高考数学所有公式及知识点总结

1、高考前数学知识点总结一 . 备考内容：知识点总结二 . 复习过程：高考临近，对以下问题你是否有清楚的认识？1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合 Ax|ylg x ，By|ylg x ， C( x, y)|ylg x ，A 、 B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。3. 注意下列性质：（ 1）集合 a1， a2，, ， an 的所有子集的个数是 2n ；（2）若ABABA，ABB；（3）德摩根定律：CU ABCUA

2、CUB ，CU ABCUACUB4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ( )，“且” ( ) 和“非” ( ).若pq为真，当且仅当 p、q均为真若pq为真，当且仅当 p、q至少有一个为真若 p为真，当且仅当 p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。 ）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。 ）8. 函数的三要素

3、是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x) 的定义域是a， b ， ba0，则函数 F(x )f ( x)f ( x) 的定义域是 _。（答：a，a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x ；互换x、 y；注明定义域）13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y x 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设 yf(x) 的定义域为 A ，值域为 C， aA ，bC

4、，则 f(a) = bf 1 (b)a第 1 页f 1 f (a)f 1 (b)a， f f 1 (b)f (a)b14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（yf ( u) ，u(x) ，则 yf(x)（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时 f (x) 为增函数，否则 f (x) 为减函数。）如：求 y log 1 x2 2x 的单调区间2（设 ux22x，由 u0则0x2且 log 1 u， ux1 21，如图：2uO12x当x( 0，1时， u，又 log 1u， y2当x 1， 2) 时， u，又 log 1u， y2 , ）15. 如何利

5、用导数判断函数的单调性？在区间 a，b 内，若总有 f '( x)0则f (x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f '( x) 0呢？如：已知 a0，函数 f (x)3ax在 1，上是单调增函数，则 a的最大x值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f'(x)x 2 a3xaa033x3则xa 或xa33由已知 f x在，)上为增函数，则( )1a 的最大值为 3）16. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x) 定义域关于原点对称）a31，即 a3若f ( x)f ( x)总成立f (x)为奇函数函数图

6、象关于原点对称第 2 页若f ( x)f (x)总成立f (x) 为偶函数函数图象关于 y轴对称注意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ 2）若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则 f(0) 0。17. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数 T（T0），在定义域内总有 f xTf ( x) ，则 f (x ) 为周期函数， T 是一个周期。）如：若 f xaf (x) ，则（答： f (x)是周期函数， T 2a为f (x)的一个周期）又如：若 f (x) 图象有两条对称轴 x a，x b 即f (a x

7、) f (a x)，f ( b x) f (b x) 则f ( x) 是周期函数， 2 a b 为一个周期如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？f (x)与 f ( x) 的图象关于y轴 对称f (x)与f (x)的图象关于x轴 对称f (x)与f ( x)的图象关于原点 对称f (x)与 f 1 ( x)的图象关于直线 yx 对称f (x)与 f (2ax) 的图象关于直线 xa 对称f (x)与f (2ax) 的图象关于点( a， 0) 对称将y f ( x) 图象左移 a( a 0)个单位右移 a( a 0)个单位上移 b(b 0)个单位yf ( xa)下移 b(b 0)个单位yf (

8、xa)注意如下“翻折”变换：yf (xa)yf (xa)bbf (x)f ( x)f (x)f (| x|)19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？第 3 页(k<0)y(k>0)y=bO (a,b)Oxx=a（1）一次函数： ykxbk0（ 2）反比例函数： yk k0 推广为 y bkk0 是中心 O'( a， b)的双曲线。xxa2b2（ 3）二次函数 yax2bxc a 0a xb4ac图象为抛物线2a4a顶点坐标为b ， 4acb2，对称轴 xb2a4a2a开口方向： a0，向上，函数y min4ac b 24aa0，向下， y max4acb 24a应用：“

9、三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax 2bx c 0，0时，两根 x 1、 x2 为二次函数 yax2bxc的图象与 x轴的两个交点，也是二次不等式 ax2bxc 0 (0) 解集的端点值。求闭区间 m， n上的最值。求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。（ 4）指数函数： yax a0，a1（5）对数函数 ylog a x a0， a1由图象记性质！（注意底数的限定！ ）yy=a x(a>1)(0<a<1)y=log ax(a>1)1O1x(0<a<1)第 4 页k（ 6）“对勾函数”yxk0x利

10、用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ykOkx20. 你在基本运算上常出现错误吗？指数运算： a01 (a0)， a p10)ap (amm1a nn am (a 0) ，a n( a 0)n am对数运算： log a M ·Nlog a Mlog aN M0，N 0log aMM1log a M log a N ， log a nlog a MNn对数恒等式： alog a xx对数换底公式： log a blog c blog a m b nn log a blog c am21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ 1）xR，f (x)满足 f

