3066. 36010601)5 j5()5 j5(s2ocUIU第96页/共184页 (2) 将图将图(b)中各电压源短路变为图中各电压源短路变为图(c)， 则得则得 5j55j55)5 j5)(5 j5(0Z (3) 画出戴维宁等效电源，接上待求支路，如图画出戴维宁等效电源，接上待求支路，如图(d)所示。由所示。由KVL，得电流，得电流 A7552. 04507. 73066. 3j5-5ocUIC第97页/共184页 例例 5.5-7 5.5-7 已知图已知图5.5-8(a)5.5-8(a)所示稳态电路中直所示稳态电路中

48、直流电源流电源U Us1s1=10V=10V，正弦电源，正弦电源 。 求电流求电流i1(t)。解解本问题是求多个频率激励源作用下线性电本问题是求多个频率激励源作用下线性电路的稳态响应，应用叠加定理，路的稳态响应，应用叠加定理，按同一频率激励源按同一频率激励源分组作分解电路，分组作分解电路， 如图如图5.5-8(b)5.5-8(b)、(c)(c)、(d)(d)所示。所示。 ,Vcos220)(2sttuA)604cos(8)(s3tti第98页/共184页图 5.5-8 例 5.5-7 用图 第99页/共184页图图(b)电路中，因电路中，因Us1是直流电源，电感看作短路，是直流电源，电感看作短

49、路，电容看作开路，电容看作开路， 故得故得 A110101i图图(c)(c)电路中，正弦激励源的角频率为电路中，正弦激励源的角频率为1rad/s1rad/s，作，作与之对应的相量模型电路，如图与之对应的相量模型电路，如图(e)所示，所示， 图中图中 j10101jj LZLj1111j1jCZC第100页/共184页A45245210020j10102s1UIA)45cos(2)(1tti图图(d)电路中，正弦激励源电路中，正弦激励源is3(t)的角频率为的角频率为4rad/s，作与之对应的相量模型电路，作与之对应的相量模型电路， 如图如图(f)所示，所示， 图中图中 41j141j1jj40

50、10j4jCZLZCL第101页/共184页由图由图(f)可知，可知，Uab=0，所以，所以 0 1I0)( 1tI故得图故得图(a)电路的稳态响应为电路的稳态响应为 A)45cos(21)()()()( 1 111ttitititi第102页/共184页5.6 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 基本元件的功率和能量基本元件的功率和能量1. 1. 电阻元件的功率电阻元件的功率如图如图5.6-1(a)所示电阻元件所示电阻元件R，两端的电压与通过，两端的电压与通过的电流采用关联参考方向。设的电流采用关联参考方向。设 )cos()(mutUtu则由欧姆定律得则由欧姆定律得 )cos()()(mu

51、tIRtuti第103页/共184页上式中上式中Im=Um/R。由于电流和电压都随时间变化，电阻。由于电流和电压都随时间变化，电阻在某一瞬间吸收的功率称为瞬时功率，用在某一瞬间吸收的功率称为瞬时功率，用p(t)表示，表示， 即即 )(2cos)(2cos2121)(2cos121)(cos)()()(mmmmmm2mmuuuutUIUItIUIUtIUtIUtitutp(5.6-1) 第104页/共184页图 5.6-1 电阻元件的瞬时功率波形 第105页/共184页瞬时功率在一周期内的平均值为平均功率瞬时功率在一周期内的平均值为平均功率, 用用P表示，即表示，即TttpTP0d)(1(5.6

52、-2) 将式将式(5.6-1)的瞬时功率表达式代入上式，的瞬时功率表达式代入上式， 即得即得 RIRUIUP2m2mmm212121(5.6-3) 或用有效值表示为或用有效值表示为 RIRUUIP22(5.6-4) 平均功率也称为有功功率。通常是指平均功率。例如，平均功率也称为有功功率。通常是指平均功率。例如，60W灯泡是指灯泡额定消耗的平均功率为灯泡是指灯泡额定消耗的平均功率为60W。 第106页/共184页2. 2. 电感元件的功率和能量电感元件的功率和能量图图5.6-2(a)所示电感所示电感L上的电流与电压采用关联参考上的电流与电压采用关联参考方向。方向。 设电感电压为设电感电压为 u(

53、t)=Umcos(t+u) 考虑电感电流滞后于电压考虑电感电流滞后于电压90, 则电流则电流 )sin()90cos()(mmuutItIti式中式中 LUXUILmmm第107页/共184页图图5.6-2电感电感元件的瞬时功率和能量的波形元件的瞬时功率和能量的波形第108页/共184页电感电感L吸收的瞬时功率为吸收的瞬时功率为 )(2sin)sin(21)sin()cos()()()(mmmmuuuutUItIUttIUtitutp(5.6-5) 它是角频率为它是角频率为2的正弦量。的正弦量。 电感电感L储存的磁能为储存的磁能为 )(sin21)(21)(22m2uLtLItLitw第109

54、页/共184页利用三角公式利用三角公式 2)2cos(1sin2xx)(2cos2121)(2cos4141)(2cos141)(222m2m2muuuLtLILItLILItLItw第110页/共184页上式中的第一项是与时间无关的常数项；第二项是角上式中的第一项是与时间无关的常数项；第二项是角频率为频率为2 2的余弦量。电感的余弦量。电感L L的平均储能为的平均储能为 20av21d)(1LIttwTWTLL(5.6-7) 图图5.6-2(b)中画出了中画出了u(t)、i(t)、p(t)和和wL(t)的波形曲线。的波形曲线。 图中假设图中假设u=0。 第111页/共184页观察图观察图5.