11、 (xy)f ( x) f (y ) ，证明 f ( x) 为奇函数。（先令 xy0f ( 0)0再令 yx，, ）（ 2） xR， f ( x)满足 f ( xy)f (x)f ( y) ，证明 f ( x)是偶函数。（先令 xyt f (t)( t)f ( t·t )f ( t )f ( t )f ( t)f (t ) f ( t ) f ( t) , ）（ 3）证明单调性： f (x 2 )fx 2x1x2,22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法） ，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（ 1） y2x3

12、134x（ 2） y2 x4x3（ 3） x3， y2x2x 3第 5 页（ 4） yx49x 2 设 x3cos ，0，（ 5） y4x9 ， x(0，1x23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（ l·R，S扇1 l · R1·R2）22R1 弧度OR24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sinMP， cosOM ， tanATyTBSPOMAx如：若0，则 sin， cos ， tan 的大小顺序是8又如：求函数 y12 cosx 的定义域和值域。2（ 12 cosx ）12 sin x02 sin

13、 x2 ，如图：2第 6 页5x 2kk Z ， 0 y1 2 2k4425. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sin x1， cosx1yytgxxO22对称点为 k ， 0， kZ2y sin x的增区间为2k， 2k2kZ2减区间为2k， 2k3kZ22图象的对称点为 k， 0 ，对称轴为 x kk Z2第 7 页y cosx 的增区间为2k ， 2kkZ减区间为2k， 2k2k Z图象的对称点为 k2， 0 ，对称轴为 x k kZytan x的增区间为k， kkZ2226. 正弦型函数 y = Asinx + 的图象和性质要熟记。或

14、y A cos x（ 1）振幅 |A |，周期 T2| |若fx 0A，则 xx 0 为对称轴。若fx 00，则 x 0 ， 0 为对称点，反之也对。（ 2）五点作图：令x依次为0， ， 3， 2，求出 x与 y，依点22（ x， y）作图象。（ 3）根据图象求解析式。（求 A 、 、 值）( x1 )0如图列出( x2 )2解条件组求、 值正切型函数yA tanx， T|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如： cos x62 ， x， 3，求 x值。22（x3， 7x65， x5 ， x13 ）263641228. 在解含有正、余弦函数的问题

15、时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数 ysin x sin|x|的值域是（x 0时， y2 sin x2， 2 ，x0时， y0， y2，2 ）29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：第 8 页a，x'xh（1）点 P（ x， y）( h k)P'（ x '，y' ），则平移至y'yk（ 2）曲线 f (x， y)0沿向量 a(h， k ) 平移后的方程为 f ( xh， yk) 0如：函数 y 2 sin2x1 的图象经过怎样的变换才能得到ysin x 的4图象？（y2 sin 2x1横坐标伸长到原来的2倍y 2

16、 sin 211x424左平移个单位2 sin x14y 2sin x1上平移 1个单位y2 sin x4纵坐标缩短到原来的1倍2 y sin x）30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如： 1 sin2cos2sec2tan2tan· cotcos · sectan4sincos0, 称为1的代换。2“ k·”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，2“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。如： cos 9tan7sin 2146又如：函数 ysintan，则 y的值为coscotA. 正值或负值B.负值C. 非负值D. 正值sinsinsin2cos1

17、cos（ y0，0）coscos2sin1cossin31. 熟练掌握两角和、差、倍、 降幂公式 及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：sinsin coscos sin令2sin cossin 2第 9 页coscoscossin sin令cos2cos2sin 2tantantan2 cos21 12 sin21tan · tan2 tancos21cos2tan 221 tan221cos2sin2a sinb cosa2b 2 sin， tanbasincos2 sin4sin3 cos2 sin3应用以上公式对三角函数式化简。 （化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含

18、三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（ 1）角的变换：如，2,22（ 2）名的变换：化弦或化切（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知 sincos1， tan2 ，求 tan2的值。1cos23（由已知得：sincoscos，12 sin22 sin1tan2又 tan2321tantan1 ） tan2tan321tan· tan12·812332. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bc cosAcosAb 2c2a2（应用：已知两边一夹角求第三边；

19、已知三边求角。）2bcabca2R sin A正弦定理：b2R sin Bsin B2Rsin AsinCc2R sin CS 1 a· b sin C2第10页A BC， ABC sin ABABCsin C， sin2cos如 ABC 中， 2 sin 2 AB22cos2C1（1）求角 C；（ 2）若 a2b2c 2，求 cos2Acos2B的值。22 cos2 C 1 1（ 1）由已知式得： 1cos AB又A BC， 22 CC 1 0coscos cosC1 或 cosC1（舍）2又 0 C， C31 c2 得：（ 2）由正弦定理及 a2b2232 sin 2 A2sin