55、6-2(b)，可以看出：在，可以看出：在(0T/4)期间：期间：u0,i0，故，故p0, 电感吸收功率。在此期间，电感电流由电感吸收功率。在此期间，电感电流由零逐渐增加到最大值。这表明电感零逐渐增加到最大值。这表明电感L从外电路或电源吸从外电路或电源吸收能量并储存在磁场中。当收能量并储存在磁场中。当t=T/4时，电感时，电感L储能达到最储能达到最大值大值 22mmax21LILIwL(5.6-8) 在在(T/4T/2)期间：期间：u0，i0，故，故p0，电感，电感供出功率。在此期间，电流由最大值逐渐下降到零，供出功率。在此期间，电流由最大值逐渐下降到零，电感把原储存的磁能逐渐还给外电路或电源。

56、电感把原储存的磁能逐渐还给外电路或电源。 当当t=T/2 时，电感时，电感L的储能的储能 02TwL第112页/共184页由上述讨论可知：电感不消耗能量，它只是与外由上述讨论可知：电感不消耗能量，它只是与外电路或电源进行能量交换，故平均功率等于零。将式电路或电源进行能量交换，故平均功率等于零。将式(5.6-5)代入式代入式(5.6-2)， 得得 0d)(10TttpTP(5.6-9) 通常所说电感不消耗功率就是指它吸收的平均功率为零通常所说电感不消耗功率就是指它吸收的平均功率为零. .第113页/共184页3. 3. 电容元件的功率与能量电容元件的功率与能量图图5.6-3(a)所示电容所示电容

57、C上的电流与电压采用关联参考上的电流与电压采用关联参考方向。方向。 设电容上电压设电容上电压 )cos()(mutUtu考虑电容上电流考虑电容上电流i超前电压超前电压u的角度为的角度为90，则，则 )sin()90cos()(mmuutItIti式中式中 mmm|CUXUIC第114页/共184页电容的瞬时功率为电容的瞬时功率为 )(2sin)(2sin21)sin()cos()()()(mmmmuuuutUItIUttIUtitutp(5.6-10) 与电感相似，它也是角频率为与电感相似，它也是角频率为2的正弦量。电容的正弦量。电容C储存的电能量为储存的电能量为 )(cos21)()(21)

58、(22m22uCtCUtCutCutw第115页/共184页利用三角公式利用三角公式 2)2cos(1cos2xx所以所以wC(t)可改写为可改写为 )(2cos2121)(2cos4141)(222m2muuCtCUCUtCUCUtw(5.6-11) 电容的平均储能为电容的平均储能为 2av21CUWC(5.6-12) 第116页/共184页观察图观察图5.6-3(b)，可以看出：，可以看出：在在(0T/4)期间：期间：u0, i0, 故故p0，电容供出功率。，电容供出功率。在此期间，电容电压由最大值逐渐减少到零，电容把在此期间，电容电压由最大值逐渐减少到零，电容把储存的电能供给外电路或电源

59、。储存的电能供给外电路或电源。 当当t=T/4时，时， 电容的电容的储能储能wC=0。 第117页/共184页图图 5.6-3 电容的瞬时功率和能量波形电容的瞬时功率和能量波形 第118页/共184页在在(T/4T/2)期间：期间：u0,i0，电容吸收功率。，电容吸收功率。 这时，电容被反向充电，电容电压由零逐渐达到负的最这时，电容被反向充电，电容电压由零逐渐达到负的最大值，大值， 电容从外电路或电源获得能量并储存在电场中。电容从外电路或电源获得能量并储存在电场中。当当t=T/2时，时， 电容存储的能量达到最大值，即电容存储的能量达到最大值，即 22mmax21CUCUwC(5.6-13) 在

60、在(T/23T/4)期间，期间， 电容处于放电状态，电容处于放电状态， 释放能量。释放能量。 第119页/共184页由上述讨论可知：电容元件也不消耗能量，只是与由上述讨论可知：电容元件也不消耗能量，只是与外电路或电源进行能量交换，故平均功率也等于零。将外电路或电源进行能量交换，故平均功率也等于零。将式式(5.6-10)代入式代入式(5.6-2)， 得得 0d)(10TttpTP(5.6-14) 通常所说电容不消耗功率也是指它吸收的平均功率为零通常所说电容不消耗功率也是指它吸收的平均功率为零. .第120页/共184页例例 5.6-1 5.6-1 如图如图5.6-4(a)5.6-4(a)所示正弦