20、 2 Bsin 2 Csin23341 cos2A1cos2B4 cos2cos2B3）A433. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦： arcsin x2， x1， 12反余弦： arccosx0，x1，1反正切： arctanx2， xR234. 不等式的性质有哪些？（1）a， c0acbcb0acbcc（ 2） ab， c d a c b d（ 3）ab 0， c d 0 ac bd（ 4） ab 01 1 ， a b 011abab（ 5） ab 0 anb n ， n a n b（ 6） |x|a a 0a x a，|x|axa或x a35. 利用均值不等式：a b2a22，

21、；a b；求最值时，你是否注b2ab a b R2 abab2第11页意到“ a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab 或和(ab 其中之一为定值？（一正、二定、三相等）)注意如下结论：a2b2abab2ab，R22aba b当且仅当 ab时等号成立。a2b2c2ab bc ca a， b R当且仅当 ab c时取等号。ab0，m0， n0，则bbmanaaam1nbb如：若 x0， 23x4 的最大值为x（设 y2 3x42212243x当且仅当 34 ，又x0，2 3时，ymax2 4）xxx3xy3又如： x2y，则2的最小值为14（ 2 x22 y22 x2y221 ，最小值为 22

22、）36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明 111,122232n2（111,1111,12232n21223n 1 n11 111,11223n1 n212）nf ( x)37. 解分式不等式aa0 的一般步骤是什么？g( x)（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。 ）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始23如： x 1 x 1 x 20第12页39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分 a1或 0a1讨论40. 对含有两个绝对值的不等式

23、如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3|x11（解集为x|x1）241. 会用不等式 |a|b| |ab| |a| |b|证明较简单的不等问题如：设 f (x)x 2x，实数 a满足 |xa|113求证： f (x )f (a)2(|a| 1)证明： |f ( x)f (a)| |( x 2x13)(a2a13)|( xa)( xa1)| ( |xa|1)|xa|xa1| |xa1|x| |a| 1又|x| |a| |x a|1， |x| |a| 1 f ( x) f (a)2|a| 22 |a| 1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题

24、，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如： af ( x)恒成立af (x)的最小值af ( x) 恒成立af (x )的最大值af ( x) 能成立af (x )的最小值例如：对于一切实数 x，若 x3x 2a恒成立，则 a的取值范围是（设 ux3x 2 ，它表示数轴上到两定点2和 3距离之和u min325， 5a，即 a5或者： x3x 2x3x25， a5）43. 等差数列的定义与性质定义： a n 1and (d为常数 )， ana1n1 d等差中项： x， A ，y成等差数列2Axy前 n项和 Sna1an nn n1na1d22性质： an是等差数列（1）若 m

25、n p q，则 amana paq ；（ 2）数列a2 n 1， a2n ， kanb 仍为等差数列；Sn ， S2nSn ，S3 nS2 n , 仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；（ 4）若 an ， b n 是等差数列 Sn， Tn为前 n项和，则 a mS2 m 1；b mT2m 1（5） an 为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于 n的常数项为第13页0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Snan2bn的最值；或者求出an 中的正、负分界项，即：当a10，d0，解不等式组a n0a n可得 Sn 达到最大值时的 n值。10当a10，d0，由a

26、n0可得 Sn 达到最小值时的 n值。an 10如：等差数列 an，Sn18，ana n 1an 23， S3 1，则 n（由 anan 1aan 13， an 11n 23 3又 Sa1a3·33a2，a21321311 naanna2an1· n3 Sn118222n 27）44. 等比数列的定义与性质定义： an 1q（ q为常数， q0）， ana1q n 1an等比中项： x、 G、y成等比数列G 2xy ，或 Gxyna1 (q1)前n项和： Sna1 1q n（要注意 ! ）(q 1)1 q性质：an 是等比数列（1）若 mnpq，则 am ·ana

27、p ·aq（ 2） Sn ，S2n Sn ，S3n S2n , 仍为等比数列45. 由Sn 求an 时应注意什么？（n1时， a1S1， n2时， anSnSn 1 ）46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法111如：an 满足2a122a2,2 n an2n 51解： n11时，2 a12 15， a114n 2时， 1a11a2,1an 12n 1 5222 22 n 112得： 1an22 nan2n 1第14页14( n1) an(n2)2 n 1练习5数列 an满足 SnSn 13 an 1， a14，求 an（注意到 an1Sn 1 Sn 代入得

28、： Sn14Sn又 S14， Sn是等比数列， Sn4nn 2时，anSnSn 1,· n13 4（2）叠乘法例如：数列an中， a13， an 1nn，求 anan1a2 · a3 ,an1·2,n1 ， an1解： a1a2a n 123na1n又 a13， an3n（3）等差型递推公式由anan 1fn ，aa，求 an，用迭加法( )10n2时， a2a1f (2)a3a2f (3)两边相加，得：,anan 1f (n)ana1f (2)f (3) ,f (n)ana0f(2)f(3),fn练习( )数列 an， a11， an3n 1an 1 n 2 ，求 an（ an13n1 ）2（4）等比型递推公式ancan1dc、 d为常数， c0， c1， d 0可转化为等比数列，设 anxc an 1xa